Fjädrar och massor

I nedanstående bild ser vi $n$ kulor/massor med massorna $m_1,m_2, \ldots, m_n$. Kulorna är förbundna med fjädrar som har fjäderkonstanterna $k_1, k_2, \ldots, k_n, k_{n+1}$. Systemet svänger longitudinellt (i fjädrarnas längsriktning). Fjädrarna i ändarna är fast inspända. Vi vill ställa upp rörelseekvationen för systemet och bortser från gravitation, friktion etc.

Låt $s_j$ vara kula nummer $j$:s avvikelse från jämviktsläget. $s_j$ beror av tiden $t$, men för att slippa skriva så mycket sätter vi inte ut $t$ i $s_j(t)$. Om alla $s_j=0$ ligger sålunda kulorna i sina jämviktslägen. Antag nu att fjädrarna följer Hookes lag så att den återförande fjäderkraften är proportionell mot fjäderns längdförändring. Fjäderkonstanten är ju proportionalitetskonstanten. Fjädrarna på var sida om kula nummer $j$ påverkar densamma med kraften:

$$-(s_j-s_{j-1})k_j+(s_{j+1}-s_j)k_{j+1}$$

(Ty $s_j-s_{j-1}$ är ju längdförändringen av den vänstra fjädern och en kraft som verkar åt vänster ger minustecken. Analogt ger en kraft som verkar åt höger plustecken.)

Använder vi nu Newtons andra lag ser vi att detta skall vara lika med $m_j\ddot{s}_j$, där vi på vanligt sätt betecknar andraderivatan av $s_j$ med avseende på tiden med $\ddot{s}_j$. Så rörelseekvationerna för kulorna ges, efter lite omskrivning, av:

$$-(-k_js_{j-1}+(k_j+k_{j+1})s_j-k_{j+1}s_{j+1})=m_j\ddot{s}_j,\ \ j = 1, \ldots, n,\ \ {\rm och\ med}\ \ s_0=s_{n+1}=0$$

Låt oss nu skriva ovanstående på matrisform. Vi inför två matriser, styvhetsmatrisen ${\bf K}$ och massmatrisen ${\bf M}$.

$${\bf K}=\left[\begin{array}{cccccc} k_1+k_2 & -k_2 & 0 & \cd... ...nd{array}\right],\ \ {\bf M}={\rm diag}(m_1, m_2, \ldots, m_n)$$

${\bf K}$ är sålunda en symmetrisk och tridiagonal matris och ${\bf M}$ är diagonal.
Med dessa matriser och med ${\bf s}^T=(s_1, \ldots, s_n)$, kan vi skriva rörelseekvationerna:

$$-{\bf K}{\bf s}={\bf M}\ddot{{\bf s}}\Leftrightarrow {\bf K}{\bf s}+{\bf M}\ddot{{\bf s}}={\bf0}\ \ \ (\dag )$$

För att lösa detta begynnelsevärdesproblem måste vi ha begynnelsepositionerna för massorna, dvs. ${\bf s}(0)$ och begynnelsefarterna, $\dot{{\bf s}}(0)$.

${\bf s}$ är, som vi sa ovan, en vektor av funktioner som beror av $t$. ${\bf s}^T{\bf K}{\bf s}$ och $\dot{{\bf s}}^T{\bf M}\dot{{\bf s}}$ är med andra ord skalära funktioner av tiden $t$. Eftersom $\dot{{\bf s}}^T{\bf K}{\bf s}={\bf s}^T{\bf K}\dot{{\bf s}}$ och $\ddot{{\bf s}}^T{\bf M}\dot{{\bf s}} =\dot{{\bf s}}^T{\bf M}\ddot{{\bf s}}$ (varför?) får vi från $(\dag )$:

$$\frac{d}{dt}\left[\frac{{\bf s}^T{\bf K}{\bf s}}{2}+ \frac{\... ...{{\bf s}}^T\left[{\bf K}{\bf s}+{\bf M}\ddot{{\bf s}}\right]=0$$

Integrerar vi nu (nollan ger en konstant, kalla den $E$) får vi:

$$\frac{{\bf s}^T{\bf K}{\bf s}}{2}+ \frac{\dot{{\bf s}}^T{\bf M}\dot{{\bf s}}}{2}=E$$

Denna formel säger att summan av den potentiella och den kinetiska energin är konstant och lika med den totala energin, $E$ (vi förutsätter att systemet är slutet). Detta verkar rimligt; summan av de kinetiska energierna för varje massa ger den totala kinetiska energin:

$$\sum_{j=1}^n\frac{m_j\dot{s}_j^2}{2}= \frac{\dot{{\bf s}}^T{\bf M}\dot{{\bf s}}}{2}$$

Motsvarande gäller för den potentiella energin; räknar man på varje fjäder för sig och summerar kommer man (efter lite räkningar) fram till ${\bf s}^T{\bf K}{\bf s}/2$.

Vi noterar att om minst en kula är i rörelse så är $\dot{{\bf s}}\ne{\bf0}$ och den kinetiska energin är positiv, dvs. $\frac{1}{2}\dot{{\bf s}}^T{\bf M}\dot{{\bf s}}>0$. Detta innebär ju att ${\bf M}$ är positivt definit:

$$\dot{{\bf s}}\ne{\bf0}\Rightarrow \dot{{\bf s}}^T{\bf M}\dot{{\bf s}}>0$$

Vi kan se detta utan att utnyttja fysikaliska resonemang, ty en diagonalmatris är positivt definit om och endast om den har positiva diagonalelement (varför?) och massor är ju positiva.

Låt oss nu studera ${\bf K}$. Om ${\bf s}\ne{\bf0}$, dvs. minst en fjäder har förändrad längd så borde den potentiella energin vara positiv. ${\bf K}$ borde vara positivt definit med andra ord. Att visa att ${\bf K}$ verkligen är positivt definit är också lätt. Vi utnyttjar definitionen direkt och får:

$${\bf s}^T{\bf K}{\bf s}=\sum_{j=1}^n(k_j+k_{j+1})s_j^2-2\sum... ...sum_{j=2}^nk_{j}(s_{j-1}^2+s_j^2) -2\sum_{j=2}^nk_js_{j-1}s_j=$$

$$k_1s_1^2+k_{n+1}s_n^2+\sum_{j=2}^nk_{j}(s_{j-1}-s_j)^2$$

Detta uttryck är positivt om ${\bf s}\ne{\bf0}$ (varför?).