Välkommen till kursen
Schemat för kursen hittar du via länken till webTimeEdit på
sidans topp.
Aug 27, 14.20: Här är gårdagens tenta med lösningar. Här är Figur 1.
Jan 19, 11.40: Här är tenta med lösningar från 5/1. Här är figur 1
Okt 24, 14.25: Här är dagens tenta med lösningar, plus en bild för uppgift 6.b.(i)
Okt 23, 12.35: Tentan är nu skriven och
inlämnad till vakterna. Den består av 7 uppgifter, värda 6,7,6,7,9,9,6
poäng. Det står samma preamble som på Intro-tentan om att motivera alla
svaren väl. Dessutom står det att man behöver inte på kombinatorik
uppgiften(-erna) räkna ut svaren som bas-10 tal (så om du får typ 23!
kan du lämna det så).
Jag kommer att gå runt själv till salarna ca 09.15 och 11.00 i fall ni har frågor. Annars nås jag via mobilen: 0766377873.
Vi har ingen frågestund i e.m. men jag är på kontoret i fall ni vill komma förbi, och annars svarar på mail.
Lycka till imorgon !
Okt 20, 19.10: Jag har gått igenom alla
IT-tentorna tillbaka till december 2006 och här är listan av de
uppgifter som jag tycker ni kan strunta i:
2012-12-22: #7
2011-04-29: #4
2010-08-17: #3 (ge dock ETT bevis)
2010-04-10: #5
2009-12-17: #5, #6
2008-03-29: #5
2007-12-15: #4
2007-08-21: #2
2007-04-14: #7
2006-12-21: #5 (ge dock ETT bevis)
Okt 15, 16.20: 1. Lösningar till Kryss #6 finns uppe nu på hemsidan.
Jag har räknat ihop alla kryssen i PP och räknat ut bonuspoäng för alla, enligt formeln
Bonus = 3*X/Z + 2*Y/W,
där X = antalet B-kryss du har, Z = 29, Y = antalet E-kryss du har, W = 19.
Om du vill kolla vad du har för bonus så kan du maila mig.
OBS! Dagens kryss för 3 personer ströks ty de var inte på plats när deras grupp kallades.
2. Nu är salar bokade fram till kursens slut. Schemat är:
Fredag 15-17, Repititionsövning, ES52.
Måndag 9-12: Repititionsföreläsning, HB3.
Tisdag 8-10: Repititionsövning, ES52.
Torsdag 10-12: Repititionsövning, ML2 och ML3.
Anders och Åse räknade klart tenta 200814 idag. Anders hann göra #1,2,3
på 250415 medan att Åse hann göra bara #2. På måndag ska vi fortsätta
med den tentan, och jag ska göra om #1 och #3.
Fredags, tisdags och torsdagspassen är för eget arbete och frågestund.
Jag är annars tillgängligt hela tiden via mail eller på kontoret (om du
tänker komma förbi kan du skicka sms om du vill kolla om jag är här).
Okt 14, 15.06: Nu har jag lagt upp på
hemsidan, under "Gamla Tentor", alla de gamla IT-tentorna som saknas
från den kursens hemsida, plus en länk till den sidan. OBS! Jag ska absolut
inte skriva lösningar till dessa "försvunna tentor", men vi kommer att
gå igenom dessa i första hand när vi räknar gamla tentor på de kommande
repititionspassen.
Okt 14, 13.04: 1. Jag fick några frågor om basuppgifterna på kryss #6. Bifogar frågorna och mina svar i slutet på detta mail.
2. Kursen är nu slut. Det återstår repititionsaktiviteter. Jag kollade på gamla hemsidor för ITs kurs:
https://www.chalmers.se/sv/institutioner/math/utbildning/grundutbildning-chalmers/arkitekt-och-civilingenjor/informationsteknik/Sidor/tmv200.aspx
och hittade teser plus lösningar till alla tentor tillbaka till läsåret 06/07 förutom följande:
Aug 2014
Påsk 2014
Aug 2011
Påsk 2011
Aug 2009
Aug 2008
Påsk 2008
Aug 2007
Påsk 2007
Dessa ska jag själv kopiera upp under dagen och lägga ut på vår hemsida.
När vi räknar igenom gamla tentor ska vi först och främst räkna på
dessa tentor, i omvänd kronologisk ordning. När det gäller gamla
D-tentor så finns lösningar på hemsidan till de senaste 9 st, sedan 8 st
till utan lösningar.
När jag får lite tid så ska jag träska mig igenom ALLA gamla D- och
IT-tentor och göra en lista över uppgifter som behandlar
icke-examinerbart material.
Imorgon när vi är klara med kryssredovisning ska jag börja gå igenom
tentan ovan från Aug 2014. På e.m. kommer Åse och Anders att ta över och
fortsätta. På fredag 15-17 har vi "jobba själv" verksamhet som vanligt.
Ang. nästa vecka:
Jag kollade i ert schema nu igen och helt plötsligt är det ganska proppfullt igen. De uppenbara luckorna finns vid
Måndag 8-12
Tisdag 8-10, 15-17
Onsdag 8-10
Torsdag 10-12
Mitt förslag är att vi har ett repititionspass i storsal mellan 09.00 -
11.45 på måndagen (gamla tentor och sådant) och en "frågestund" på
torsdag 10-12 i lektionssalar (där alla övningsledarna kan också vara
med, men där ni i första hand ska jobba själva och kunna ställa frågor).
Så mycket borde räcka känns det som, jag är alltid tillgängligt via mail
eller på kontoret för enskilda frågor, men jag är ok med att också
lägga in ngt på tisdag 15-17 om det så önskas. Ni får höra av er i så
fall, eller om det av ngt skäl inte går ihop med det schema jag
föreslår. Jag ska vänta tills imorgon innan jag bokar salar.
-------------------
FRÅGA OM B.1(d):
På uppgift 1 d) där man ska visa om grafen är bipartit, är det OK att endast ha definitionen
* En graf är bipartit om och endast om den inte har några cykler av udda längd.
SVAR:
Ja, det är ok. Fast det är också rätt lätt att se hur noderna ska
fördelas i två disjunkta grupper sådan att alla kanterna går mellan
noder i olika grupper. Dvs du kan ange V_1 och V_2 sådan att V_1 snitt
V_2 = tom, V_1 union V_2 = {1,2,3,4} och alla kanterna går mellan V_1
och V_2.
FRÅGA OM B.3(a):
När det gäller dom kompletta graferna för B3, är dom märkta eller inte?
Med märkta så menar jag att hamiltoncykeln i K3 (A -> B -> C -> A ) är annorlunda än tex ( B -> C -> A -> B).
Om dom inte är märkta, skiljer sig ändå två hamilton cyklar som går åt olika "håll"?
Är tex ( A -> B -> C -> A) en annorlunda hamiltoncykel än (A -> C -> B -> A) i K3?
SVAR:
Ja, man ska betrakta grafen som märkt här. M.a.o. det är den exakta sekvensen av noder som bestämmer Hamiltoncykeln.
Sedan återstår det att fråga huruvida start/slut punkten i cykeln ska
tas i beaktande, så t.ex. om n = 3, huruvida 1-2-3-1 ska betraktas som
samma cykel som 2-3-1-2 eller inte. Du kan själv bestämma vilket du
föredrar, men bäst vore om du kan ge svaret i båda fallen. Jag föredrar
personligen att man betraktar sådana cykler som SAMMA cykel, ty de
innehåller exakt samma kanter och i samma ordning. M.a.o. jag föredrar
att man ska EJ ta hänsyn till start/slut punkten.
Okt 13, 18.20: Jag hade glömt att öppna en
mapp i PP för självkryssning av basuppgifterna 6.B. Nu ska detta vara
fixat. Jag har lagt in alla E-kryssen så du kan kolla att infon stämmer
för dig.
Okt 12, 14.00: 1. Kursen närmar sig sitt
slut. Vi har i princip kvar 2 begrepp: grannmatriser och isomorfi av
grafer. Med sannolikhet 1-epsilon är vi klara efter onsdagens
föreläsning, Grannmatriser förekommer på kryss #6, uppgift B.1.
Redovisning av basuppgifterna blir på torsdag kom ihåg.
2. Jag fick ett antal frågor under övningen imorse om förtydliggande av vissa kryssuppgifter. Här är svaren:
B.1(e): vägarna behöver ej vara enkla. Så t.ex. om det finns en kant
mellan a och b, så är a -> b -> a -> b en godkänd väg av längd 3
från a till b.
B.2: Bland "positiva delare till n" ska både 1 och n inkluderas.
