Lärare
Föreläsare, handledare och examinator:
Nils Svanstedt,
telefon: 772 5346, nilss@math.chalmers.se
Matematiskt Centrum
Kursbeskrivning
Kursen behandlar matematiska modeller i 1D och 2D
av processer där reaktion och produktion, samt
transportmekanismer som diffusion
och konvektion, ingår. Dessa modeller, som
typiskt baseras på
konservering av massa och värme samt vissa
konstitutiva samband,
utgörs av partiella differentialekvationer.
Huvudmomentet i kursen
består i att lära dig beräkna lösningar till dessa
ekvationer
med Finita Elementmetoden (FEM), vilken bygger på
approximation
med styckvisa polynom. Vi inleder kursen med att
studera styckvisa polynom och hur de kan användas för
att approximera givna funktioner. Vi går sedan
vidare och beskriver hur en approximation av den
okända lösningen till en differentialekvation kan
beräknas. Under kursens gång kommer du att få arbeta
med både teori, implementation av metoden, samt
modellering. Speciellt utvecklar du din egen
FEM-lösare i Matlab. Du kommer aven att lara Dig att
anvanda programvaran Puffin
under rubriken E i datorsessionerna
i Body & Soul.
Kursform
Föreläsningar (4 tim/v) plus övningar i datorstudio (4 tim/v).
Arbetet med inlämningsuppgifterna spelar en viktig roll under kursen
och ger genomgång av hela kursinnehållet från teori
till praktik.
Schema
OBS! P.g.a. helger, m.m., utgår vissa
undervisningstillfällen.
Föreläsning:
Måndag 13-15, i KS41. Torsdag 13-15, i KS32.
Datorstudio:
Tisdag 13-15, i KD1. Fredag 8-10, i KD1.
Kurslitteratur
Applied Mathematics: Body & Soul Part D: kap 52, 53, 76 och 77.
Detaljerat kursprogram
Grov plan för föreläsningarna:
Läsvecka 1-4: kap 52, 53.
Läsvecka 5-8: kap 76, 77.
Detaljerad (preliminär) plan:
LV1:
Föreläsning 1, måndag 13-15:
Vektorrummet av linjära funktioner på ett intervall. Vektorrummet av styckvis
linjära, kontinuerliga funktioner på ett intervall. Linjär interpolation.
Styckvis linjär, kontinuerlig interpolation. Interpolationsfeluppskattningar.
(52.1-3)
Föreläsning 2, torsdag 13-15:
Bevis av interpolationsfeluppskattningar i max normen. Introduktion till L2-projektion.
Definition samt härledning av linjärt ekvationssystem. (52.4)
Studioövning 1-2, tisdag 13-15 och fredag 8-10:
Piecewise Polynomial Lab.
Om du vill kan du ladda ner
("Shift-klicka" på länkarna)
de två filer som behövs för
att köra PP Lab till din egen dator:
PP.fig
och PPmod.m.
Ovningsuppgifter pa interpolation och L2-projektion.
LV2:
Föreläsning 3, måndag 13-15:
Formulering och bevis av feluppskattningar av felet i L2-projektionen (52.4).
Finita element metoden (FEM) (53.1-6). Definition, harledning av linjart ekvationssystem,
Studiövning 3, tisdag 13-15: Genomgång av kvadraturformler
med tillämpning pa numerisk beräkning av integraler samt beräkning av
ekvationssystem för L2-projektion.
Kvadratur. L2-projektion.
Skapa en mapp Studio3 i din kurskatalog och ladda ned filerna
LoadVector.m och
MassMatrix.m till
denna mapp.
Föreläsning 4, torsdag 13-15:
Fortsättning av: FEM (53.1-6).
Existens och entydighet samt feluppskattning i energinorm.
Studioövning 4,
fredag 8-10: Genomgang av Neumann och Robinvilkor i FEM.
Vi visar ocksa att Dirichlet vilkor kan approximeras med Robinvillkor. Eget arbete pa
Styvhetsmatris. Robinrandvillkor. (53.5-6)
Sammanfattning Lv 1-2:
Vi har introducerat rummet V_h av kontinuerliga och styckvis linjära funktioner
på en indelning av ett intervall. Utvecklingen av en funktion v i V_h som
en linjärkombination av hatt-bas-funktioner är mycket viktig och kommer
att användas om och om igen.
Vi har studerat problemet: Givet en funktion f, finn en
approximation av f i V_h. Här har vi studerat tva olika metoder: interpolation och
L2-projektion.
Vi har studerat interpolation och bevisat feluppskattningar för
interpolationsfelet i maximum-normen. Vi har även studerat L2-projektion
och härlett ett linjärt ekvationssystem som används för att beräkna
denna. I analysen av L2-projektionen har vi visat en feluppskattning samt att
L2-projektionen existerar unikt. Teknikerna i beräkning och analys av
L2-projektionen kommer igen i FEM och är därför mycket viktiga moment.
LV3:
Forelasning 5, mandag 13-15
Framat och bakat Euler for numerisk losning av ordinara differential ekvationer.
Finit element diskretisering av tidsberoende problem.
Studiovning 5, tisdag 13-15, Fortsatt arbete pa
Styvhetsmatris. Robinrandvillkor. (53.5-6).
Samt om Du hinner: Starta arbete med Tidsberoende problem.
Föreläsning 6, torsdag 13-15: Adaptiva metoder, a posteriori feluppskattningar och natforfing.
Studioovning 6, fredag april 2, 8-10: Fortsatt arbete med Tidsberoende problem.
samt Inlamningsuppgift 1.
LV4:
Forelasning 7 , mandag 13-15:
Adaptiva metoder, a posteriori feluppskattningar och natforfing.
