Modellering

På denna sida hittar du information om modelleringsdelen av kursen.

Jag har lagt upp några lösta Geogebra-exempel (sidan öppnas i ett nytt fönster).

Om första mötet 23/8.
Jag gick igenom sid 1-27 i nedanstående föreläsningsanteckningar. Resten hann jag, som förväntat, inte med. Jag har hittat tre skrivfel, sid 13, division skall vara med i listan av operationer. Sid 28, rad -1, F_luft(t) = 0 skall det stå. Bilden sid 15, y(0) skall vara y(-3.73).

Vi övade på exemplen i föreläsningsanteckningarna vilket gjorde att vi inte hann med nedanstående övningar. De får därför bli rekommenderade övningar för dem som var närvarande. Om du inte var där, får du lösa och lämna in (via e-post) övning 1-5.

Frågor och kommentarer som kom under och efter föreläsningen:

Tag med egen dator, med Geogebra5 installerat, till tentamen. Du får ta med dig lösningarna till de obligatoriska övningarna vid tentan.
Man kan öka teckenstorleken. Se Teckenstorlek under Inställningsmenyn.
ODE = ordinär differentialekvation (ordinary differential equation på eng), dvs ett problem där man söker en (flera om man har ett system) funktion, y(x), av en variabel x. Ekvationen innehåller normalt y samt derivator y'(x), y''(x) etc. Standardformuleringen (som programvara kan hantera) är system med enbart förstaderivator, som exemplet på sid 23 i föreläsningsanteckningarna.
Det är vanligt i tillämpningar att man har funktioner som beror på mer än en variabel, position och tid till exempel. Har man ekvationer med partiella derivator (deriverar med avseende på en variabel åt gången) talar man om PDE, partiell differentialekvation (partial differential equation). Inga PDE ingår i kursen, men läroboken innehåller ett kort avsnitt i slutet (om värmeledning).
Använd decimalpunkt inte komma.
När du använder CAS-delen och skriver prim i y' måste det vara rätt prim (finns flera varianter).
Om du inte ser något i plotfönstret testa att zooma ut, kurvan finns kanske utanför plotområdet.
Man kan zooma med rull-hjulet på musen (om man nu har ett sådant hjul).
För att återställa axlarna efter eventuell omskalning etc, högerklicka i plotfönstret och välj Standardvy.
3D-rotation behöver inte fungera fastän man använder JOGL1-varianten (som fungerar för mig).
Någon hade problem att läsa in Geogebra4-filer i Geogebra5 (det har inte jag).
Rätt många hade problem med att få kommandona på sid 26 att fungera. En hypotes var att blanktecken ställde till något. Det verkar inte vara så. Jag vet inte varför det blev problem :-(
Om man använde CAS-delen kan man ibland få nonsens-svar (att den sökta lösningen är noll t.ex). Lita inte för mycket på CAS-delen!

Föreläsningsanteckningar: Jag kommer att använda projektor vid fredagens föreläsningen och anteckningarna finns i tre format, 2 bilder per A4-sida, fyra bilder per sida och åtta sidor per sida. Välj en lämplig storlek.

Här är Geogebra-laborationen som vi kommer att arbeta med den 23/8. När du är färdig med en övning visa den för mig. Under tiden du väntar på att redovisa kan du fortsätta med nästa övning. DE = differentialekvation, differentialekvationen etc.

Jag har lagt upp lösningar, i form av ggb-filer, till problem 6-8.

lab6.ggb, lab7_8.ggb.

