Kf1 - Tillämpad Matematik, TMA 225 - 2005

Lärare

Föreläsare, handledare och examinator:
Nils Svanstedt, telefon: 772 5346, nilss@math.chalmers.se
Matematiskt Centrum

Kursbeskrivning

Kursen behandlar matematiska modeller i 1D och 2D av processer där reaktion och produktion, samt transportmekanismer som diffusion och konvektion, ingår. Dessa modeller, som typiskt baseras på konservering av massa och värme samt vissa konstitutiva samband, utgörs av partiella differentialekvationer. Huvudmomentet i kursen består i att lära dig beräkna lösningar till dessa ekvationer med Finita Elementmetoden (FEM), vilken bygger på approximation med styckvisa polynom. Vi inleder kursen med att studera styckvisa polynom och hur de kan användas för att approximera givna funktioner. Vi går sedan vidare och beskriver hur en approximation av den okända lösningen till en differentialekvation kan beräknas. Under kursens gång kommer du att få arbeta med både teori, implementation av metoden, samt modellering. Speciellt utvecklar du din egen FEM-lösare i Matlab. Du kommer aven att lara Dig att anvanda programvaran Puffin under rubriken E i datorsessionerna i Body & Soul.

Kursform

Föreläsningar (4 tim/v) plus övningar i datorstudio (4 tim/v). Arbetet med inlämningsuppgifterna spelar en viktig roll under kursen och ger genomgång av hela kursinnehållet från teori till praktik.

Schema

OBS! P.g.a. helger, m.m., utgår vissa undervisningstillfällen.
Föreläsning:
Måndag 13-15, i KS41. Torsdag 13-15, i KS32.

Datorstudio:
Tisdag 13-15, i KD1. Fredag 8-10, i KD1.

Kurslitteratur

Applied Mathematics: Body & Soul Part D: kap 52, 53, 76 och 77.

Detaljerat kursprogram

Grov plan för föreläsningarna:

Läsvecka 1-4: kap 52, 53.
Läsvecka 5-8: kap 76, 77.

Detaljerad (preliminär) plan:

LV1:

Föreläsning 1, måndag 13-15: Vektorrummet av linjära funktioner på ett intervall. Vektorrummet av styckvis linjära, kontinuerliga funktioner på ett intervall. Linjär interpolation. Styckvis linjär, kontinuerlig interpolation. Interpolationsfeluppskattningar. (52.1-3)

Föreläsning 2, torsdag 13-15: Bevis av interpolationsfeluppskattningar i max normen. Introduktion till L2-projektion. Definition samt härledning av linjärt ekvationssystem. (52.4)

Studioövning 1-2, tisdag 13-15 och fredag 8-10: Piecewise Polynomial Lab. Om du vill kan du ladda ner ("Shift-klicka" på länkarna) de två filer som behövs för att köra PP Lab till din egen dator: PP.fig och PPmod.m. Ovningsuppgifter pa interpolation och L2-projektion.

LV2:

Föreläsning 3, måndag 13-15: Formulering och bevis av feluppskattningar av felet i L2-projektionen (52.4).
Finita element metoden (FEM) (53.1-6). Definition, harledning av linjart ekvationssystem,

Studiövning 3, tisdag 13-15: Genomgång av kvadraturformler med tillämpning pa numerisk beräkning av integraler samt beräkning av ekvationssystem för L2-projektion. Kvadratur. L2-projektion.
Skapa en mapp Studio3 i din kurskatalog och ladda ned filerna LoadVector.m och MassMatrix.m till denna mapp.

Föreläsning 4, torsdag 13-15: Fortsättning av: FEM (53.1-6). Existens och entydighet samt feluppskattning i energinorm.

Studioövning 4, fredag 8-10: Genomgang av Neumann och Robinvilkor i FEM. Vi visar ocksa att Dirichlet vilkor kan approximeras med Robinvillkor. Eget arbete pa Styvhetsmatris. Robinrandvillkor. (53.5-6)

Sammanfattning Lv 1-2:

Vi har introducerat rummet V_h av kontinuerliga och styckvis linjära funktioner på en indelning av ett intervall. Utvecklingen av en funktion v i V_h som en linjärkombination av hatt-bas-funktioner är mycket viktig och kommer att användas om och om igen. Vi har studerat problemet: Givet en funktion f, finn en approximation av f i V_h. Här har vi studerat tva olika metoder: interpolation och L2-projektion.   Vi har studerat interpolation och bevisat feluppskattningar för interpolationsfelet i maximum-normen. Vi har även studerat L2-projektion och härlett ett linjärt ekvationssystem som används för att beräkna denna. I analysen av L2-projektionen har vi visat en feluppskattning samt att L2-projektionen existerar unikt. Teknikerna i beräkning och analys av L2-projektionen kommer igen i FEM och är därför mycket viktiga moment. 

LV3:

Forelasning 5, mandag 13-15 Framat och bakat Euler for numerisk losning av ordinara differential ekvationer. Finit element diskretisering av tidsberoende problem.

Studiovning 5, tisdag 13-15, Fortsatt arbete pa Styvhetsmatris. Robinrandvillkor. (53.5-6). Samt om Du hinner: Starta arbete med Tidsberoende problem.

Föreläsning 6, torsdag 13-15: Adaptiva metoder, a posteriori feluppskattningar och natforfing.

Studioovning 6, fredag april 2, 8-10: Fortsatt arbete med Tidsberoende problem. samt Inlamningsuppgift 1.

LV4:

Forelasning 7 , mandag 13-15: Adaptiva metoder, a posteriori feluppskattningar och natforfing.

