Förberedelser
För att kunna analysera problemet med Akilles och sköldpaddan kommer
vi att behöva några fakta om oändliga geometriska serier. En ändlig
geometrisk serie (se kapitlet "Sequences and limits" i EM2000) kan
skrivas som:
sn = 1+r+r2+r3+...+rn.
Vi har vidare, enligt EM2000, att
limr->oo sn = 1/(1-r), om |r| < 1.
Analys
Vi antar nu t.ex. att Akilles rör sig dubbelt så snabbt som
sköldpaddan, exempelvis med hastigheten 1m/s (han går inte riktigt för
fullt).
Vi antar vidare att det vid tiden t=t0 skiljer sträckan s=1m mellan de
två. Vi säger då att t1 är den tidpunkt
då Akilles är vid den plats sköldpaddan var vid tiden t0, vi säger
vidare att t2 är den tidpunkt då Akilles är
vid den plats sköldpaddan var vid tiden t1, t3 den tidpunkt då Akilles är
vid den plats sköldpaddan var vid tiden t2, osv.
Vi kallar sedan den totala tiden som förflutit vid tidssteget n för Tn.
T0=t1-t0=1, eftersom Akilles förflyttar sig
1m på 1s. T1=(t1-t0)+(t2-t1)=1+1/2, eftersom sköldpaddan rör sig hälften så fort som
Akilles. Dvs, då Akilles hunnit sträckan 1m så har sköldpaddan hunnit
sträckan 1/2m. På samma sätt så blir T2=(t1-t0)+(t2-t1)+(t3-t2)=1+1/2+1/4, eftersom
då Akilles hunnit sträckan 1/2m så har sköldpaddan hunnit sträckan 1/4m.
Vi får vidare att:
Tn=1+1/2+1/4+1/8+...+1/2n,
och vi kan skriva om detta som
Tn=1+(1/2)1+(1/2)2+(1/2)3+...+(1/2)n,
|