B.2(a): man ska rita 4 olika diagram här, ett för varje tal (5, 125, 70, 120).
B.2(c): "träd" syftar här på den underliggande oriktade grafen, dvs den
vanliga grafen man får om man tar bort pilarna. Så t.ex Hassediagrammet
för 6 är ej ett träd, ty den underliggande grafen har en cykel av längd 4
enligt 1 -> 2 -> 6 -> 3 -> 1.
E.1: Det är faktiskt tillåtet att samma två lag spelar mot varandra mer
än en gång. Uppgift (a) blir lite lättare utan den extra friheten men
man kan resonera i (b) på ett sätt som funkar även med multipla matcher
mellan samma två lag.
E.2(a): C_n syftar på den enkla cykeln med n noder.
Okt 10, 20.15: Åse påpekade att kryssuppgift 6.E.1 kan lätt misstolkas. Jag skrev att det skulle bli 14
spelomgångar och sedan fanns det ett krav till, det här med 11+3. Ordet
"spelomgång" tyder på att det skulle finnas endast 14 tillfällen då
matcher skulle spelas, så att alla lagen måste spela en match vid varje
tillfälle. Detta är inte ett krav som det var meningen att man skulle
beakta, det är egentligen bara 11 + 3 kravet som jag ville att man
skulle beakta.
Jag har nu formulerat om uppgiften på hemsidan så att bara detta krav återstår. Ursäkta om det orsakade förvirring.
Okt 8, 17.55: 1. Jag har nu bifogat
lösningar till alla de extra demouppgifterna från idag och förra
torsdag. Se de uppdaterade filerna på hemsidan (under "Program-Demos").
2. Linnea upptäckte ett (konstigt) fel i facit till uppgift 6.15. För ord utan E:en i rad är rätt svar 2520, dvs
8!/(2!*3!) - 7!/3! = 3360 - 840 = 2520.
Den första termen är svaret från första deluppgift, dvs antalet
villkorslösa ord. Andra termen är antalet ord med E:en i rad, som vi
räknar bort. Om de två E:en är i rad så kan vi betrakta dem som en
"bosktav" så har vi 7 "bokstäver" i stället för 8, inkl. 3 förekomster
av L. Så antalet ord att räkna bort är 7!/3!, v.s.v.
Okt 8, 16.03: Fick en fråga där svaret är kanske relevant för alla. Bifogar nedan.
FRÅGA:
Tänkte öva på gamla tentor, bör jag enbart öva på it:s gamla tentor eller ska jag öva på data:s också?
SVAR:
Mitt råd är att du övar i första hand på IT:s tentor, men om du har tid
och lust att också lösa uppgifter från D:s tentor, för det är i många
avseenden samma slags uppgifter. Mitt sammanlagda intryck är att D:s
tentor är i genomsnitt enklare än IT:s, men samtidigt skulle många av de
enskilda D-uppgifterna också passa på IT-tentorna. Även de som är "lite
för enkla" är ändå bra träning.
Okt 8, 13.00: 1. Lösningar till Kryssuppgift #5 finns ute nu på hemsidan.
2. Alla kryssen från #5 är nu också inlagda i PP och ihopräknade. Kolla och hör av dig om ngt verkar inte stämma.
3. Ngn upptäckte att det finns ett fel i Figur 7.1(2) i boken. Det borde finnas en kant mellan c och d.
4. Läget i kursen: material om Hamiltoncykler, plan grafer och
färgläggning är ej examinerbart ty det förekommer ej i boken. Den första
av dessa tog jag upp för "allmänbildnings skull", se också demouppgift
7.X.1(4) idag. De två andra ämnen kommer upp på kryssuppgift #6.
Vi har i princip fyra saker att gå igenom från boken:
(i) lite mer grundläggande notation och terminologi
(ii) träd (trees)
(iii) Hasse diagram för partiella ordningar
(iv) grannmatriser (adjacency matrices)
Vi kommer med sannolikhet som närmar sig 1 med stormsteg att bli klara med kursen på onsdag.
OBS! På gamla D-tentor förekommer inte många uppgifter om grafteori. Det
finns desto fler på gamla IT-tentor, så kolla gärna dessa. Som jag har
sagt tidigare så tycker jag att gamla IT-tentor speglar bättre kursens
innehåll och nivå och ger en mer rättvis bild av vad ni kan förvänta er
denna gång (jag tycker att gamla D-tentor är i allmänhet ngt lättare,
även om de behandlar i stort sett samma stoff).
5. Kom ihåg att Linnea tar morgondagens 15-17 pass i ES52.
Okt 7, 17.27: Nu finns filen med supplementära föreläsningsanteckningar för Kapitel 6 ute på hemsidan, under "Program, Lv 6".
Okt 7, 15.22: 1. Läget i kursen: Nu är vi
klara med Kapitel 6 och har kommit igång med Kapitel 7.
Königsbergproblemet tas upp först i avsnitt 7.4 så jag har hoppat över
en del för tillfället, samtidigt införde jag en hel del av basic
terminology från 7.1 i samband med K-problemet.
2. Demos imorgon:
Kap 6: 20, 21, X 1-3
Kap 7: X 1
X:en syftar på några extra uppgifter som jag har skrivit själv och lagt
upp på hemsidan (under "Program-Demos"). Det är viktigt att ni förstår
uppgifter såsom dem i X 1-3 från Kap 6. Dessa täcker, i tur och ordning,
saker som vi har gått igenom på föreläsningarna men som inte explicit
nämns i boken, nämligen:
(i) identiska bollar i åtskiljbara lådor, formeln C(n+k-1, k)
(ii) sållprincipen, för ett godtyckligt antal delmängder
(iii) multinomialsatsen, dvs generaliseringen av binomialsatsen till fler än 2 variabler
Jag kommer att också skriva en pdf fil med en sammanfattning av mina
egna föreläsningsanteckningar om dessa tre ämnen och lägga upp den på
hemsidan: det finns redan en länk dit under "Program Lv 6", men just nu
funkar ej länken ty filen är ej skriven ännu. Jag gör det ASAP och
återkommer.
3. Bemanning:
Det kommer att bli lite omväxling mellan imorgon och nästa fredag:
(i) från de senaste veckornas erfarenhet känns det som om det räcker med
2 övningssalar för demos. Så imorgon kommer Linnea och Åse att köra
demos, medan att Anders kommer att hålla i en "jobba själv" grupp, för
dem som skulle hellre sitta och jobba själva och ställa frågor.
(ii) Linnea är bortrest nästa vecka så hon kommer att ta mitt
övningspass på fredag 15-17 medan att jag tar båda hennes pass nästa
vecka.
4. Kryssuppgifter:
Kom ihåg att deadline är kl 09.30 imorgon för självkryssning på #5.
#6 är nu uppe på hemsidan.
5. Repitition:
Målet att bli klar med kursen på onsdag känns helt realistiskt. Sedan
blir det redovisning av kryss #7 på torsdag så vi hinner med bara 45
minuter repitition den dagen, sedan med lite gamla-tentor räkning på
demos passet samma dag. Jag kommer att lägga in minst en och förmodligen
två extra repititionspass under Lv8, som just nu är helt fri från
matteundervisning. Det är tänkt egentligen att det SKA vara
matteundervisning den veckan, läsperioden är nu 8 veckor + tentavecka.
Det som gör det lite knasigt är att ni har mattetentan redan första
dagen i tentaperioden. Men enligt folk jag frågade idag så förväntas det
inte bli en ovanlig hög arbetsbörda i den andra kursen under Lv8, så
det borde vara ok att lägga in ett extra mattepass redan i början på
veckan, och sedan kanske en "frågestund" på torsdag.
Har ni synpunkter om vad som skulle passa bäst i Lv8 framför dem gärna
till mig eller till kursreps:en. Jag hör av mig naturligtvis när schemat
för Lv8 är spikat.
Okt 5, 14.57: 1. Vi är nästan klara med
Kapitel 6, men inte riktigt, jag vill ge ett par applikationer till av
binomialsatsen. Dessa lär ta 45 minuter på onsdag, sedan drar vi igång
med Kapitel 7. Kryss #6 kommer att läggas upp direkt efter onsdagens
föreläsning.
2. Kom ihåg att vi har en "extra insatt" övning igen imorgon, kl 8-10 i ES52. Sedan kör vi som vanligt också 15-17 i Ideläran.