Rita, i samma fönster, en sinuskurva i rött och en cosinuskuva i blått. Skriv lämplig text i plotten.
Spara det du gjort som en Geogebra-fil med namnet lab1.ggb. Avsluta Geogebra, starta sedan om programmet och läs in den fil du nyss sparat.
Det är lämpligt att spara alla uppgifterna på detta sätt.
Beräkna sqrt(3)^2 - 3 och ändra antalet gällande siffror till tre.
Vad blir 10000 + 1E-13 - 10000?
Vad blir 1/0, atan(1/0) respektive sin(1/0)?
Kommentarer?
Använd kommandot LösODE för att rita lösningen till y'(x) = 0.1 y(x), y(0)=1.
Skapa en glidare med namn c, där c antar värden i intervallet [-1, 1] med steg 0.1. Lös problemet y'(x) = c y(x), y(0)=1 och testa att variera c. Rita sedan alla lösningskurvorna i samma plot.
DE för en harmonisk oscillator (kula som hänger i en spiralfjäder t.ex) kan, i vissa fall, skrivas som följande system av två första ordningens DE: y' = z och z' = -d · z - y, där d är en dämp-parameter (friktion, luftmotstånd) och y är avvikelsen från jämviktsläget. Inför en glidare för d i [0, 2] och lös DE. Använd begynnelsvillkoren y(0) = -1, z(0) = 0 och sluttid = 20. Rita också lösningen i fasplanet, dvs. rita z som funktion av y. Variera dämpningen och titta då speciellt på fallet d = 0. Slutsatser?
Lös DE y' = 0.1 y + y², där y(0) varieras med en glidare i intervallet [-1, 1] och steget 0.01. Använd sluttiden 100. Vi är ofta intresserade av vad som händer med y(x) när x går mot oändligheten. Verkar y(x) närma sig ett speciellt värde (beror på y(0))? Hade man kunnat förutse detta (ledning, tänk på derivatans tecken).
Under lämpliga villkor kan DE för en pendel (kula i ett snöre) skrivas v''(t) + sin(v(t)) = 0, v(0) = v0, v'(0) = 0, där v(t) är utslagsvinkeln som funktion av tiden. LösODE kan hantera andra ordningens problem, men träna på att skriva om DE som ett system av två första ordningens DE. Lös problemet då begynnelsevärdet v0 = 0.1 och sluttid = 60.
Om man har små vinklar i föregående uppgift kan man tillåta sig approximationen sin(v(t)) = v(t). Inför en glidare för v0 i intervallet [0, 1]. Jämför lösningen, med ovanstående approximation, med lösningen i uppgift 6 och för varierande v0. Rita endast vinkeln (inte tidsderivatan av den). Hur väl fungerar approximationen?

Jag kommer endast att examinera på läroboken Mathematical Modelling. Kapitel 1-7 ingår, kapitel 8 läses kursivt. Följande övningar är obligatoriska (ingår i examinationen). Skicka lösningarna i form av ggb-filer, en per problem, via e-post till thomas@chalmers.se. Skicka inte lösningarna via GUL. Namnge filerna efter problemen, så din lösning till problem 2.3 skall heta p_2.3.ggb etc. I de fall uppgiften består av flera delar, a, b etc, namnge filerna enligt p_2.3a.ggb, p_2.3b.ggb osv. Ett mail per kapitel. Datumen avser deadlines under 2013.

Läs igenom nedanstående tryckfelslista först!
Lös uppgifterna numeriskt, använd inte CAS (symbolisk lösning, det fungerar sällan).

Inga övningar.
2.6, 2.13 (i (a) antag tre glas vid t=0, sedan inget mer, i (c) räkna på 12 timmar). Deadline 6/9.
3.5, 3.8. Deadline 20/9.
Inga övningar.
5.1d (antag att S(0) = 500), 5.7, 5.10. Deadline 4/10.
6.1, 6.2 (a), 6.5 (när du testar kan du anta att beta = 2, gamma = 3). Deadline 18/10.
7.1, 7.3. Deadline 28/10.
Inga övningar.

Flertalet övningar kräver att man löser system av differentialekvationer. För att kunna göra detta på ett smidigt sätt kommer vi att använda en beta-version av Geogebra 5 (sidan öppnas i ett nytt fönster). Jag har testat version 4-9-189-0 (jag hämtade exe-filen). Denna version är en utökad variant av Geogebra 4 (som inte klarar av system utan en massa krångel). Vid första mötet kommer jag att visa hur man använder beta-versionen för att lösa system och för att rita fasporträtt. Eftersom beta-versionen är under utveckling så innehåller den dessvärre en del buggar. Det går bra att ha flera versioner av Geogebra installerade samtidigt, så du behöver inte ta bort den tidigare versionen (om du har någon).

Här några skrivfel i läroboken Mathematical Modelling. Negativa radnummer räknas nedifrån sidan.

Sid 16, rad 13 och 16. Det skall vara k exp(-kt) inte -k exp(-kt) (inget första minustecken).
Sid 25, raderna 3 och 7: 10¹1 skall vara 10¹¹
Sid 27, rad -4: F(t)=10⁶(6 + sin(2 pi t)).
Sid 28, figur 2.8: enheten efter y-axeln, skall vara m³ (inte m^-3).
Sid 30, rad 1: tag bort 0.
Sid 35, formel (2.25), tidsderivatan av C₁ skall vara I - k₁ C₁ (inte C₂).
Sid 49 problem 2.16, den andra diff-ekv, skall vara k₂ C₁ inte k₂ C₂.
Sid 79, problem 3.6, h_0 skall vara h.
Sid 88, rad -1: rashter skall vara rather.
Sid 103, rad 3: only if beta S / gamma < 1, skall det vara.
Sid 128, problem 5.1; byt konstanterna b och r mot beta resp. gamma. Uppdaterat 23/9.
Sid 129, problem 5.7c, ändra Y=80 till Y=90.
Sid 165, problem 6.14: stryk ) efter pc).