Ledning till sadelyteuppgiften

Ett sätt att angripa uppgiften är att bestämma hur en rät linje, som ligger i ytan, ser ut. Börja med att ansätta en allmän rät linje (i rummet) på parameterform. Kalla parametern t. Så x = ???, y = ??? samt z = ???, där Du får fylla i ??? själv.

Om nu en punkt, (x, y, z), på linjen samtidigt skall ligga i sadelytan måste punkten satisfiera z = x² - y². Skriv om den resulterande ekvationen så att Du får en nolla på den högra sidan. Den vänstra sidan kommer att vara ett andragradspolynom i parametern t, så vi har en ekvation av slaget p(t) = 0, där p är polynomet.

p(t) = 0 måste gälla för varje parametervärde t; hela den aktuella linjen skall ju ligga i ytan och inte bara en enstaka punkt. Detta medför att polynomet är nollpolynomet och koefficienterna (framför potenserna av t) måste då alla vara noll. Detta ger villkor på hur den räta linjen ser ut.

Man kan då välja en del variabler i parameterframställningen av den räta linjen, de övriga ges av de villkor man får från p(t)=0. Så om den allmänna riktningsvektorn har utseendet (v1, v2, v3) kanske man tar v1 = 1. Detta inskränker då den frihet man har för v2 och v3. Analogt för startpunkten. Om man alltså bestämmer tillräckligt många värden i startpunkt och riktningsvektor bestäms de övriga av de villkor man får från p(t)=0.

Vilka värden ska man välja då? Jo, det bestäms av de linjer man vill rita.

Ett alternativ är att gissa hur en linje ser ut. Linjen är definierad av sin start- och slutpunkt. Beteckna punkterna (i tre dimensioner) med p₀ respektive p₁. Punkterna som ligger på linjesegmentet mellan punkterna erhålles med L(t) = p₀ + t (p₁ - p₀) då parametern t ligger mellan 0 och 1 (p₁ - p₀ är ju en riktningsvektor). Man kan bevisa att dessa punkter ligger i ytan genom att visa att L(t) ligger i ytan för godtyckligt t (L(t) ligger då speciellt i ytan för t mellan 0 och 1).