Det är dags att göra upp räkningen

Av Olle Häggström.

Publicerad i Axess 4/2004.

Matematiken är ett skolämne med en rad speciella särdrag. Trots detta kan ett studium av vilka problem ämnet brottas med, och vad som eventuellt kan göras åt dem, leda till slutsatser som kan utsträckas även till andra ämnen. Och av matematikens blotta volym -- det är det näst största ämnet såväl i ungdomsskolan (grundskola plus gymnasium) som i högskolan, distanserat endast av svenska respektive företagsekonomi -- följer att ämnets problem och skolans allmänna kris i hög grad sammanfaller.

Vi som undervisar i matematik på högskolenivå kan inte undgå att märka att nybörjarstudenternas förkunskaper över lag har sjunkit alltsedan 90-talet, något som bekräftats i oberoende undersökningar på Chalmers, KTH och Umeå universitet. För tio år sedan kunde vi exempelvis ta för givet att en bred majoritet av de nyintagna Chalmersstudenterna behärskade elementär bråkräkning, vilket i dag inte längre är fallet.

En oroväckande bild tecknas även i den stora undersökning om grundskoleelevers matematikkunskaper som förra året presenterades av pedagogerna Arne Engström och Olof Magne [1]. Inte nog med att genomsnittseleven presterar svagt, spridningen mellan elever är mycket stor och blir allt större ju högre upp i årskurserna man tittar. En särskilt alarmerande uppgift är att de 15 procent lägst presterande eleverna i årskurs 9 inte kan mer än en genomsnittlig elev i årskurs 4.

Situationen är allvarlig både ur samhällets och den enskilda individens synvinkel. För att börja med det samhälleliga perspektivet, så råder i dag på goda grunder politisk enighet om att utbildandet av civilingenjörer och naturvetare är en av hörnpelarna i skapandet av framtidens välstånd. Dessa utbildningar vilar på matematisk grund, och om studenternas förkunskaper i matematik försämras får detta negativa återverkningar i utbildningarna, med sämre rustade ingenjörer och naturvetare som följd. Lika nödvändig är matematiken för ekonomer, systemvetare och en rad andra yrkesgrupper. När det gäller den enskilda individens perspektiv är den situation Engström och Magne beskriver utomordentligt bekymmersam: många elever tappar greppet om matematiken redan tidigt i grundskolan, och för dessa blir givetvis den fortsatta undervisningen i ämnet en lång och utdragen plåga.

* * *

För att få idéer till hur vi ska förbättra läget i Sverige gör vi klokt i att rikta blicken utåt och se hur man hanterar matematiken i andra länder. Att följa utvecklingen i USA är av särskilt intresse. För det första har Sverige och USA mycket gemensamt. Båda länderna har stora problem med sina skolor, något som gång på gång aktualiseras i internationella jämförande studier, samtidigt som de lyckas hålla en framstående position när det gäller högteknologi och ekonomiskt välstånd. I fallet USA brukar denna paradox förklaras med en omfattande "brain gain", i dag främst från Östasien. För det andra har USA kanske mer än något annat land varit förebild för svenska skolreformer under 1900-talets senare hälft.

I USA riktar man i sin tur blicken mot i första hand de asiatiska länder som ständigt ligger i topp vid internationella jämförelser. Två av de mest inflytelserika och omdiskuterade böckerna om matematikutbildning i USA på senare år behandlar just jämförelser mellan amerikanska och östasiatiska förhållanden.

Den ena av dessa är The Teaching Gap av psykologen James Stigler och pedagogen James Hiebert [2]. Författarna arbetade under större delen av 90-talet med den jättelika TIMSS-studien (Third International Mathematics and Science Study) för jämförelse av studieresultat och undervisningsformer i totalt 41 länder. Från 26 av dem gick det att få jämförbara och tillräckligt omfattande data om 13-åringars matematikkunskaper. Högst placerade sig i tur och ordning Singapore, Sydkorea, Japan och Hongkong, medan Sverige hamnade i mittfältet och USA en liten bit längre ner. Att Sverige hamnar i mitten kan vara frestande att tolka som att de problem som skisserats ovan är en smula överdrivna. Men om Sveriges konkurrenskraft på världsmarknaden ska baseras på att vi är en kunskapsnation, och inte på låga lönekostnader, duger på sikt inte en mittenplacering i kunskapsligan.