3. En möjlig rättelse från imorse: Stirlingtalet av 2:a arten S(k,n) är
antalet sätt att placera k åtskiljbara bollar i n oåtskiljbara lådor om
ingen låda sak lämnas tom. Jag minns inte riktigt, men möjligen skrev
jag idag att bollarna också var oåtskiljbara. Så är det inte iaf. Om du
är intresserad av Stirlingtalen, kolla Wiki:
https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_second_kind
Notera att, enligt definitionen, det som spelar roll här är vilka bollar
som hamnar ihop i samma låda (ty bollarna är distinguishable), men inte
i vilken låda de hamnar.
Om dessutom bollarna är indistinguishbale, det enda som spelar roll är
fördelningen av antalet bollar, dvs 2+3 är samma som 3+2, men inte som
1+4 t.ex. Man brukar beteckna som p(k,n) antalet sätt att fördela k
identiska bollar i n identiska lådor då ingen låda lämnas tom, och detta
brukar kallas för antalet "partitioner av k i n delar". Det finns en
hel del skriven om heltalspartitioner, se
https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_%28number_theory%29
OBS! Inget som handlar om identiska lådor är examinerbart, det är
överkurs material och betydligt svårare än när lådorna är åtskiljbara.
Man hittar inget sådant i kursboken heller.
Okt 2, 18.33: 1. Deadline för att lämna
in en lösning till kryssuppgift 4.E.3 har nu passerat, så man kan inte
längre få ett kryss. Du kan fortfarande lämna in ditt ord om du vill
bara kolla om du har fått rätt svar.
Alla kryssen för uppgift #4 är nu inlagda i PP och ihopräknade. OBS! För
basuppgifterna utgick jag ifrån listan som jag skrev ut kl 09.50 igår
morse. När jag kollade idag så fanns det ett till kryss i PP för alla
uppgifterna förutom 4.5. Jag jämförde min lista med datan i PP och kom
fram till vem som måste ha lagt till ett kryss efter deadlinen kl 09.30.
Dessa kryss har nu tagits bort, samt kryssen för dem som inte var i
salen när deras grupp skulle redovisa.
Lösningar till kryss #4 är nu ute på hemsidan också.
2. När det gäller kryss #5, notera följande:
(i) uppgift E.1(a) använder något som vi inte har gått igenom ännu,
nämligen forrmeln för antalet val när ordningen är oväsentlig men
återläggning är tillåtet. Formeln finns i uppgift 6.8 i boken, men inte i
själva texten. Eftersom det är en extrauppgift så tycker jag det är ok
att låta er kolla i boken själva, så vi kan hålla oss till regeln att
extrauppgifterna ska redovisas på övningarna på måndag och tisdag. Vi
kommer hur som helst att gå igenom den formeln på måndagens
föreläsning.
(ii) basuppgifterna kommer att redovisas på torsdag, så deadline för egenkryssning i PP är torsdag kl 09.30.
(iii) jag fick en fråga angående uppgift B.2(c). Det som menas där är
att ALLA de 4 första positionerna ska ockuperas av vokaler. Förresten i
den första versionen av #5 som lades upp i onsdags fanns det ett
misstryck i uppgift B.2(d), som nu har rättats. Så om ni råkade skriva
ut filen i onsdags, kolla igen för rätt version !
3. Jag fick en fråga angående uppgift 6.4 i boken, vars formulering jag
håller med frågaren är ganska tvetydigt. Se frågan och mitt svar nedan.
4. På övningarna har det börjat dyka upp frågor om gamla tentor och
snart är det dags att börja kika på dem. LaTeX lösningar till de 9
senaste D-tentorna är nu uppe på hemsidan. Kom ihåg att också ta gamla
IT-tentor i beaktande:
http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/tmv200/1415/
Det är alltid så att olika lärare betonar lite olika saker, så det finns
definitivt några uppgifter på gamla tentor som jag skulle betrakta som
icke-examinerbara. Jag kommer att gå igenom alla gamla tentorna i båda
kurserna och göra en lista över sådana uppgifter. Återkommer om detta
ASAP.
5. Läget i kursen: vi är mitt inne i kapitel 6, vi har i princip täckt
fram till Sats 6.13 på sidan 177. Det finns en bra chans att vi gör
klart Kapitel 6 redan på måndag, något som skulle ge oss 3 föreläsningar
att gå igenom Kapitel 7 om vi ska uppnå målet att bli klara med kursen
på onsdag i Lv7. Jag tror att läget är under full kontroll i det
avseendet.
Trevlig Helg !
---------------
FRÅGA OM UPPGIFT 6.4:
varför blir inte det 13*12*11*17*16+13*12*17*16*15 ??
SVAR:
Därför att ordningen i vilken lagmedlemmarna väljs är oväsentlig, man
ska bara välja medlemmarna. Det finns, som du har konstaterat, 2
möjligheter: 3 flickor + 2 pojkar eller vice versa. Första alternativet
ger C(17,3)*C(13,2) möjliga lag, andra alternativet ger C(17,2)*C(13,3)
möjliga lag. Additionsprincipen => antalet möjliga lag är summan av
dessa, alltså
C(17,3)*C(13,2) + C(17,2)*C(13,3) = ... = 91936.
Nu är det så faktiskt att uppgiften är formulerad på ett lite tvetydigt
sätt, för man hade kunnat föreställa sig att man inte bara väljer
medlemmarna i laget men också vem som ska köra vilken sträcka (det är ju
så stafetter brukar gå till).
Svaret du föreslog skulle sedan vara rätt om man, förutom att bestämma
ordningen av lagmedlemmarna, också bestämde t.ex. att "pojkarna springer
först". Om det inte finns något krav att "pojkar springer först" eller
så, så kan man, för varje val av lagmedlemmarna, ordna dem på 5! sätt.
Så med fri ordning skulle antalet möjligheter för att sätta ihop laget
vara
5! * [C(17,3)*C(13,2) + C(17,2)*C(13,3)] = 120 * 91936 = 11032320.
Sep 30, 15.47: 1. Vi är nu färdiga med
Kapitel 5 och har precis kommit igång med Kapitel 6. Jag sa följande på
föreläsningen men det är värt att repetera: Kapitel 6 innehåller
relativt lite teori, men det är särskilt viktigt i detta Kapitel att
sitta och lösa många uppgifter, för det gäller att vänja sig med "hur
man tänker kombinatoriskt". Alla uppgifterna i boken är värdefulla,
samt kryssuppgifterna (se nedan) och uppgifter på gamla tentor.
2. Följande uppgifter kommer att demonstreras imorgon:
Kapitel 5: 25d, 28, X
Kapitel 6: 3c, 9
Här är "X" en uppgift som jag har hittat på själv och lagt upp på hemsidan. Uppgiften är
"Bevisa att den Diofantiska ekvationen x^2 - 3y^2 = 2 saknar lösning"
Det finns ett antal liknande uppgifter både i boken och på gamla tentor.
Uppgifterna mot slutet av Kapitel 5 (från ca 5.40 och framåt) är annars
ganska svåra tycker jag, så det känns bäst att inte ägna demotid åt att
lösa dessa, i stället kan ni grunna på dem själva och ni har bokens
facit.
3. Kryssuppgift #5 ligger uppe nu på hemsidan. Den behandlar material
från Kapitel 6. Vi ska ha redovisningen på torsdag nästa vecka. Notera
att uppgifter E.1 och E.2 är nog inte "svårare" än basuppgifterna, bara
något "längre". Däremot är nog E.3 en rätt svår uppgift.
Sep 29, 20.35: Det verkar som om
det kan ha varit lite missförståelse om deadline för redovisning av
extrauppgifternas på Kryss #4, i och med att jag gav tidsfrist till
fredag kl 16.00 för E.3, men inte för E.1 och E.2. Tidgränsen för dessa
förlängs alltså till kl 13.00 imorgon, m.a.o. man kan redovisa imorgon
under rasten eller efter föreläsningen. Det står fast att basuppgifterna
redovisas på torsdagens förelsäning och deadline för självkryssande är
kl 09.30 på torsdag.
Sep 28, 13.11: Fr.o.m. imorgon har vi en
extra insatt övning på tisdagar, kl 8-10 i ES52. Det blir bara för eget
arbete och frågor till läraren (mig, men de andra övningsledarna är
också välkomna om de vill).
Sep 28, 10.45: 1. Vi har fortsatt kvar en
bit av detta Kapitel 5, kursens absolut tyngsta kapitel. Jag har något
mer att säga om uppgifter på formen a^b (mod c) och sedan har vi RSA.
Det hela lär ta största delen av onsdagens föreläsning. Angående Kryss
#4:
(i) uppgift B.7 är av typen a^b (mod c), men det borde ni kunna göra
redan nu. 17 är ganska liten så när man har minskat potensen m.h.a.
