Ett paradigmskifte i matematiken?

Av Olle Häggström.

Publicerad i Svenska Matematikersamfundets Medlemsutskick, 15 maj 2004.

Är en revolution på gång inom matematiken? Jag har inte genomfört någon enkät, men tror att de flesta matematiker inför en direkt fråga skulle ställa sig försiktigt avvisande till att så är fallet. Om frågeställaren därpå insisterar på att det faktiskt är en revolution på gång, och av matematikern kräver att få veta vari denna består, så föreställer jag mig att det blir en tämligen stor spridning i vilka förslag olika matmatiker klämmer ur sig. Några sådana kandidater till matematiska revolutioner skulle kunna bli följande [1].

(1) Av angränsande ämnen har det traditionellt varit fysiken som haft det största inflytandet som inspirationskälla och pådrivare för matematiken, men idag håller biologin på att allt mer ta över denna roll.

(2) Inom snart sagt alla inriktningar av tillämpad matematik, har stokastiken slagit igenom som en standardingrediens i den matematiska modelleringen.

(3) Den diskreta matematiken har vuxit från en uppsättning mer eller mindre isolerade resultat till att besitta en sammanhängande teori, och står därmed på ett annat sätt än tidigare på jämställd fot med analysen.

(4) Med cellulära automater kan i princip vilka fysikaliska fenomen som helst återskapas, och det är därför bara en tidsfråga innan de cellulära automaterna konkurrerar ut differentialekvationerna som ledande modelleringsverktyg.

(5) Den kraftigt ökade tillgången på datorresurser gör att numeriken allt klarare framstår som den mest relevanta delen av matematiken, vilket också gör att de klassiska analytiska metoderna i motsvarande mån är på väg att marginaliseras.

Detta är de förslag som först dyker upp i mina tankar när jag försöker föreställa mig att en matematisk revolution skulle vara på gång, men läsaren kan förmodligen utan större ansträngning själv komma på ett par-tre minst lika rimliga motförslag. För egen del är jag, med mitt stora intresse för sannolikhetsteori, särskilt tilltalad av trenden (2), men det vore mig fjärran att för den sakens skull hävda att all ''deterministisk'' matematik skulle vara obsolet. På samma sätt tror jag som sagt att flertalet matematiker är så pass vidsynta att de inte räknar med någon nära förestående utveckling där någon av trenderna (1)-(5) (eller någon annan) konkurrerar ut övrig matematik.

Men det finns undantag. Det mest extrema exemplet står förmodligen Mathematica-skaparen Stephen Wolfram för. I sin mycket uppmärksammade tegelsten A New Kind of Science (Wolfram Media, 2002) argumenterar han, med en megalomani som knappt tycks känna några gränser, för uppfattningen (4), och för att de cellulära automaterna inom kort kommer att revolutionera inte bara matematiken, utan all vetenskap!

Ett annat undantag är Claes Johnson, professor i matematik på Chalmers, som på senare tid allt högljuddare, och med en retorik som ibland påminner om Wolframs, förespråkat uppfattningen (5). Matematiken står enligt Johnson på randen till ett paradigmskifte, där den matematik som inte fokuserar på numeriska datorberäkningar inom kort kommer att förpassas till soptippen (eller i mer lyckosamma fall till museimontrar).

Detta, menar Johnson vidare i åtskilliga brev och debattinlägg, måste få återverkningar i matematikundervisningen på alla nivåer, och han har följdriktigt tagit tillfället i akt att försöka få med sig Matematikdelegationen på samma linje. Frustrerad över att inte ha fått den respons därifrån som han hoppats på, har han tillsammans med sina båda yngre medarbetare Johan Hoffman och Anders Logg författat en bok -- möjligen vore stridsskrift eller pamflett en bättre beskrivning -- som enligt uppgift från författarna kommer att utges på Springer den 28 maj i år, dvs samma dag som Matematikdelegationen förväntas offentliggöra sin handlingsplan.

Författarna har valt att dedicera boken till utbildningsminister Thomas Östros, förmodligen med de dubbla syftena att sätta press på Östros att läsa boken, och att även i övrigt dra ytterligare uppmärksamhet till den.

Uppenbarligen rör det sig om en bok med stora ambitioner att påverka utbildningspolitiken, och den kan därför vara värd att titta närmare på. Det följande är tänkt som en rättvis och balanserad rapport om boken, baserad på min läsning av det preliminära manuskript som författarna i slutet av mars lät cirkulera på Chalmers matematikinstitution.

