Taylorutveckling
Problem: Vi vill approximera funktionen f(x, y) = ln(1 + 2x2 + y2) - 2y + 5 kring punkten (0, 0). Bestäm Taylorpolynomet av grad två.
Svar: 5 - 2y + 2x2 + y2
Lösning: Vi bildar de nödvändiga derivatorna i punkten (0, 0) och får
f(0, 0) = 5, fx(0, 0) = 0, fy(0, 0) = -2, fxx(0, 0) = 4, fxy(0, 0) = 0 , fyy(0, 0) = 2
så att polynomet blir (med x = h, y = k)
p(x, y) = 5 - 2y + (4 x2 + 2 y2) / 2 = 5 - 2y + 2x2 + y2.
Man
kan också använda bokens teknik. Taylorutveckling av ln(1 + t), kring t
= 0, är t - t2 / 2 + t3 / 3 - ..., så att utvecklingen av vår funktion
blir
(2x2 + y2) - (2x2 + y2)2 / 2 + ... - 2y + 5.
Om vi enbart tar med termer av grad högst två, känner vi igen svaret ovan.