Stigler och Hiebert behandlar i sin bok en annan del av TIMSS-studien, nämligen analysen av videoupptagningar av matematiklektioner i totalt mer än 200 statistiskt representativa skolklasser (åter med 13-åringar) i USA, Tyskland och Japan. Det visade sig att det var de amerikanska och de japanska lektionerna som stod i skarpast kontrast mot varandra, så låt oss därför fokusera på dem. Att vetenskapligt slå fast vad som gör att japanska skolelever håller en högre kunskapsnivå än de amerikanska är naturligtvis oerhört svårt, med tanke på det stora antalet bakgrundsvariabler; elevernas förhållanden i skolan, hemma och på andra håll skiljer sig åt på tusen olika sätt. Hur ska man kunna avgöra vilken särskiljande faktor som är den avgörande? Icke desto mindre kan man ur en videostudie som denna vaska fram värdefulla ledtrådar.

* * *

En framträdande skillnad mellan de japanska och de amerikanska lektionerna var hur fakta av typen "vinkelsumman i en polygon med K hörn är 180*(K-2) grader" behandlas. I USA presenteras dessa i regel som vore de axiom, utan närmare motivering, medan japanska lärare lägger stor kraft på att förklara varför det förhåller sig på det viset. Typiskt för de japanska lektionerna är också att eleverna bereds tillfälle att själva fundera över vad exempelvis vinkelsumman borde bli, innan de serveras svaret.

Matematisk bevisföring förekom relativt ofta i de japanska klassrummen, men inte alls i de amerikanska. Att dessa skillnader i undervisningen bidrar till de japanska elevernas överlägsna resultat är en mycket rimlig hypotes. Jämte dessa ganska väntade observationer uppdagades en och annan mer överraskande skillnad mellan de båda ländernas undervisningskulturer. På en av de amerikanska videoupptagningarna avbröts lektionen av ett högtalarmeddelande: "Får jag be om er uppmärksamhet. Alla elever som åker med skolbuss 31 ska i dag stiga på bussen på skolans framsida, inte baksidan. Vill lärarna vara vänliga att notera detta och påminna sina elever."

Vid en genomgång av videobandet tyckte sig en av de japanska forskarna inte riktigt uppfatta vad som hände och frågade en amerikansk kollega vad det var. Denne försökte vifta bort saken med att det var ett helt vanligt administrativt meddelande, men japanen ville inte släppa saken. Vid en systematisk genomsökning visade det sig sedan att mer än 30 procent av de amerikanska lektionerna avbröts av exempelvis högtalarmeddelanden eller någon som kom för att låna en projektor, medan något sådant över huvud taget inte förekom på de japanska lektionerna. Detta kan synas vara en trivialitet, men måhända speglar det att man i Japan tar lektionen på sådant allvar att den inte får avbrytas, och att matematiken anses vara viktigare än skolbusschemat. Kanske kan en sådan atmosfär bidra till bättre undervisningsresultat?

Stiglers och Hieberts bok har fått ett mycket blandat mottagande i USA. Alla är överens om att de japanska lektionerna är mästerliga, men meningarna går kraftigt isär om hur skillnaderna i förhållande till de amerikanska i övrigt ska tolkas. För att förstå detta måste vi först bekanta oss närmare med matematikundervisningen i USA och debatten kring denna.

* * *

Det amerikanska skolsystemet tillåter ett långtgående självstyre på såväl delstatsnivå som lokal nivå. Ändå har en intresseorganisation som National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) med sina nära 90 000 medlemmar lyckats skaffa sig ett landsomfattande och starkt inflytande över matematikundervisningen från kindergartennivå till det tolfte skolåret. De riktlinjer som lades fram i "1989 NCTM Standards" har i de flesta delstater präglat undervisningen under hela 90-talet och fram till i dag. De övergripande mål som formuleras är tillräckligt vaga för att alla ska hålla med: eleverna ska bli skickliga problemlösare med tilltro till sin egen förmåga, och de ska kunna resonera och kommunicera matematiskt.

Intressantare är anvisningarna om vilka delar av undervisningen som ska få ökad respektive minskad betoning. Till det som förespråkas få mer uppmärksamhet hör "förståelse för räknesätten", "användande av räknedosa för komplexa beräkningar", "insamling och organisation av data", "mönsterigenkänning" och "samarbete", medan sådant som "komplicerade beräkningar med papper och penna", "symbolmanipulation" och "att finna exakta svar" tonas ned.