Fermats sats så borde ni kunna räkna ut det som blir kvar direkt (om
kanske med lite jobb i huvudet eller i miniräknaren).
(ii) deadline för redovisning av E.3 flyttas fram till frredag kl 16.00.
För att upprepa för n:te gången, man kan "redovisa" denna uppgift när
som helst genom att maila mig ditt avkrypterade ord.
Eftersom vi kommer inte att komma igång ordentligt med Kapitel 6 förrän
på torsdag så kommer Kryss #5 att läggas upp först på onsdag och
redovisning kommer förmodligen flyttas fram en bit, antingen till
torsdag i Lv6 eller måndag i Lv7, återstår att se. Kapitel 6 är mycket
kortare och vi borde bli klara med den under Lv6 och redan då också vara
igång med Kapitel 7. Målet är fortfarande att bli klar med kursen
senast på onsdag i Lv7.
2. Angående kryssuppgift E.1, Linnea har uppmärksammat att om man
kopierar texten från pdf filen så försvinner en understreck. Klippet
hittar man direkt här:
https://www.youtube.com/watch?v=BVtQNK_ZUJg
Sep 26, 13.56: 1. Vi har en bra bit kvar i Kapitel 5, mer precis avsnitt 5.5, 5.6 och 5.7. Det finns tre huvudsaker i dessa avsnitt:
Kinesiska Restsatsen (5.48)
Fermat/Euler satsen (5.55)
RSA-krypto (avsnitt 5.7)
KRS behövs för kryssuppgift 4.B.6 och Eulers sats för 4.B.7. Även
definitionen av Eulers phi-funktion (se s.150 och särskilt Sats 5.54)
förekommer i uppgift 4.B.3. Vi kommer att hinna igenom dett amaterial på
måndag så vi ska köra på med redovisning av Kryss #4 på torsdag.
Deadline för att själva kryssa i basuppgifterna i Ping Pong är 09.30 på
torsdag. Det är tveksamt om vi hinner bli klara med RSA på måndag* dock.
Som jag redan sa innan, så kan E.3 "redovisas" när som helst genom att
ni mailar mig era avkrypterade ord. Om vi inte blir klara med RSA på
måndag så kommer jag att utvidga deadline för denna uppgift till fredag
(just nu är deadline också 09.30 på torsdag).
* Ett skäl till att det kommer nog att ta mer tid är för att jag vill
lägga ner en del tid på att lösa uppgifter av samma art som i 5.18 i
boken. Dessa är grundläggande "kongruensräkningsuppgifter", men det
förekommer inga exempel på sådana uppgifter i texten, bara i denna
uppgift. Men det finns liknande uppgifter på gamla tentor. Ett mail från
igår morse beskrev den allmänna principen, men det kan förstår vara
svårt att ta till sig detta via ett email. Det kräver en del tid och
övning för att vänja sig med kongruensräkning, och hur den både liknar
samt skiljer sig från "vanlig räkning" med reella tal. Detta leder till
nästa punkt ...
2. Jag blev uppmärksammad på att ni har en lucka på schemat på tisdagar
8-10. Jag kommer att lägga in ett extra övningspass vid den tiden under
de resterande veckorna (en sal måste bokas, återkommer på måndag när
detta är fixat). Vid detta pass kan ni sitta och jobba och få
individuell hjälp, det är ett inslag som vi inte har så mycket av just
nu och det kan vara bra att ha, särskilt för att i Kapitel 5 och 6 är
det viktigt att man faktiskt "tränar upp sig" genom att lösa övning
efter övning tills man vänjer sig på "hur man tänker".
3. LaTeX lösningar till de två senaste tentorna finns uppe nu på
hemsidan. Jag kommer att skriva lösningar till fler gala tentor och
lägga upp dem allt eftersom.
4. För ni som är nyfikna: jag nämnde i torsdags hur utomjordingarna, om
de är fredliga, kommer först att skicka oss primtal (!). Här kan ni
kolla upp ett stort ögonblick i filmhistoria då Jodie Foster tog emot
primtal från rymden (jag kunde inte hitta allt i en klipp, så det finns
en viss överlap mellan de två klippen nedan):
https://www.youtube.com/watch?v=MM9Xzsf4M2o
https://www.youtube.com/watch?v=8qDjg8mdd8c
Sep 25, 11.45: Lite utvidgning av kommentaren om uppgift 5.18. Den allmänna principen här är följande:
Sats: Kongruensen ax = b (mod n) är lösbar om och endast om SGD(a,n) delar b.
Detta är egentligen bara en omformulering av Sats 5.22 och bevisas på
samma vis. Jag kan inte hitta denna explicita formulering i boken dock.
Bevis: ax = b (mod n) lösbar
<=> det finns ett x sådan att n | (ax-b)
<=> det finns ett x och ett y sådan att ax-b = ny
<=> det finns x,y sådana att ax-ny=b
Enligt Sats 5.22 så finns det sådana x,y om och endast om SGD(a,n) delar b, v.s.v.
Man kan sedan fortsätta och använda Sats 5.25 för att härleda den
allmänna lösningen till kongruensen. Enligt 5.25, den allmänna lösningen
till ax-ny=b ges av
x= x_0 + (n/d)*k
y = y_0 + (a/d)*k,
där k är ett valfritt heltal och d = SGD(a,n).
Här är vi bara intresserade av x, så den allmänna lösningen till ax = b (mod n) ges av
x = x_0 + (n/d)*k, k \in Z. .... (1)
Kom ihåg att den första lösningen (x_0,y_0) hittas via Euklides algoritm.
Om man vill uttrycka den allmänna lösningen i termer av Z_n så kan man
konstatera att k = 0,1,...,d-1 ger olika kongruensklasser (mod n) i
(1), men att det sedan blir upprepning från k = d och framåt. Så den
allmänna lösningen i Z_n är
x = x_0 + (n/d)*k (mod n), k = 0,1,...,d-1.
Sep 25, 11.16: Det verkar stå fel i facit för uppgift 5.18(d): denna ekvation ÄR lösbar i Z_{10} !
Vi räknar modulo 10 och lämnar ut de omständiga klammrarna [ ..].
6x + 12x + 6 = 0 (mod 10)
<=> 18x = -6 (mod 10)
<=> 8x = 4 (mod 10), ty 18 = 8 och -6 = 4 (mod 10).
Nu kan man se direkt att x = 3 och x = 8 är lösningar och dessa är de
enda lösningarna mellan 0 och 9. Så den allmänna lösningen i Z_{10} är
x=3 eller x = 8. I termer av vanliga heltal, den allmänna lösningen är x
= 3 (mod 10) eller x = 8 (mod 10).
Ett mer metodiskt sätt att komma fram till dessa lösningar är att ta ekvationen
8x = 4 (mod 10)
och dela igenom med SGD:en av 8,4 och 10, nämligen 2. Så ekvationen är ekvivalent med
4x = 2 (mod 5).
4 är inverterbar mod 5 (SGD(4,5) = 1) med invers 4, ty 4*4 = 16 = 1 (mod 5), så lösningen ges av
x = 2/4 = 2*4 = 8 = 3 (mod 5).
Om nu x = 3 (mod 5) så finns det två möjligheter för x (mod 10), nämligen x = 3 eller x = 8 (mod 10), v.s.v.
OBS! När man kommit fram till 8x = 4 (mod 10) kan man inte sedan skriva
x = 4/8 (mod 10).
För att detta skulle make:a sense måste den tolkas som x = 4*(inversen
till 8) (mod 10). Men 8 har ingen invers mod 10, ty SGD(8,10) = 2 >
1.
Att man inte kan "dela" med 8 lämnar det öppet huruvida ekvationen är
lösbar eller ej - det beror på konstanten i HL. Hade det stått 8x = a
(mod 10), med ett udda tal a, så hade det inte funnits någon lösning,
för ekvationen skulle isf säga att 10 | (8x-a), dvs a = 8x - 10k, för
några heltal x och k. Men 8x-10k blir ett jämnt tal oavsett värdena på x
och k.
Sep 23, 20.18: 1. Det står redan ganska
klart att vi kommer inte bli klara med Kapitel 5 denna vecka. Detta
innebär följande ändringar för kryssuppgift #4 nästa vecka:
(i) redovisning av basuppgifterna sker på torsdag i stället för onsdag
(ii) redovisning av E.1 och E.2 sker som vanligt under övningspassen på
måndag och tisdag (de behandlar stoff som vi hinner bli färdiga med
imorgon), men redovisning av E.3 kan göras när som helst innan torsdag
genom att skicka ett mail till mig med ditt avkrypterade ord, eller
genom att berätta för övningsledarna på må-ti. Notera att varje person
har fått sitt egna ord att avkryptera så denna uppgift måste redovisas
individuellt.
