Ett randvärdesproblem

Vi byter nu problem till ett rent matematiskt problem, nämligen:

$$-u''(t)=f(t), \ \ t\in(0,1),\ \ u(0)=u(1)=0$$

Detta är alltså ett randvärdesproblem där $f$ är given och där vi söker en funktion $u(t)$ som satisfierar differentialekvationen, och där $u$ är noll i ändpunkterna.

Vi kommer nu, mycket skissartat, att se hur begreppen ``symmetrisk matris'' och ``positivt definit'' kan överföras på differentialekvationsproblemet ovan. Vi börjar med att generalisera dessa begrepp för matriser och för att göra det krävs allmänna innerprodukter.

En innerprodukt, $(\cdot, \cdot)$ för $\Re^n$ (reella kolonnvektorer om $n$ element) är en funktion för vilken gäller (${\bf x}$, ${\bf y}$ och ${\bf z}$ är godtyckliga vektorer och $\alpha$ är ett godtyckligt tal):

• $({\bf x},{\bf x})>0$ om ${\bf x}\ne{\bf0}$ och $({\bf0},{\bf0})=0$
• $({\bf x},{\bf y})=({\bf y},{\bf x})$
• $(\alpha{\bf x},{\bf y})=\alpha({\bf x},{\bf y})$
• $({\bf x}, {\bf y}+{\bf z})=({\bf x},{\bf y})+({\bf x},{\bf z})$

Vi ser att vår vanliga innerprodukt, $({\bf x}, {\bf y})={\bf x}^T{\bf y}$ satisfierar dessa villkor. Övning: visa att $({\bf x},{\bf y})={\bf x}^T{\bf M}{\bf y}$, där ${\bf M}$ är en symmetrisk och positivt definit matris, också är en innerprodukt. Det finns, med andra ord, oändligt många innerprodukter.

Vi kan nu generalisera begreppen symmetrisk och positivt definit till allmänna innerprodukter. Givet en matris ${\bf A}$ säger vi att den är symmetrisk om $({\bf x}, {\bf A}{\bf y})=({\bf A}{\bf x},{\bf y})$ för alla ${\bf x}$ och ${\bf y}$. Den är positivt definit om $({\bf x},{\bf A}{\bf x})>0$ för alla ${\bf x}\ne{\bf0}$.

För vår vanliga innerprodukt svarar symmetrivillkoret mot

$${\bf x}^T({\bf A}{\bf y})=({\bf A}{\bf x})^T{\bf y}\ \ {\rm eller}\ \ {\bf x}^T{\bf A}{\bf y}={\bf x}^T{\bf A}^T{\bf y}$$

Om vi speciellt tar ${\bf x}={\bf e}_j$ och ${\bf y}={\bf e}_k$ samt utnyttjar ${\bf e}_j^T{\bf A}{\bf e}_k=a_{j,k}$ och ${\bf e}_j^T{\bf A}^T{\bf e}_k=a_{k,j}$ så kan symmetri-villkoret formuleras $a_{j,k}=a_{k,j}$ vilket är välbekant. $({\bf x},{\bf A}{\bf x})>0$ ger med vår vanliga innerprodukt ${\bf x}^T{\bf A}{\bf x}>0$ vilket vi också känner igen.