* * *

I introduktionen slår Johnson et al. [2] fast sitt huvudbudskap: dagens matematikutbildning befinner sig i kris, men också i ett paradigmskifte orsakat av datorn. Redogörelsen för författarnas förhållanden till Matematikdelegationen drar något åt det rättshaveristiska hållet (''we have been denied the possibility to participate in the work of the Delegation, despite the fact that we are world leading experts and the Delegation lacks expertise...''), men låt oss överse med detta och gå vidare i boken för att se vilka argument författarna har för sina ståndpunkter.

Dagens kris uppges bero på (a) den ökade tillgången på datorkraft, och (b) att vissa av fysikens viktigaste differentialekvationer inte medger analytisk lösning. Här kan man notera att (a) handlar om en utveckling som pågått i ett halvsekel, och att (b) har varit känt åtminstone sedan Poincarés arbeten om trekropparsproblemet i slutet av 1800-talet. Så varför, undrar naturligtvis en kritisk läsare, leder detta till ett paradigmskifte just nu, i det nya millenniets första årtionde? På detta ger Johnson et al. inte något svar [3].

Nästa sak läsaren vill veta är hur författarna menar att den nya matematikundervisningen bör se ut, och på vilket sätt den skiljer sig från den gamla. Det slås tidigt i boken fast att undervisningen behöver reformeras på alla nivåer, men författarna lägger sedan det mesta krutet på att diskutera undervisning på högskolenivå, så låt oss fokusera på denna [4]. Deras huvudidé är här att kurserna skall handla både om klassisk analys och om numeriska datorberäkningar, och att dessa båda moment skall integreras och gripa in i varandra. Detta är utmärkta synpunkter, som är svåra att inte hålla med om [5]. Men den avgörande frågan är naturligtvis på vilket sätt den förespråkade reformen skiljer sig från så kallad ''traditionell undervisning'' [6]. Kanske är det tänkt att denna skillnad skall framgå av de långa citat ur läromedlet Body & Soul [7] som läsaren bjuds på. Men utan en parallell diskussion av de två undervisningskoncepten, med tydliga anvisningar om vilka skillnader som är väsentliga och vilka som är av mer tillfällig art, blir det alltför svårt för läsaren (åtminstone för mig) att förstå var den avgörande skiljelinje går som motiverar användandet av ord som paradigmskifte.

En misstanke växer sig allt starkare ju längre jag läser i boken. Kanske vet inte Claes Johnson hur ''traditionell undervisning'' idag ser ut? Kanske angriper han något som fanns för, låt oss säga, 20 år sedan, men som inte längre finns idag? Kan det till och med vara på det viset att om Johnson bemödade sig om att ta reda på hur dagens ''traditionella undervisning'' är utformad, så skulle den bittra konflikt som i nästan ett decennium plågat matematikinstitutionen på Chalmers, med ens gå upp i rök? Nog kunde det i alla fall vara värt ett försök?

* * *

Innehållsförteckningen i Dreams of Calculus bjuder på en rad eggande kapitelrubriker, som t.ex. ''A Brief History of Mathematics Education'', ''What is Mathematics?'', ''Scientific Revolutions'', ''The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences?''[8] och ''Do Mathematicians Quarrel?''. Det mesta av själva innehållet blir tyvärr alltför kalejdoskopiskt för att svara upp mot de upptrissade förväntningarna. Vi får ta del av en strid ström av infall och uppslag, där det är snart sagt omöjligt att skönja den röda tråden (om det överhuvudtaget är författarnas avsikt att det skall finnas en sådan). Vi får veta hur fräsigt författarna tycker det kommer att bli att använda framtidens virtual reality-teknik till att få lära känna en virtuell Marilyn Monroe, och några sidor senare får vi en redogörelse för asymmetrin mellan problemen att visa att det i Irak finns respektive inte finns massförstörelsevapen. Författarna är påtagligt förtjusta i metaforer: klassisk analys jämförs med klassisk musik, beräkningsmatematik med jazz, och vetenskap med bergsbestigning. Analogierna haltar dock som regel kraftigt, och överges innan de hunnit användas till att kasta något förklarande ljus över författarnas teser.

Jag har tidigare vid flera tillfällen känt beundran inför Claes Johnsons formulerings- och argumentationskonst vid seminarier och muntliga föredragningar. Men kanske är det med Johnson som med en del av de framgångsrika ståuppkomiker som misslyckats med att slå igenom även som författare: deras material fungerar utmärkt som muntliga slagfärdigheter, men räcker helt enkelt inte riktigt till för skriftlig framställning.