Från och med i e.m. kan man själv kryssa i uppfifterna 4.B i Ping Pong.
Det verkar som om några glömde kryssa i själva denna vecka - gör ej
samma misstag igen nästa gång !
2. Lösningar till kryssuppgift #3 finns ute på hemsidan nu.
3. Demos för imorgon är följande uppgifter ur Kapitel 5:
6c, 9, {13, 38}, 14, 36, 18ac, 25d, 28
Troligen hinner inte övningsledarna igenom alla dessa, men det gör nog
inget för vi hinner nog inte heller täcka hela stoffet på föreläsningen
imorgon.
4. Den feedback jag har fått om schemabyte på fredagar har inte varit entydig, så vi låter det bli denna vecka.
Sep 22, 18.55: 1. Anders, Linnea och jag
har nu alla lagt in 3.E-kryssen i Ping Pong. Tror ej Åse har gjort det
ännu, för ni som redovisade för henne igår.
Det är glädjande att kunna konstatera att minst 18 personer har blivit
godkända på uppgift E.3. Jag hade faktiskt inte blivit förvånad om ingen
löste den, det är en rätt klurig uppgift. Den är också speciell i det
avseendet att beviset att 1:an kan vinna berättar ej HUR han ska vinna.
En matematiker skulle säga att beviset är "inte konstruktivt". Det finns
en hel del sådana välkända bevis, men detta är kanske det första ni har
sett - det är definitivt det första jag kan minnas under denna kurs.
Kanske det mest kända exemplet på ett sådant bevis är för existens av
s.k. "transcendentala tal", där standardbeviset ändvändar ren mängd- och
funktionslära och ger inga faktiska exempel på sådana tal, se
https://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number
Förresten, om ni är intresserade av hur spelet i E.3 faktiskt borde spelas, så har det ett namn:
https://en.wikipedia.org/wiki/Chomp
Från vad jag kan se så ger wiki sidan dock ingen information om
explicita strategier, bara upprepar beviset av existens av sådan
strategi för #1. En snabb koll på länkarna längst ner tyder på att
spelet är kanske allt annat än lätt att analysera explicit.
Hur som helst, jättekul att så många löste den ! Jag kan även passa på
att nämna i högsta hemlighet ;) att för ett par veckor sedan var jag ute
på en fredag kväll med 5 kompisar från jobbet och jag gav dem pusslet
om de 3 hotellen. Inte en enda j**** löste den ! Iofs hade en icke-tom
mängd alkohol konsummerats, men ändå ...
2. I fall du är osäker hur du ska själv-kryssa för uppgifter 3.B, så gör du så här:
När du loggar in i Ping Pong finns det en option "Mål och framsteg".
Klickar du på den så får du upp listan av kryssmomenten. Sedan ska du
kunna scrolla ner till momentet "Kryssuppgift 3, basuppgifter" och själv
klicka i rutorna för att godkänna dig.
3. Linnea upptäckte väldigt slugt vad som egentligen var fel med uppgift
4.12(a) i boken. 3:an hade skrivits in på fel ställe, dvs det borde ha
stått \sum_{k=0}^{13} 5k. I så fall stämmer svaret i facit.
Sep 22, 14.30: För uppgift 4.12(a) står det i facit 455. Rätt svar är 35.
Sep 22, 14.25: Lösningar till
kryssuppgifterna #1 och #2 finns på hemsidan nu. LaTeX lösningar till
några gamla tentor kommer imorgon (troligtvis).
Glöm inte att kryssa i basuppgifterna 3.B.x i Ping Pong själva, senast kl. 07.30 imorgon !!
Sep 21, 18.35: 1. I princip allting vi
gick igenom idag finns i avsnitt 5.1 i boken. Satsen om existens av en
primtalsfaktorisering är Exempel 4.6, medan att satsen om primtalens
oändlighet är Exempel 4.17. Aritmetikens Fundamentalsats, vars bevis vi
kommer att diskutera på onsdag, är Sats 5.33.
2. Kryssuppgift #4 är nu uppe på hemsidan. Det finns en till fil däruppe
som heter "Telefonnummer", som behövs för att kunna göra uppgift E.3.
Jag har skrivit att redovisningen sker på onsdagen den 30:e, men detta
kan ändras till den 31:a i fall det visar sig att vi har en bit kvar ut
av Kapitel 5 till nästa måndag.
3. Jag har fått lite feedback som indikerar att det vore populärt att
flytta fram tentan en vecka. Dock har jag också fått reda på att vissa
personer har redan gjort planer för efter den 27:e. Jag måste respektera
dessa planer, det är för sent att tvinga fram en ändring nu. Det blir
något att tänka på för mig inför nästa läsår.
Den feedback jag hittills fått också indikerar att det vore populärt med
ett byte på fredagar, så att matteövningen ligger 10-12 och SI 15-17.
Jag ska vänta tills imorgon innan jag gör ngt med detta i fall det
kommer in mer feedback.
4. Under morgondagen hoppas jag också lägga upp följande på hemsidan:
(i) skriftliga lösningar till alla uppgifterna på Kryss 1 och 2. Jag
undersöker fortfarande möjligheten att göra videos i stället, men jag
vill inte att det går för lång tid innan ni ser lösningarna.
(ii) LaTeX lösningar till ett par av de senaste gamla tentorna i denna
kurs. Som ni kan se på hemsidan så fanns bara handskrivna lösningar
tillgängliga, och de kanske är svårlästa.
Sep 20, 14.40: Fick en fråga om Kryssuppgift 3.E.1, bifogar den och mitt svar.
-------------
FRÅGA:
Jag har en fråga om uppgift 1 bland extrauppgifterna till kryssuppgifter 3.
Jag förstår inte riktigt vad som menas i beskrivningen av
händelseförloppet. Det står ju "Nu händer följande. Nästa kväll kl 18.00
samlas alla munkarna i matsalen som vanligt. Läget är mycket spänt,
särskilt i det ögonblick i slutet på måltiden då de får kasta en blick
runt bordet. Dock händer ingenting. Nästa dag kommer alla munkarna
tillbaka till matsalen. Läget är ännu mer spänt, särskilt i ögonblicket
då de tittar runt. Dock händer ingenting igen. Den tredje kvällen så
utspelar sig exakt samma drama igen. Spänningen är nu nästan outhärdlig.
Den fjärde kvällen händer något dock. När munkarna tittar upp i slutet
på middagen så konstaterar de att 3 stolar står tomma. Det visar sig att
dessa 3 munkar har smugit ut från klostret under natten och att det var
just dessa 3 som hade blivit brännmärkta."
Men ska jag tolka "det händer ingenting" som att ingen av munkarna
tittar upp varken under kväll 1,2 eller 3? Alltså att det först är under
kväll nummer 4 någon av munkarna över huvudtaget tittar upp?
SVAR:
Ju, de tittar upp varje kväll. Mer precis, när de "tittar upp" så hinner
varje munk ta in hela scenen, i synnerhet lägga märke till vilka som
bär brännmärken i pannan (förutom sig själva förstås, för man kan ej se
sig själv). De får ej visa någon som helst reaktion dock (de kan ej
kommunicera), så det är bara en snabb titt runt och sedan hejdå. Så
t.ex. en munk kan ej få hum på huruvida han själv har ett kors i pannan
genom att kolla in andras reaktioner. Munkarna har dock perfekta minnen,
så när de kommer tillbaka nästa dag kommer de ihåg precis det de såg
dagen innan.
Sep 20, 14.29: Imorgon kommer vi att sätta
igång med Kapitel 5 (Talteori). Angående "motsägelsebevis" från Kapitel
4 så har vi bara gjort ett exempel, i slutet på torsdagens föreläsning,
men en av de första satserna vi diskuterar i talteori-delen kommer
också att vara ett motsägelsebevis.
Kapitel 5 är nog det tyngsta kapitlet i kursen, när det gäller just
råmängden material om inte annat. Det är möjligt att vi inte hinner bli
klar med den under denna vecka - om det blir så så kommer redovisningen
av Kryss #4 (som ska läggas ut senast imorgon) att flyttas fram till
torsdagen i Lv5. Kapitel 6 är lite kortare och Kapitel 7 lite längre
igen. Som det ser ut nu känns det realistiskt att vi blir klara med
kursmaterialet på onsdagen i Lv7. Det skulle innebära att vi har 1
föreläsning + 2 övningar för repitition. Jag skulle vilja lägga in ett
extra repititionspass under Lv8, där just nu ingen matteundervisning är
schemalagd (detta skulle också ge oss lite mer wiggle-room under Lv7).