Studiovning 7, tisdag 13-15: Arbete med Tidsberoende problem.
samt Inlämningsuppgift 1.
Forelasning 8 , torsdag 13-15: Problemlosning. Gemensam rakning samt enskild rakning
bland Räkneuppgifter lv1-lv3.
Studiovning 8, fredag 8-10: Slutforande av arbete med Inlamningsuppgift 1.
OBS! Fredag 17.00 Deadline för Inlämningsuppgift 1. Lämnas i samband
med fredagens studio eller senast klockan 17.00 utanfor rum 2348 i matematiskt centrum.
LV5:
Föreläsning 9, måndag 13-15:
Introduktion till tvådimensionella problem, triangulering,
basfunktioner. Stationära värmeledningsekvationen i 2D.
Formulering av FEM för Poisson problemet
Studioövning 9, tisdag 13-15: Introduktion till
Puffin
Samt arbete med Session E1 i datorsessionerna
i Body & Soul.
Föreläsning 10, torsdag 13-15
Utgår ! Kristi Himmelsfärdsdag.
Interpolation med formulering av feluppskattningar. L2-projektion,
härledning av ekvationssystem och feluppskattningar. Finita element metoden för tvådimensionella problem. Existens
och entydighet för fem lösningen. Feluppskattningar i energi och L2-normen.
Studioövning 10, fredag 8-10:
Flyttas till tisdag 10 maj kl 15-17 i KD1.
.
LV6:
Föreläsning 11, måndag 13-15:
Finita element för tidsbeorende problem. Framåt och bakåt Euler samt Crank-Nicolson.
Studioövning 11, tisdag 13-17
Fortsatt arbete med
Session E1 i datorsessionerna
i Body & Soul Fortsätt
sedan att arbeta med Session E2 i
datorsessionerna
i Body & Soul
Föreläsning 12, torsdag 13-15:
Konvektions-diffusionsproblem och reaktions-diffusionsproblem.
Nu kan Du ladda hem en Övingsskrivning
samt
lösningar till uppgift 2 och 3.
Studioövning 12, fredag 8-10: Utgår !!
LV7:
Föreläsning 13, måndag 13-15: Utgår !!
Studioövning 13, tisdag 13-17:
Genomgång av
system av konvektion-reaktion-diffusionsproblem.
Arbete med Sessionerna E3- E5 i
datorsessionerna
i Body & Soul
Föreläsning 14, torsdag 13-15: Resume' av kursen. Gemensam
räkning av uppgifter lv 5-7.
Studioövning 14, fredag 8-10:
Arbete med tidigare studioövningar samt inlämningsuppgift 2.
Inlämningsuppgifter
Inlämningsuppgift 1:
Lösare för tvåpunkts randvärdesproblem, valda
problem, topics, tillämpningar.
ps-format och
pdf-format
Tillägg till inlämningsuppgift 1, deluppgift D
ps-format och
pdf-format
OBS! Fredag 29/4 kl. 17.00 i lv 4 Deadline för Inlämningsuppgift 1.
Inlämningsuppgift 2:
Användande av Puffin for losning av valt
problem.
En skriftlig redovisning skall lamnas in. Den skall innehålla
problembeskrivning. Modell (lämplig PDE). Variations- och FEM formulering.
Diskreta ekvationssystemet. Matlab-kod. Numerisk lösning (Visualisering). Kommentar
om lösningen och modellen.
I kap. 77.18 i AMBS sid 1075-1076 finns ett antal exempel. I 77.17 beskrivs vågekvationen.
Inspiration kan Du även få om Du studerar innehället i sessionerna E3-E5 noga.
Under studiopassen LV5 kommer jag att presentera ett antal
exempelproblem och visa några tidigare rapporter.
Examination
1. Att bli godkänd på två obligatoriska
inlämningsuppgifter som delas ut lv2 och lv5,
och lämnas in lv4 och lv7. Uppgifterna är individuella
men samarbete i grupp uppmuntras.
2. En skriftlig tentamen (28/5 V e). Tentamensproblemen kommer att
valjas bland räkneuppgifterna.
Räkneuppgifter och extra materiel:
lv1:
Räkneuppgifter lv1:
ps-format och
pdf-format
Lösningar till Räkneuppgifter lv1:
ps-format och
pdf-format
lv2:
Räkneuppgifter lv2: (Kvadratur. L2-projektion.)
ps-format och
pdf-format
Lösningar till Räkneuppgifter lv2:
ps-format och
pdf-format
Kvadratur (1D):
ps-format och
pdf-format
Robinrandvillkor (1D):
ps-format och
pdf-format
lv3:
Räkneuppgifter lv3: (FEM.)
ps-format och
pdf-format
Lösningar till Räkneuppgifter lv3:
ps-format och
pdf-format
Tidsberoende problem (1D):
ps-format och
pdf-format
(Utdelat på föreläsning
måndag lv3.)
lv4:
Inga nya räkneuppgifter. Slutfor Inlamningsuppgift 1.
lv5:
Räkneuppgifter lv5: (Triangulering)
ps-format och
pdf-format
Lösningar till Räkneuppgifter lv5:
ps-format och
pdf-format
lv6:
Räkneuppgifter lv6: (Kvadratur, massmatris)
ps-format och
pdf-format
Lösningar till Räkneuppgifter lv6:
ps-format och
pdf-format
Robinrandvillkor 2D:
ps-format och
pdf-format
(Utdelat på föreläsning
måndag lv6.)
lv7:
Räkneuppgifter lv7: (2D)
ps-format och
pdf-format
Lösningar till Räkneuppgifter:
ps-format och
pdf-format
Tidsberoende problem (2D):
ps-format och
pdf-format
(Utdelat på föreläsning måndag lv 7)
Adaptiva algoritmer:
ps-format och
pdf-format
|