* * *

Författarnas märkliga val att skriva sitt inlägg i den svenska utbildningsdebatten på engelska, har så vitt jag kan bedöma inte haft några särskilt allvarliga negativa konsekvenser vad den språkliga kvaliteten anbelangar; jag har funnit förhållandevis få skandinavismer i texten. Mer störande är en del andra stildrag de valt att lägga sig till med: det generösa bruket av stor bokstav, som i ''Does the Computer create a new form of Calculus to be presented in Education, a Reform Calculus?'' och ''The Educated Man of the 17th century did not necessarily master the Multiplication Table'', blir snabbt ganska irriterande, och när författarna efter att ha gjort en särskilt insiktsfullt observation skriver ''And both Pure Mathematics and Didactics Experts seem to us to be lacking this insight'' undrar man vad det är för plötsligt anfall av blygsamhet som får dem att skriva ''insight'' istället för ''Insight''.

Boken hade också vunnit på om författarna avhållit sig från en del ganska tarvliga retoriska grepp, som t.ex. hur de visar sin ringaktning för Matematikdelegationens ordförande Said Irandoust genom att, trots att han upprepade gånger omtalas, aldrig nämna honom vid namn.

Det preliminära manuskript jag haft tillgång till innehåller en hel del småfel, som man dock kan hoppas rensas bort innan den slutliga versionen går i tryck, och som man i annat fall kan överse med. Värre är det med följande påstående en bit in i bokens Avsnitt 2.5: ''In the Report of the Delegation Body & Soul is described in (very) positive terms.'' Detta kan omöjligt förstås som något annat än en ren och skär förfalskning. Ty hur kan, i annat fall, författarna veta redan i mars vad som kommer att stå i Matematikdelegationens rapport den 28 maj?

* * *

Fotnoter

[1] Observera att den följande listan (1)-(5) inte är någon redogörelse för min egen bedömning av läget, utan för uppfattningar som jag tycker mig ha stött på hos en eller flera matematikerkollegor.

[2] Jag skriver Johnson et al. istället för det formellt mer korrekta Hoffman et al., eftersom det så uppenbart är Johnson som är gruppens chefsideolog.

[3] Jag kan naturligtvis inte utesluta att svaret finns underförstått i deras framställning, men detta har i så fall gått mig förbi.

[4] Vad gäller undervisning på lägre nivåer, så inskränker sig författarnas synpunkter, förutom ett allmänt påpekande om att differentiering av undervisning är bra, till att multiplikationstabellen och lång division gott kan avskaffas.

[5] Däremot är de inte vare sig nya eller särskilt originella. Dåvarande Högskolan i Luleå tillämpade redan från start (början av 70-talet) idén med integration mellan analys och numerik. Hos oss på Chalmers har utvecklingen kommit något senare och mer successivt, men idag präglar den önskade helhetssynen så gott som alla våra matematikkurser (alltså även dem som inte ges av Johnson och hans grupp).

[6] Begreppet ''traditionell undervisning'' ges inte någon stringent definition i Dreams of Calculus; för att vara konkret väljer jag i det följande att använda begreppet i betydelsen ''den matematikundervisning som ges på Chalmers av lärare som inte tillhör Johnsons grupp''.

[7] Eriksson, K., Estep, D. och Johnson, C. (2004) Applied Mathematics: Body and Soul, vol 1--3, Springer. Hela sex kapitel (om totalt 78 sidor) i Dreams of Calculus är ordagrant citerade ur Body & Soul. Detta må naturligtvis författarna vara i sin fulla rätt att göra, men det kan lätt orsaka läsaren en stunds förvirring inför uttryck som ''denna bok'', innan han påminner sig att han befinner sig i ett 16 sidor långt citat ur en annan bok än den han håller i handen.

[8] Författarna påstår sig ha ett svar på Eugene Wigners metafysiska frågeställning om matematikens orimliga effektivitet, genom att peka på svårigheten att lösa en del av fysikens differentialekvationer. Men här tycks de ha missförstått Wigner. Det faktum att naturens lagar med stor noggrannhet låter sig beskrivas av differentialekvationer, blir väl varken mer eller mindre gåtfullt av att ekvationerna inte alltid medger analytiska lösningar?


Last modified: Tue May 20 09:00:15 MET DST 2003