Eftersom ni har undervisning kvar i TDA555 under den veckan kan vi
diskutera när skulle vara bästa tiden att lägga in ett matte pass. Ni
får gärna framföra synpunkter om detta till kursreps:en. Jag har också
skickat dem ett par frågor imorse om schemat, se nedan, och ni
uppmuntras att framföra synpunkter om dessa frågor till antingen dem
eller till mig direkt.
Notera förresten att Kapitel 5 i synnerhet innehåller en hel del nämnda
"Satser" i texten. Fokuset i denna kurs ligger starkt på problemlösning
dock. Ni kan få uppgifter på tentan som går ut på att föra ett rigoröst
matematiskt resonemang (dvs att bevisa något), men ni kommer inte att
bli tillfrågade att rabbla upp bevis från boken. För att få en
indikation om vilka slags uppgifter som kommer på tentan, se kursens
gamla tentor och, ännu bättre, gamla tentor från motsvarande kurs på IT:
http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/tmv200/1415/
Basuppgifterna på kryssuppgifterna ger också en bra fingervisning, extrauppgifterna bedöms av mig som något svårare.
En sista sak: jag kollade just nu och INGEN har ännu kryssat i någon
basuppgift i Ping Pong för Kryss #3. Kom ihåg att ni måste göra detta
själva, senast kl 07.30 på onsdag.
----------------------
FRÅGOR TILL KURSREPS:EN (skickade i morse):
#1: Efter samtal med några studenter på lektionen i fredags blev jag
uppmärksammad på att det går en labb i funkt prog kursen parallellt med
matte övningarna på både torsdag och fredag. Eftersom alla demos är nu
förlagda till torsdagspasset så vore det illa om det finns folk som
måste vara på labben då. Min fråga till er alltså är hur det funkar med
labbarna: finns det obligatorisk närvaro på den ena eller den andra
dagen ? om inte, behöver man ändå vara med varje gång för att få ut max
av labbarna, eller är det tänkt attt man ska välja något tillfälle varje
vecka ?
Till slut blir frågan: upplevs det som ett problem bland studenterna att det finns dessa krockar ?
Jag har, som jag skrev i tidgare mail, redan funderat på att flytta
fredagens övning till 10-12, något som skulel kräva att vi byter med SI.
När jag fick reda på krockan på fredagar så kändes detta ännu mer
angelägen. Men frågan återstår om krocken på torsdagar är också
problematisk ?
#2: Lp1 är 8 veckor, inte 7. Men ingen matteundervisning är planerat i
Lv8. Detta är på ett sätt bra, det betyder att det finns utrymme för att
lägga in ett repititionspass i början på Lv8 och inte vara så stressad
att bli klar med kursen under Lv 6-7. Å andra sidan ligger mattetentan
redan på lördagen i Lv8, och ni har undervisning i FP kursen fram till
onsdagen. Jag antar att ni kommer också ha labbar att slutföra i den
kursen under Lv8, eller ?
Fråga: Känner folk att det skulle passa bättre att ha mattetentan
senare, t.ex. på fredag den 30/10 eller lördag den 31/10 ? I så fall
skulle jag kunna lägga in ett par repititionspass under Lv8, samt en
"frågestund" den 28:e (dvs dagen efter FP tentan). Nackdelen med en
sådan ändring skulle förstås vara att ni får ingen "semester" innan Lp2
börjar.
Sep 16, 20.22: 1. Introtentorna är nu rättade. Resultatlistan med koder skickades ut via Ping Pong. Statistik:
U: 24
3: 13
4: 14
5: 13
Ni kommer att få tillbaka teserna imorgon under rasten. Ni kan ta med
dem hem, dessa är inga officiella tentor och inga resultat kommer att
bokföras. Av samma skäl så har jag varit ganska tuff med folk som låg
strax under en betygsgräns - hade det varit en "riktig tenta" hade jag
(a) ansträngt mig mer för att kolla igenom tentan igen för att se om jag
kunde höja poängen någonstans (b) varit lite snällare allmänt.
2. Demos för imorgon är
4.4, 4.7, 4.9, 4.16, 4.22
Förutom att lösa uppgifterna med induktion/rekursion kommer
övningsledarna, när det är möjligt, att också illustrera alternativa
tillvägagångssätt. OBS! att den senare är inte nödvändig kunskap i denna
kurs : man får full poäng på en tentauppgift om man löser den med
induktion/rekursion som önskat, du kommer ej att få ngt på tentan där
poäng ges specifikt för att hitta ett alternativt bevis.
Kom ihåg att det blir 3 övningsgrupper imorgon i ML 12,15,16, med
Anders, Linnea och Åse. Förväntningen är att demos:en tar mer eller
mindre hela passet. Fredagens pass tar jag och det blir endast för att
räkna själva och ställa frågor. Jag kom överens med SI-gänget att vi kör
denna vecka som vanligt 15-17 på fredag, men om det blir dålig
uppslutning så kommer jag förmodligen att driva igenom ett byte till
10-12 framöver.
3. Ny procedur för kryssuppgifter framöver !!
Redovisningen av kryssuppgifterna tar för mycket tid, och den äter in i
föreläsningstid som är speciellt farligt. Troligen denna vecka kommer vi
ej igång med Kapitel 5, som var planerat, så vi kommer att ligga en bit
bakom planeringen in i nästa vecka. Framöver kommer alltså följande att
gälla:
(i) Extrauppgifterna ska ej redovisas på onsdagar. Dessa ska man
redovisa spontant för övningsledarna på måndagar och tisdagar i
Ideläran. Man kan prova mer än en gång tills övningsledaren är nöjd.
Han/hon sedan lägger in kryssen i Ping Pong. OBS! de som vill ha hjälp
med basuppgifter eller annat (uppgifter i boken osv) kommer att få
företräde även på dessa dagar. Jag tror dock ej det blir ett problem
tidsmässigt: denna vecka var det bara 10-20 pers som kryssade i någon
extrauppgift.
(ii) Basuppgifterna ska redovisas som vanligt på onsdagar kl 08.00. Dock
för att spara ännu mer tid kommer själva kryssandet att ske på ett nytt
sätt. I stället för att jag skickar runt papper i början (ngt som har
visat sig ta en kvart, typ) så har jag lagt upp en mapp i Ping Pong som
heter "Kryssuppgift 3, Basuppgifter". Inställningen är "Deltagare
godkänner" som innebär att ni kan själva gå in när som helst och kryssa i
en uppgift. Ni har fram till kl 07.30 på onsdag att göra detta. Sedan
kommer jag, innan föreläsningen, att gå in och ändra inställningen till
"Lärare godkänner", som innebär att ni kan ej kryssa längre, samt skriva
ut listan av kryssen som jag tar med mig till salen.
Jag hoppas med detta nya arbetssätt att vi ska kunna hålla oss till
målsättningen att redovisningen tar ej mer än 45 minuter. Jag tror och
hoppas att det kommer att funka. Om du tror jag har glömt ngt
väsentligt, hör av dig gärna med synpunkter.
4. Dagens kryss är nu inlagda i PP. När det gäller uppgifter E.1 och E.2
så har 13, resp. 1 person kryssat. Jag måste säga att jag är skeptisk
till att någon har verkligen löst någon av dessa uppgifter, baserat på
de diskussioner jag haft med folk. Jag ska såsmåningom lägga ut MINA
lösningar (se punkt 5 nedan), och sedan tror jag vi kan bara vila på ett
"honor system". Dvs om ni inser att er tilltänkta lösning inte alls
hade räckt till att ni ska själva höra av er till mig och säga att
krysset ska tas bort.
5. Jag blev ombedd att på ngt vis visa hur jag hade löst
kryssuppgifterna. Jag vill egentligen undvika att skriva lösningar för
jag vill kunna återanvända uppgifterna nästa år. En möjlig lösning är
att jag gör videos som jag lägger upp på kurshemsidan tills efter
kursslutet. Det verkar finnas tekniken för detta på MV, se t.ex. denna
kurs ("Video"):
http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/tmv137/1415/
men jag måste kolla upp det. Återkommer om detta ASAP.
Sep 15, 10.32: Fick en fråga om uppgift E.3 på Kryss #2, bifogar den och mitt svar.