Denna väg har inte varit framgångsrik. Under 90-talet har allt fler, både oroliga föräldrar och universitetslärare som tar emot de nya studenterna, slagit larm om att stoffet i matematikundervisningen tunnats ut, med allvarliga kunskapsluckor hos eleverna som följd. På olika håll i USA har föräldrar och lärare organiserat sig och tagit upp kampen mot den urholkning av matematikämnet som de NCTM-stödda reformprogrammen enligt deras uppfattning innebär. Denna allians mellan föräldrar och universitetsmatematiker har fått beteckningen"traditionalister", medan försvararna av NCTM:s idéer, oftast fackpedagoger och andra företrädare för lärarhögskolor, kallas "reformister". Diskussionen mellan dessa båda grupper har stundtals varit så hätsk att "math wars" blivit den gängse beskrivningen av debattklimatet [3].

I medier har debatten ofta framställts som att traditionalisterna förespråkar räknefärdigheter medan reformisterna prioriterar konceptuell förståelse. Vad ett sådant förenklat synsätt helt missar är att räknefärdigheter och konceptuell förståelse inte står i något motsatsförhållande, utan tvärtom går hand i hand. Det som kanske mer än något annat kritiseras av reformvännerna är de klassiska papper-och-penna-algoritmerna [4] för de fyra räknesätten; i stället förespråkas under devisen "discovery learning" att eleverna själva upptäcker och uppfinner sina egna algoritmer. Detta blir oerhört tidsödande och ställer enorma krav på läraren, som ju bland de ofta diffusa och oartikulerade metoder eleverna finner förväntas sålla fram dem som är riktiga och effektiva. Enligt en extrem, men inte alldeles ovanlig, uppfattning ska läraren inte ens ingripa när elevens metod är felaktig, eftersom detta kan hämma elevens kreativitet och självkänsla.

Bland andra har Berkeleymatematikern Hung-Hsi Wu övertygande demonstrerat att inlärning av en skenbart så mekanisk sak som standardalgoritmen för multiplikation av flersiffriga tal ger ypperliga tillfällen att skaffa sig en djupförståelse som på ett viktigt sätt föregriper den algebra (bokstavsräkning) som eleven möter i högre årskurser [5]. En brist i den amerikanska -- och för all del även den svenska -- matematikundervisningen är att dylika tillfällen alltför sällan tas till vara.

Först ett gott stycke in i The Teaching Gap bekänner Stigler och Hiebert färg i matematikkriget. De skriver att "de japanska lektionerna utgör bättre exempel på amerikanska reformidéer än de amerikanska". Men här har de, som matematikern Alan Siegel visar i en oberoende studie av videoupptagningarna, helt enkelt fel [6]. Skillnaden är i själva verket avgrundsdjup mellan de amerikanska reformisternas "discovery learning"-praktik, där eleverna lämnas att arbeta med de oftast mer eller mindre ofullkomliga metoder de själva råkat uppfinna, och de japanska lärarnas sätt att med subtila medel stimulera eleverna att tänka själva och därmed guida dem mot korrekta och effektiva lösningsmetoder.

Det är lätt att i Stiglers och Hieberts argumentation känna igen ett av reformisternas vanligaste retoriska grepp: när resultaten uteblir trots reformprogrammen uppges det bero, inte på att det skulle vara något fel på reformerna i sig, utan på att de blivit otillräckligt implementerade. Lösningen blir att föreskriva ännu mer av samma slags reformer.

* * *

När det i det rådande debattklimatet utkommer en bok som får ett varmt mottagande i båda lägren är det en anmärkningsvärd händelse. En sådan är Knowing and Teaching Elementary Mathematics av Liping Ma, som bygger på författarens doktorsavhandling vid Stanforduniversitetet och som är en jämförelse mellan amerikanska och kinesiska förhållanden [7]. Kina finns inte med i den ovan citerade TIMSS-studien, men det är noggrant dokumenterat på andra håll att de kinesiska elevernas kunskaper i matematik är överlägsna de amerikanskas. Ma har emellertid valt att fokusera sin undersökning inte på eleverna, utan på lärarna, och mer precist på lärarnas insikter i elementär matematik. Hon har intervjuat totalt ett hundratal matematiklärare från USA och Kina, och resultaten är slående, för att inte säga chockerande. Som ett exempel kan vi se hur de klarade följande uppgift:

Beräkna dubbelbråket (1 3/4) / (1/2) och formulera sedan i ord ett tillämpat problem för vilket denna beräkning ger lösningen.