Studiovning 7, tisdag 13-15: Arbete med Tidsberoende problem. samt Inlämningsuppgift 1.

Forelasning 8 , torsdag 13-15: Problemlosning. Gemensam rakning samt enskild rakning bland Räkneuppgifter lv1-lv3.

Studiovning 8, fredag 8-10: Slutforande av arbete med Inlamningsuppgift 1.

OBS! Fredag 17.00 Deadline för Inlämningsuppgift 1. Lämnas i samband med fredagens studio eller senast klockan 17.00 utanfor rum 2348 i matematiskt centrum.

LV5:
Föreläsning 9, måndag 13-15: Introduktion till tvådimensionella problem, triangulering, basfunktioner. Stationära värmeledningsekvationen i 2D. Formulering av FEM för Poisson problemet

Studioövning 9, tisdag 13-15: Introduktion till Puffin Samt arbete med Session E1 i datorsessionerna i Body & Soul.

Föreläsning 10, torsdag 13-15 Utgår ! Kristi Himmelsfärdsdag. Interpolation med formulering av feluppskattningar. L2-projektion, härledning av ekvationssystem och feluppskattningar. Finita element metoden för tvådimensionella problem. Existens och entydighet för fem lösningen. Feluppskattningar i energi och L2-normen.

Studioövning 10, fredag 8-10: Flyttas till tisdag 10 maj kl 15-17 i KD1. .

LV6:

Föreläsning 11, måndag 13-15: Finita element för tidsbeorende problem. Framåt och bakåt Euler samt Crank-Nicolson.

Studioövning 11, tisdag 13-17 Fortsatt arbete med Session E1 i datorsessionerna i Body & Soul Fortsätt sedan att arbeta med Session E2 i datorsessionerna i Body & Soul

Föreläsning 12, torsdag 13-15: Konvektions-diffusionsproblem och reaktions-diffusionsproblem. Nu kan Du ladda hem en Övingsskrivning samt lösningar till uppgift 2 och 3.

Studioövning 12, fredag 8-10: Utgår !!

LV7:

Föreläsning 13, måndag 13-15: Utgår !!

Studioövning 13, tisdag 13-17: Genomgång av system av konvektion-reaktion-diffusionsproblem. Arbete med Sessionerna E3- E5 i datorsessionerna i Body & Soul

Föreläsning 14, torsdag 13-15: Resume' av kursen. Gemensam räkning av uppgifter lv 5-7.

Studioövning 14, fredag 8-10: Arbete med tidigare studioövningar samt inlämningsuppgift 2.

Inlämningsuppgifter

Inlämningsuppgift 1:
Lösare för tvåpunkts randvärdesproblem, valda problem, topics, tillämpningar.
ps-format och pdf-format
Tillägg till inlämningsuppgift 1, deluppgift D
ps-format och pdf-format
OBS! Fredag 29/4 kl. 17.00 i lv 4 Deadline för Inlämningsuppgift 1.

Inlämningsuppgift 2:
Användande av Puffin for losning av valt problem.
En skriftlig redovisning skall lamnas in. Den skall innehålla problembeskrivning. Modell (lämplig PDE). Variations- och FEM formulering. Diskreta ekvationssystemet. Matlab-kod. Numerisk lösning (Visualisering). Kommentar om lösningen och modellen. I kap. 77.18 i AMBS sid 1075-1076 finns ett antal exempel. I 77.17 beskrivs vågekvationen. Inspiration kan Du även få om Du studerar innehället i sessionerna E3-E5 noga. Under studiopassen LV5 kommer jag att presentera ett antal exempelproblem och visa några tidigare rapporter.

Examination

1. Att bli godkänd på två obligatoriska inlämningsuppgifter som delas ut lv2 och lv5, och lämnas in lv4 och lv7. Uppgifterna är individuella men samarbete i grupp uppmuntras.

2. En skriftlig tentamen (28/5 V e). Tentamensproblemen kommer att valjas bland räkneuppgifterna.

Räkneuppgifter och extra materiel:

lv1:
Räkneuppgifter lv1:
ps-format och pdf-format

Lösningar till Räkneuppgifter lv1:
ps-format och pdf-format

lv2:
Räkneuppgifter lv2: (Kvadratur. L2-projektion.)
ps-format och pdf-format

Lösningar till Räkneuppgifter lv2:
ps-format och pdf-format

Kvadratur (1D):
ps-format och pdf-format

Robinrandvillkor (1D):
ps-format och pdf-format

lv3:
Räkneuppgifter lv3: (FEM.)
ps-format och pdf-format

Lösningar till Räkneuppgifter lv3:
ps-format och pdf-format

Tidsberoende problem (1D):
ps-format och pdf-format (Utdelat på föreläsning måndag lv3.)

lv4:
Inga nya räkneuppgifter. Slutfor Inlamningsuppgift 1.

lv5:
Räkneuppgifter lv5: (Triangulering)
ps-format och pdf-format

Lösningar till Räkneuppgifter lv5:
ps-format och pdf-format

lv6:
Räkneuppgifter lv6: (Kvadratur, massmatris)
ps-format och pdf-format

Lösningar till Räkneuppgifter lv6:
ps-format och pdf-format

Robinrandvillkor 2D:
ps-format och pdf-format (Utdelat på föreläsning måndag lv6.)

lv7:
Räkneuppgifter lv7: (2D)
ps-format och pdf-format

Lösningar till Räkneuppgifter:
ps-format och pdf-format

Tidsberoende problem (2D):
ps-format och pdf-format (Utdelat på föreläsning måndag lv 7)

Adaptiva algoritmer:
ps-format och pdf-format


Editor: Nils Svanstedt
Last modified: 2005-05-03