----------------
FRÅGA:
Jag löste uppgift E.3 (kryssuppgifter 2) med ett Haskell-program. Men
detta räcker väl inte som lösning/motivering när den ska redovisas
imorgon?
SVAR:
Ju det är helt OK, förutsatt att du kan skriva upp svaret på tavlan i
den önskade formen (den sammansättning av f och g som ger h) och visa
hur, om man följer runt de olika talens vandringar genom
sammansättningen, att de hamnar allihop rätt.
Notera förresten att svaret på denna uppgift är ej unikt, det finns olika sammansättningar som ger samma resultat.
Sep 14, 18.00: 1. Kryssuppgift #3 är nu
ute på hemsidan. Jag förväntar mig en anstormning av frågor angående
hypoteserna i extrauppgifterna, som vi kan ta när de väl dyker upp
(omöjligt att förutspå alla tänkbara frågor). Men känn er fria att
ställa alla möjliga frågor.
2. ML 12 är nu bokad som 3:e övningssal på torsdagar, förutom 1/10 då
den är upptagen. EL 41 är bokad då. På torsdagar framöver räknar jag med
att demos tar hela passet. Det kommer att bli Åse, Linnea och Anders i
de tre salarna. På fredagar blir det sedan bara jag för
eget-arbete-frågestund passet, men de andra övningsledarna får komma om
de vill. Jag håller på att förhandla med SI-gänget om att flytta
fredagsövningen till 10-12. Återkommer om det ...
Sep 14, 11.42: Jag var lite slarvig under dagens föreläsning på ett par ställen:
1. Jag formulerade välordningsprincipen så här:
"Om S \subseteq N så har S ett minsta/första element".
Jag borde ha lagt till villkoret att S är icke-tom, för annars finns inga element i S alls. Så rätt formulering är
"Om S \subseteq N, S \neq \phi, så har S ett minsta/första element".
2. Jag var lite slarvig med hur jag skrev upp beviset av satsen om
"21-spelet". Jag döpte till P(n) predikatet "1:a spelaren vinner omm n
ej multipel av 4". Predikatet P(n) hävdar altså att två andra predikat
är logiskt ekvivalenta, nämligen predikaten Q(n) och R(n) där
Q(n): första spelaren vinner från n
R(n): n ej multipel av 4.
M.a.o. P(n) är predikatet
P(n): Q(n) <=> R(n)
I beviset jag skrev på tavlan så hänvisade jag till P(n), där på vissa
ställen jag borde ha hänvisat till antingen Q(n) eller R(n). Jag har
skrivit ihop ett tillrättat bevis, se denna fil.
Jag återkommer senare under dagen med info om Kryssuppgift #3 samt
övningstillfällena. Det har visat sig att demos har tagit hela to/fr
övningen och det har inte funnits någon tid för eget arbete. Det tycker
jag inte om, och mitt förslag är att vi lägger in en 3:e grupp på
torsdagar och kör bara demos då. Fredagen ska vara ett separat pass bara
för eget arbete för de som vill komma. Jag ska också kontakta SI-gänget
och se om vi kan byta på fredagarna så att övningen sker 10-12 och SI
15-17 i stället. Som sagt, jag återkommer om detta.
Sep 10, 14.03: Fick ett par frågor om förtydliggande av reglerna i kryssuppgift 2.B.1, bifogar mina svar nedan.
-----------------------
FRÅGA 1:
När det gäller punkterna, får man.placera dom hur man vill? Är det tex
ok att betrakta (0, 0.1) som en punkt eller måste man anta att
koordinaterna är heltal, tex (0,1), (1,0) osv.
FRÅGA 2:
Det står dessutom att punkterna ska placeras i kvadraten, det innebär
alltså att de ej får ligga på kvadratens gräns (dvs själva linjen)?
SVAR 1:
"Punkterna" är punkter i R^2, alltså du kan placera en punkt var som
helst, det behöver inte vara en punkt med heltalskoordinater.
SVAR 2:
Man ska placera punkterna inom den SLUTNA kvadraten [0,l] x [0,l]. Alltså det är tillåtet att placera punkter på randen.
Sep 10, 12.31: Vi är nu mer eller mindre
klara med Kapitel 3, jag ska kanske säga några ord till på måndag men
inte mycket. Det är nog en mycket bra ide att komma på övningen antingen
idag eller imorgon för att se demos:en, så man får se lite fler exempel
från Kapitel 3. Hittills har kursen handlat ganska mycket om
definitioner/införande av grundläggande begrepp, språk och notation, så
det är bra att se exempel. Efter övningen borde ni ha gott om underlag för att ta er an alla uppgifterna på Kryssuppgift #2.
Från och med Kapitel 4 kommer fokuset att ligga mer på att faktiskt
bevisa köttiga satser och lösa köttiga problem .. riktig diskret matte
alltså :)
Sep 9, 14.36: 1. Imorgon och på fredag kommer följande uppgifter att demonstreras på tavlan:
Kapitel 3: 9, 13, 18, 21, 22, 29, 36
2. Pga nollfinalen blev jag ombedd av D-0K att flytta fredagens lektion
från 15-17 till 10-12. Detta är nu ordnat. SI-passet utgår och vi ska ha
lektionen kl 10-12 i salarna ML 14, 15. Imorgon blir det som vanligt,
13-15 i ML 15, 16.
Sep 9, 11.55: Alla kryssen från idag är
nu inlagda i Ping Pong. Gå in och kolla och hör av dig om du tror att
ngt kyrss saknas för dig. Två personer med kryss saknas från Ping Pong:
Molly Brandt och Johan Carlsson. Dessa personer borde kolla att allt
stämmer med deras registrering på kursen.
Idag gick vi igenom avsnitt 3.4. Imorgon börjar vi med relationer (3.6 - 3.9).
Sep 7, 11.58: 1. Vi är klara med det
mesta om funktionslära (3.1 - 3.3), har en bit mer att säga på onsdag.
Sedan tar vi 3.4 och 3.5, innan "andra halvan" av Kapitel 3, som handlar
om begreppet "relation" (3.6 - 3.9).
2. Kryssuppgift #2 är nu uppe på hemsidan. Förresten, min subjektiva
bedömning är att de svåraste uppgifterna är E.1(b) och E.2(c),(d). Men
vem vet :)
3. Jag har nu delat in alla i kryssgrupper, se denna fil. Flera ex av
ett sådant papper kommer att skickas runt kl 08.00 på onsdag och man
sätter ett kryss för varje uppgift man är beredd att redovisa.
Det fanns 18 personer i Ping Pong som inte hade anslutit sig till en
grupp kl 10 idag. I första hand la jag in dem i befintliga grupper med
< 4 medlemmar (i alfabetisk ordning) och sedan fyllde på resten i nya
grupper. Anmärkningar:
(a) Johan Carlsson, medlem i grupp X, fanns inte med i Ping Pong. Om du
känner honom, kan du berätta för honom att något verkar inte stämma med
hans registrering på kursen ?
(b) Henrik Nilsson anmäldes som medlem i två grupper, J och Q. Men det
finns bara en Henrik Nilsson i Ping Pong, så denna person borde skriva
till mig med ett definitivt besked om vilken grupp han vill tillhöra.
(c) En "Linus" anmäldes som medlem i grupp Ä, men det finns 2 st Linus i
Ping Pong, Andreasson och Wik. Den rätta Linus borde skriva till mig
och identifiera sig själv. Den andra Linus kommer sedan att placeras i
grupp M.
Sep 3, 12.08: Nu är vi färdiga med
Kapitel 1 och 2 och ni ska kunna göra hela Kryssuppgift 1 samt alla
uppgifterna i boken från de två kapitlen. Kryssuppgift 2 kommer att
behandla material i Kapitel 3 och jag hoppas kunna lägga upp den redan
under helgen för ni som vill tjuvstarta. Återkommer om det.
Kom ihåg att dagens lektion är i ML 15 och 16 (en eller två trappor upp
från Cafe Bulten), och imorgon i ES 52, 53 (5:e våningen i EDIT-huset).
Sep 2, 21.00: Efter morgonens utskick har
jag fått flera förfrågningar om huruvida kryssmomentet är obligatoriskt
(frågan verkar ha orsakats av att jag sa att alla som inte själv
bildade grupper skulle placeras i en grupp på måndag). Det enkla svaret
är: NEJ, det är INTE obligatoriskt.