Exemplet är väl valt, särskilt med tanke på att det tycks vara -- här åberopar jag endast anekdotisk evidens -- division med tal mindre än ett som får många att slutligt ge upp ambitionen att förstå matematiken.

Bland de kinesiska lärarna klarade samtliga att genomföra beräkningen, och 90 procent gav tillfredsställande svar på den andra delfrågan. (Ett exempel på ett korrekt svar ges i slutet av denna artikel [8].) Bland de amerikanska lyckades knappt hälften utföra beräkningen, och bara en enda av dem klarade att ge ett någorlunda godtagbart svar på den andra delfrågan. Övriga frågor i Mas undersökning gav liknande resultat: de kinesiska lärarna visade prov på utmärkt förståelse, medan de amerikanska över lag gav mycket bristfälliga svar. Observera att det inte är några pedagogiska eller didaktiska brister hos de amerikanska lärarna som ådagalagts, utan allvarliga kunskapsluckor i det ämne de är satta att undervisa i [9]. Detta kastar onekligen ett intressant ljus över de svaga resultaten i matematik bland amerikanska elever. Hur ska en lärare som inte själv förstår sig på matematiken kunna bibringa sina elever förståelse?

Någon motsvarande undersökning om svenska lärare har såvitt jag känner till inte genomförts, men vore självfallet av stort intresse. Det finns anledning att hoppas att situationen i Sverige är något bättre än den i USA, men även om så är fallet får vi nog räkna med att läget inom kort kommer att bli alltmer likt det amerikanska. Detta riskerar att bli en följd av den senaste lärarutbildningsreformen, som genomförts med start läsåret 2001-2002 och i vilken ämnesstudier i än högre grad än tidigare satts på undantag.

Jag är övertygad om att en av de viktigaste åtgärder vi kan vidta för att förbättra matematikundervisningen är att fördjupa lärarnas kunskaper i ämnet genom ökat inslag av ämnesstudier i lärarutbildningen, och genom fortbildning. Liping Mas resultat pekar i denna riktning, men bilden kompliceras av en annan omständighet som hon tar upp: jämfört med de kinesiska matematiklärarna har de amerikanska en, åtminstone formellt sett, mer omfattande matematikutbildning bakom sig. Att härav dra slutsatsen att "ju längre matematikutbildning, desto mindre insikter" vore naturligtvis befängt; i stället finns en uppsjö av betydligt rimligare kulturella förklaringar till de kinesiska lärarnas djupare kunskaper. En slutsats som däremot är ofrånkomlig är att det är möjligt att läsa och tentera av universitetskurser i matematik, utan att för den sakens skull tillägna sig några djupa insikter i den mer elementära skolmatematiken.

* * *

En het fråga i den svenska debatten kring lärarutbildningen och matematikämnet är hur balansen mellan inslagen av matematik och matematikdidaktik ska se ut. Låt mig därför inskärpa följande: vi som har inblick i lärarutbildningen vet att det bland svenska matematiklärarkandidater är vanligt med brister liknande dem som Ma påvisat hos amerikanska matematiklärare. Vi måste därför prioritera arbetet med att ge dem chansen att nå en förbättrad och fördjupad förståelse av själva matematiken. Om de inte skaffar sig en sådan lär det inte hjälpa med aldrig så goda pedagogiska eller didaktiska insikter. Det finns knappast någon anledning att inskränka en sådan slutsats till att enbart gälla matematiken: ämnesstudierna i lärarutbildningen måste naturligtvis över lag hålla sådan kvalitet och vara av ett sådant omfång att de blivande lärarna kan skaffa sig djupa och stadiga kunskaper i de ämnen de sedan ska undervisa i. Det mesta tyder på att den nuvarande lärarutbildningen inte håller måttet i detta avseende.

En annan kontroversiell fråga i den svenska utbildningsdebatten rör differentiering av undervisning. Den successiva utslagning av elever i grundskolans matematikundervisning som Engström och Magne rapporterar om är i hög grad relevant för denna diskussion. Motsvarande fenomen kan tydligt skönjas även i en del andra ämnen, men frågan är om inte problemet är allra störst i just matematikämnet till följd av dess utpräglat kumulativa natur: det är ett ämne där alltmer avancerade kunskaper efter hand byggs på de mer elementära. Medan en elev som i geografiundervisningen har råkat missa avsnittet om Afrika har alla chanser att komma igen när man går vidare med Asien, så är situationen avsevärt besvärligare i matematiken. Den elev som misslyckats med att lära sig addera och ändå tvingas vidare till multiplikation kommer ofelbart att misslyckas även där. Och för den som inte har tillägnat sig en taluppfattning som medger ett säkert laborerande med heltalen kommer algebran att framstå som ett meningslöst och obegripligt formelmanipulerande.

