Stora avvikelser

februari-maj 2003

Detta är en doktorandkurs om 5 p i stora avvikelser, vid institutionen för matematisk statistik, Chalmers. Doktorander (och andra intresserade) från andra institutioner - i synnerhet matematik - är också välkomna.

This is a course on large deviations. For more information in English, please contact me (OH).

Föreläsare och examinator: Olle Häggström.

Tidpunkt: Februari-maj 2003.
Ordinarie föreläsningstid blir tisdag 13-15, men vissa variationer kommer att förekomma. Exakt schema som följer:

Föreläsning 1: Jämförelse mellan stora avvikelser och andra delar av sannolikhetsteorin. Theorem I.3 och dess bevis. tisdag 18 feb 13.15-15.00 S1
Föreläsning 2: Intuition för Cramértransformen i ett enkelt specialfall (tiosidig tärning). Theorem I.4 och början av dess bevis. tisdag 25 feb 13.15-15.00 S1
Föreläsning 3: Fortsättningen på beviset av Theorem I.4. torsdag 27 feb 13.15-15.00 S1
Föreläsning 4: Entropi, relativ entropi, och något om hur dessa storheter kan tolkas. tisdag 11 mars 13.15-15.00 S1
Föreläsning 5: Sanovs sats (Theorem II.2) med bevis och kommentarer. tisdag 18 mars 13.15-15.00 S1
Föreläsning 6: Stora avvikelser för det empiriska måttet för par (Theorem II.8) med ett alternativt semi-bevis. tisdag 25 mars 13.15-15.00 S1
Föreläsning 7: Generaliseringar av förra veckans sats till Markovkedjor och till ord av längd N: Theorems IV.3, II.18 och II.23. fredag 4 april 13.15-15.00 S1
Föreläsning 8: Från ändligt till uppräkneligt tillståndsrum - Theorem II.36. fredag 11 april 13.15-15.00 S1
Föreläsning 9: Grundläggande definitioner för generell stora avvikelse-teori: Definitions III.1, III.5 och III.6. Cramérs sats uppklädd till en LDP. tisdag 29 april 13.15-15.00 S1
Föreläsning 10: Några generella satser för LDPs (Theorems III.8, III.17 och III.20) med diverse tillämpningar och illustrationer. tisdag 6 maj 15.15-17.00 S4
Projektredovisningar:
  • Erik Broman
  • Freyr Hermannsson
tisdag 13 maj 13.15-15.00 S1
Projektredovisningar:
  • Jenny Andersson och Magnus Karlsson
  • Mattias Bengtsson och Johan Tykesson
  • Erik Brodin
  • Mats Kvarnström
  • Fredrik Lundin
  • Ulf Segerberg
  • Conceição Serra
tisdag 3 juni 13.15-17.00 S4

Examination: Kursens examination består av följade två moment.

Kurslitteratur: Large Deviations av Frank den Hollander (American Mathematical Society, 2000). Denna bok är en riktig liten pärla - mycket pedagogisk, och koncentrerar sig på förståelse snarare än på detaljer. Den är, för sitt format, inte alldeles billig (drygt 500 kr i de billigaste nätbokhandlarna; bokfynd.nu är ett användbart sökverktyg för att jämföra priser), men köp den ändå, ty den är värd sitt pris flera gånger om. Klicka här för en MathSciNet-recension.

Vad är stora avvikelser? Teorin för stora avvikelser handlar om summor av (oberoende eller beroende) stokastiska variabler. En stor avvikelse från väntevärdet i en sådan summa är en avvikelse av storleksordning n, där n är antalet variabler i summan (alltså en betydligt större avvikelse än dem som centrala gränsvärdessatsen befattar sig med). Teorin handlar om hur snabbt sannolikheten för en sådan avvikelse går mot 0, då n går mot oändligheten, och ger alltså konvergenshastigheter i (den svaga versionen av) de stora talens lag. I allmänhet går sannolikheten mot 0 exponentiellt snabbt, där konstanten i exponenten ges av den så kallade ''rate-funktionen'' (ursäkta den dåliga svenskan!), som man ofta vill beräkna, eller åtminstone skatta.

Varför bry sig om stora avvikelser? Teorin för stora avvikelser tillhör det probabilistiska allmängods som varje sannolikhetsteoretiker (och helst varje matematisk statistiker, och minst var tredje matematiker...) bör känna till. Vidare har den viktiga tillämpningar inom många områden, exempelvis riskteori, telekom-modellering, och - kanske framför allt - statistisk mekanik.

Förkunskaper: Det viktigaste är att ha viss vana vid och tolerans för matematiska resonemang - säg på den nivå som normalt kan förväntas av en andraårsdoktorand i matematik eller matematisk statistik. Det är en fördel (men kanske inte helt nödvändigt) att ha läst Sannolikheter och väntevärden, 5p eller motsvarande, och ännu bättre är det om man dessutom läst N.S. konvergens, 5p. Den som har med sig en eller annan avancerad analyskurs i bagaget torde ha goda möjligheter att då och då överglänsa föreläsaren (vilket välkomnas, förutsatt att sker på ett civiliserat sätt!).

Epostlista: Jag har satt upp en epostlista för information om kursen. Hör av er till mig om ni vill vara med på denna lista.

Last modified: Tue May 6 17:06:01 MET DST 2003