Men jag kommer ändå att bilda grupper av de personer som inte anmäler
sig till på måndag. Att du blir tilldelad en grupp innebär inte att du
är tvungen att göra någonting - det kommer säkert bli så att vissa
nedprioriterar bonusmomentet mer än andra, att vissa grupper kommer att
ha mindre aktiva medlemmar osv. Däremot är det bra om alla har möjlighet
att deltaga i aktiviteteten, även om redan nu man känner att man vill
prioritera bort den. Plus att det finns inget som hindrar folk från
olika grupper att också samarbeta.
Jag hoppas att ni kan själv lösa förhandlingarna och bilda grupper med
folk som kanske har alla en liknande inställning till bonusmomentet när
det gäller nivå av engagemang osv.
Sep 2, 10.40: Läget i kursen:
Nu är vi mer eller mindre klara med Kapitel 1, det återstår bara lite
säcksihopknytning. Som jag sa idag, Figur 1.1 i boken är fel, och jag
ska ge er rätt figur imorgon (en bra övning att fixa till det själva).
Ni ska nu ha sett tillräckligt för att kunna göra uppgifter B.1 - B.3 på
Kryss 1. Uppgift B.4 handlar om mängder - ni som var med på intron
borde känna igen den, för jag gjorde en enklare variant då (med bara 2
och 3).
Vi bör kunna ta oss igenom Kapitel 2 i raskt takt också imorgon (det är
stor överlap mellan mängdlära och predikatlogik, det är i stort sett två
olika sätt att se på samma sak) och kanske redan komma igång med
Kapitel 3.
Demos:
Det är nu fastställd vilka uppgifter som ska demonstreras på tavlan imogon 13-15 och på fredag 15-17:
Kapitel 1: 6, 7cg, 10, 12bc
Kapitel 2: 3, 11, 16bd
Kryssgrupper:
Hittills har 14 grupper av 4 pers var bildats och hört av sig. Ni verkar
vara ca 110 st till antal, så ungefär hälften av er måste fortfarande
anmäla er grupp. Vsg gör detta så snart som möjligt. Jag måste förbereda
papper som ska skickas runt på onsdag för er att kryssa på, och
grupperna måste fastställas innan jag kan göra detta.
Alltså:
Ni har som deadline måndag kl 10 att anmäla era grupper. De som står
grupplösa vid den tidpunkten kommer jag att själv gruppera slumpmässigt
(utifrån listan av medlemmar i Ping Pong) och meddela detta via Ping
Pong senast måndag kväll.
OBS! Jag vill helst att varje grupp innehåller antingen 3 eller 4
personer. Hittills har 2 grupper av 2 anmält sig och jag har bett de
personer att försöka hitta en 3:e medlem. Folk som står grupplösa på
måndag kommer i första hand att sättas in i sådana 2-grupper
slumpmässigt.
Sep 1, 13.11: En av övningsledarna har
påpekat (och tydligen har flera av er också lagt märke till det) att
förekomsten av ordet "vackra" i uppgift B.3 gör att två av de tre
"utasgorna" där är egentligen inte "utsagor" , om man inte antar att
"skönhet för båtar" kan ges en precis definition. Ursäkta, jag tänkte
inte på det när jag snodde denna uppgift från en annan källa (!).
För att ta bort all tvetydighet har jag bytt ut "vackra" mot "gula" i uppgiften nu.
Sep 1, 11.43: Fick en fråga till om vad som tillåts i Kryssuppgift 1.E.2. Bifogar frågan och mitt svar nedan.
----------------
FRÅGA:
Är det acceptabelt att redovisa en lösning där Hacke väljer att åka
vidare till ett annat hotell beroende på vad ägaren av det nuvarande
hotellet svarar?
SVAR:
Ja, absolut. Han kan fråga vad som helst, så länge det är bara en fråga.
Och svaret på frågan ska vara underlaget för hans beslut om vilket
hotell han ska bo på, som mycket väl kan vara ett annat hotell än den
där han ställer frågan.
Aug 31, 15.02: Har varit i kontakt med övningsledarna och de sa att det rådde viss
förvirring idag om vilka antaganden man skulle göra i kryssuppgift 1.E.2. Man
ska anta följande:
1. Alla vet allt om allt.
2. De två schysta ägarna svarar sanningsenligt, oavsett vad du frågar.
3. Psykopaten är beredd att säga vad som helst för att få igenom sin vilja.
Låt mig veta om något är fortfarande oklart.
Aug 31, 10.20: 1. Idag gick vi igenom det
mesta i avsnitt 1.1 - 1.5. Kryssuppgifterna behandlar dock
"predikatlogik" som förekommer först i avsnitt 1.9. Så man behöver läsa
lite före om man vill komma igång med dessa uppgifter redan nu. Annars
kan man göra uppgifter från boken än så länge. Målet är att bli mer
eller mindre klar med Kapitel 1 på onsdag.
2. Det verkar som om tre av de fem kursrepresentanterna inte vet ännu vem de är. Om du känner någon av
Molly Brandt
Emil Jinstrand
Rikard Karlsson
kan du tipsa dem ? Jag gör ett nytt försök att träffa kursreps under pausen på onsdag, kl. 08.45.
3. Jag blev ombedd att informera er om följande forum där ni kan få ännu mer hjälp med era studier:
http://www.lib.chalmers.se/studieresurser/mattesupport/
Aug 30, 19.10: Imorgon
sätter vi igång på allvar med er första "riktiga" mattekurs på
Chalmers. Hemsidan är nu i ordning och det är viktigt att så snart som
möjligt gå igenom sidan och försäkra dig att du förstår vad som gäller
angående upplägget, examination osv. Ett antal saker vill jag speciellt
dra er uppmärksamhet till:
1. Schemat:
Om du kollade för ngn vecka sedan eller tidigare så skulle det ha sett
lite annorlunda ut. Skillanden jämfört med förra året är att på
övningarna på torsdag 13-15 och fredag 15-17 så ska vi inte vara i
Ideläran, snarare har jag bokat "vanliga lektionssalar" för de
tillfällena, mer precis ML 15, 16 på torsdagar och ES 52, 53 på
fredagar. Anledningen till bytet är att jag vill att övningsledarna ska
demonstrera uppgifter på tavlan under 1:a 45 minuter av dessa pass.
Under tidigare år har demos skett med hela gruppen samlad på en
föreläsningstid, men i år vill jag ägna den tiden åt ett nytt moment, se
punkt 2 nedan ...
OBS! Enligt schemat är ni uppdelade i "Grupp 1" och "Grupp 2" för
övningarna. Detta bryr jag mig inte om, alla kan komma när de vill och
jobba och ställa frågor. Notera dock att det blir samma demos på
torsdagar och fredagar så man behöver inte komma till 1:a halvan av båda
dessa pass.
2. Kryssuppgifter:
Detta är ett nytt inslag för i år (något liknande har funnits på IT
tidigare). Läs noga avsnittet på kurshemsidan så hoppas jag att det blir
klart hur det ska funka. Låt mig veta om det är ngt som ni inte
förstår. Kryssuppgift 1 är redan uppe på sidan, klicka på länken. Ni kan
alltså komma igång med den direkt. Ni kan ställa frågor till
övningsledarna om dessa kryssuppgifter, men de kommer att bli sparsamma
med att ge hjälp - en viktig poäng med dessa uppgifter är att ni inte
har ett facit, såsom är fallet för alla uppgifter i boken samt gamla
tentor. Om ni tror ni har en lösning dock och vill kolla med
övningsledaren så är detta ok.
Det är speciellt viktig att ni förstår hur bonuspoäng från
redovisningarna ska räknas och hur det påverkar betygsgränssättningen
vid examination.
Sedan måste ni så snart som möjligt dela upp er i grupper av 4 för dessa
kryssuppgifter och meddela detta till mig. Som sagt allt finns på
hemsidan, men läs
noga !
OBS! Det är viktigt att ni inte ägnar all lektionstid åt
kryssuppgifterna, utan också gör uppgifter från boken. Ni borde också
räkna med att behöva arbeta en del på kryssuppgifterna utanför
schemalagd undervisningstid.
3. Examination:
Lägg speciellt märke till betygsgränserna: 22, 32, 42, inkl bonuspoäng.
Tidigare har gränserna varit 20, 30, 40. Min tanke alltså är att alla
ska arbeta på kryssuppgifterna, åtminstone "basuppgifterna", som redan
dem ger upp till 3 bp.
4. Kursrepresentanter:
Lägg märke till namnen på kursrepresentanterna. Om ni har en åsikt under
kursen som ini inte vill framföra direkt till mig eller till en
övningsledare så kan ni prata med en av dem. Jag kommer att skicka ett
separat mail till reps:en snart.
Vi ses imorgon bitti kl 8 i HB1.