De elever som på någon nivå får problem med matematiken måste därför snabbt identifieras och få den nödvändiga hjälpen innan de tvingas vidare till högre nivåer. Samtidigt är det angeläget att de mer högpresterande eleverna inte hålls tillbaka. Olika elever har alltså olika behov, något som det finns väsentligen två sätt att hantera: individualisering inom klassrummet eller nivågruppering. Den förstnämnda vägen, där klassens elever lämnas att arbeta självständigt och i egen takt, är den som i dag dominerar.

Den är emellertid ytterst problematisk, eftersom läraren i en sådan klass måste fördela sin uppmärksamhet mellan eleverna på ett sätt som gör att varje elev får mycket kort tid för interaktion med läraren. Gemensamma diskussioner i klassrummet förutsätter ju i hög grad att eleverna arbetar med samma stoff och på samma nivå. Detta talar alltså för att vi bör införa en viss nivågruppering i matematikundervisningen. Även om saken är svår att leda i bevis, misstänker jag att nedgången i de svenska högskolestudenternas förkunskaper i matematik åtminstone till en del hänger samman med det under 90-talet minskade inslaget av nivågruppering i skolan.

Ett exempel är avskaffandet av allmän och särskild kurs i högstadiematematiken, och ett annat är enhetligheten i den nuvarande gymnasieskolan: i dag läser samtliga gymnasieelever samma inledande matematikkurs, oavsett om de går det naturvetenskapliga programmet eller något yrkesprogram.

I det betänkande som den parlamentariska Gymnasiekommittén förra året lade fram föreslogs en gymnasiereform med hjälp av vilken denna utveckling skulle drivas ännu ett steg. Dagens 17 gymnasieprogram föreslogs slås samman till åtta "sektorer", varav ingen skulle kunna identifieras som vare sig utpräglat yrkesinriktad eller utpräglat högskoleförberedande. Lyckligtvis tog utbildningsminister Thomas Östros intryck av den förödande kritik som förslaget utsattes för i remissvar och i den allmänna debatten. Han aviserade helt nyligen en mer begränsad gymnasieproposition, där Gymnasiekommitténs modell kasserats och där tvärtom de så kallade kärnämnena, ämnen som är gemensamma för samtliga program, tilllåts profileras i olika riktningar på olika program. Äntligen ett steg i rätt riktning!

* * *

Å andra sidan: med en ökad differentiering skulle vi explicit ge avkall på idén om att alla elever ska tillägna sig abstrakt matematik på högskoleförberedande nivå, i den mån idén över huvud taget funnits annat än som en läpparnas bekännelse. Hur pass allvarligt vore det att ge upp denna ambition? Till att börja med kan vi konstatera att även om matematikkunskaper är av betydelse för att individen ska fungera som samhällsmedborgare, har de inte samma dignitet som läs- och skrivfärdigheter. Att oreflekterat kräva att alla ska behärska algebra och trigonometri är ungefär lika välbetänkt som budskapet i den fiktiva (?) insändare som den norske författaren Erlend Loe citerar i generationsromanen Expedition L [10]. Där heter det att man "rimligen borde kräva att ungdomar som söker till gymnasieskolan ska kunna springa etthundra meter på 12 sekunder. För dem som inte klarar denna gräns måste resurser sättas in." Efter att ha konstaterat att 12-sekunderskravet är avgörande för den som aspirerar på att bli en nyttig samhällsmedborgare i framtiden, och att det är politikerna som bär ansvaret, avslutas insändaren med att slå fast att det behövs en satsning på forskningen inom detta område "så att vi får reda på varför senfärdigheten är så utbredd".

