Svängningar

Låt oss nu se om systemet kan uppvisa periodiska svängningar. Vi gör ansatsen ${\bf s}(t)={\bf a}\sin\omega t$ där ${\bf a}$ är en konstant amplitudvektor. Om vi sätter in detta i $(\dag )$ får vi $-{\bf K}{\bf a}\sin\omega t=-\omega^2{\bf M}{\bf a}\sin\omega t$ och eftersom likheten skall gälla för varje $t$ får vi:

$${\bf K}{\bf a}=\omega^2{\bf M}{\bf a}$$

vilket är ett så kallat generaliserat egenvärdesproblem (generaliserat på grund att vi har två matriser). Man kan visa att det finns $n$ reella egenvärden, $\omega_j^2$, och egenvektorer, ${\bf a}_j$, till egenvärdesproblemet. Om vi sorterar egenvärdena i växande ordning så är $\omega_1/(2\pi)$ frekvensen för systemets ``grundton'', $\omega_2/(2\pi)$ ger första övertonen etc.

När man räknar på svängningar hos strukturer (båtar, broar etc.) och bortser från friktion och andra energiförluster får man ett generaliserat egenvärdesproblem enligt ovan, men matriserna är dock mycket större och sällan tridiagonala (matriserna blir dock glesa). De blir normalt positivt definita.

Om man vill räkna på dämpning (vilket är mycket svårare) och antar att dämpningen är proportionell mot $\dot{{\bf s}}$ övergår rörelseekvationerna $(\dag )$ i (om vi även lägger på den externa lasten ${\bf f}(t)$):

$${\bf K}{\bf s}+{\bf N}\dot{{\bf s}}+{\bf M}\ddot{{\bf s}}={\bf f}(t)$$

där dämpmatrisen, ${\bf N}$, beskriver hur dämpningen ser ut. ${\bf N}$ är ofta osymmetrisk.