Ironi åsido: Vilka matematikkunskaper behöver framtidens medborgare utrustas med i skolan? Detta problematiseras i en eftertänksam essä av professorn i miljöhistoria Sverker Sörlin [11]. Han utvecklar en sociologisk hypotes som i korthet säger följande: matematikämnet fungerade under en stor del av 1900-talet, fram till omkring 1970, som ett normerande kunskapsideal och en social vattendelare. Under det som Sörlin betecknar som "realläroverkets glansperiod" sorterades genom matematiken de individer fram som kunde forska och konstruera, leda och budgetera. Till den tidens hjältar hörde ingenjörer som Gustaf Dalén och fysiker som Albert Einstein och Richard Feynman. Men i dag är situationen en annan: med den högre utbildningens kraftiga expansion har samhällselitens struktur blivit långt mer mångfasetterad, och branscher som till exempel medier, nöjesindustri och tankesmedjor erbjuder alternativa karriärvägar där avancerade matematikkunskaper som regel inte är någon förutsättning.

Även om man kan peka på att vetenskaper som medicin, biologi och ekonomi i dag är mer matematiserade än någonsin, tycks det ligga något i Sörlins analys. Då är det kanske inte längre lika angeläget att alla skolelever får en matematikundervisning som strävar mot de högre sfärer som ligger till grund för naturvetenskap och ingenjörskonst. Sörlin föreslår en modell där endast de elever som visar intresse och fallenhet fortsätter på den kumulativa linjen mot alltmer avancerad och abstrakt matematik. För övriga elever kan undervisningen i högre grad inriktas på att tillämpa procenträkning och annan elementär matematik mer på bredden, och behandla sådant som befolkningsstatistik, opinionsundersökningar, ränterörelser, prisnivåer, ekologiska balansräkningar -- allt sådant som en medborgare i en demokrati bör kunna befatta sig med. Även ur ett sociologiskt perspektiv tycks det alltså vara rimligt med en differentiering och nivågruppering av matematikundervisningen. Samtidigt vill vi naturligtvis inte predestinera elever i de tidiga skolåren för den ena eller den andra banan, och därför behöver ett system liknande det Sörlin föreslår innehålla överbryggningskurser, till exempel på gymnasienivå, för dem som vill byta från ett allmänbildande matematikspår till ett mer ambitiöst.

Den 28 maj väntas regeringens Matematikdelegation, efter drygt ett års arbete, presentera en handlingsplan för matematikämnet. Förhoppningsvis kommer denna handlingsplan att omfatta de två åtgärder vi här kommit fram till behöver vidtas: en ökad tonvikt på ämnesstudier i lärarutbildningen och en skolmatematik som medelst nivågruppering bättre möter den enskilda elevens behov.

* * *

Fotnoter

[1]. A. Engström och O. Magne, "Svaga elever i matematik slås ut tidigt", Dagens Nyheter, 6/10 2003.

[2] J. W. Stigler och J. Hiebert, The Teaching Gap, New York: Free Press, 1999.

[3] För en historik, se D. Klein, "A brief history of American K-12 mathematics education in the 20th century", i Mathematical Cognition (red. J. Royer), Greenwhich, CT, Information Age Publishing, 2003.

[4] Med "algoritm" menas en steg-för-steg-procedur som i princip kan följas helt mekaniskt.

[5] H. Wu, "Basic skills versus conceptual understanding: A bogus dichotomy in mathematics education", American Educator 23:3, 1999, 14-19.

[6] A. Siegel, "Telling lessons from the TIMSS videotape", i den kommande Testing Student Learning, Evaluating Teaching Effectiveness (red. W. Evers och H. Wahlberg), Hoover Press, 2004.

[7] L. Ma, Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers' Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States, Lawrence Erlbaum Assoc., 1999.

[8] Hur många mil kan man köra med en bil som bara har en och trekvarts liter bensin kvar i tanken, och som drar en halv liter per mil? Rätt svar är 3,5.

[9] Mas slutsats att de amerikanska matematiklärarna har otillräcklig djupförståelse av elementär matematik tycks kunna utsträckas till att detta även förekommer bland forskare i pedagogik och matematikdidaktik. Som Siegel detaljerat visar i sin uppsats har nämligen Stigler, Hiebert och deras kollegor i TIMSS-studien gravt missförstått vad som händer i de japanska klassrummen, på ett sätt som knappast hade varit möjligt om de haft gedigna matematikkunskaper.

[10] E. Loe, Expedition L, Stockholm: Alfabeta Bokförlag, 2003. Översättning: Lotta Eklund.

[11] S. Sörlin, "När kan man räkna? Några tankar om behovet av matematik", inlaga till Matematikdelegationen, 2003.


Last modified: Tue May 20 09:00:15 MET DST 2003