Finns här
1. Robert A. Adams, Calculus : A Complete Course (6th edition), Addison Wesley.
2. Rolf Pettersson, Förberedande Kurs i Matermatik, Chalmers.
3. Något häfte om linjär algebra (delades ut 1/9 och 5/9).
OBS! Båda RAA och RP kan köpas på Cremona och/eller DC-centralen. RP kommer
också att säljas på 1:a föreläsningen (100 kr). 3:an delades ut och
är gratis. Notera att RAA visserligen inte är billig, men att den kommer att
användas till fler kurser, vilket gör att den totala kostnaden för
kurslitteratur till dessa kurser ändå är låg.
RAA : P:4,5,7; Kap 1-4 (utom 3.7,4.6 -
4.9), Kap 10.1 - 10.3, Appendix I.
RP : 1.1 - 1.12.
LEK : Allt.
| Standardvarning/råd till nollor !!!! |
Tempot i matematikundervisningen är högt. Det är viktigt att du kommer igång med att studera teorin och lösa uppgifter genast. Det är ett misstag att tro att man klarar att läsa in kursen veckan före tentamen! Läs igenom de avsnitt som tas upp på föreläsningarna i förväg, så blir det betydligt enklare att följa med och veta vad som eventuellt behöver antecknas. Försök räkna igenom uppgifterna före övningstillfället och fråga på de uppgifter du inte klarar. Utnyttja övningsledarna !
Undervisningen består av föreläsningar och
övningar.
Under föreläsningarna går vi igenom den matematiska teorin och under
övningarna löser vi uppgifter med anknytning till denna.
Till största delen kommer övningarna att bestå av egen verksamhet,
dvs att studenter själva löser uppgifter, med tillgång
till handledarhjälp, men ibland, i begränsad omfattning, också
demonstrationsräkning då handledaren går igenom en uppgift vid tavlan.
Under kursens gång kommer vid fyra tillfällen att ges en dugga .
En dugga kan ses som en "minitentamen" på det som behandlats under
de senaste veckorna. Varje dugga kommer att bestå av tre uppgifter
som vardera ger maximalt två poäng. Således kommer man under kursens gång
att kunna samla ihop maximalt 24 poäng på duggor.
Detta ger i sin tur bonuspoäng på ordinarie tentamen enligt formeln
antal bonuspoäng = antal duggapoäng/3 med eventuell avrundning uppåt.
Duggor kommer att hållas under fredagsföreläsningarna läsveckorna
-1, 2, 4 och 6.
Allteftersom kursen framskrider markeras avklarat material
med grönt.
Längre ner kommer man att finna veckoblad med mer detaljerad
information om de olika läsveckorna, med bland annat
rekommenderade övningar. Dessa veckoblad kommer att uppdateras ständigt
under kursens gång : information om uppdateringar skickas ut via email.
OBS! Följande schema är ungefärligt.
| Vecka |
Stoff |
Avsnitt |
| -2 |
Intro. Reella tal och deras algebraiska
struktur.
|
RP : 1.1, 1.2 |
| -1 |
Absolutbelopp. Potensräkning. Ekvationer och olikheter i en variabel. Funktionslära.
|
RP : 1.4, 1.5, 1.7, 1.8, 1.9, 1.11, 1.12. RAA : P4, P5. |
| 1 |
Trigonometri. Komplexa tal.
Ekvationer i flera variabler, speciellt
linjära ekvationssystem.
|
RP : 1.10. LEK : allt. RAA : P7, A1. |
| 2 |
Gränsvärden, kontinuerliga funktioner.
|
RAA : Kap 1. |
| 3 |
Derivator.
Deriveringsregler.
Derivering av trigonometriska funktioner.
Implicit derivering.
|
RAA : Kap 2.1 - 2.5, 2.9. |
| 4 |
Derivatan som förändringshastighet :
Växande och avtagande funktioner. Medelvärdesatsen. Approximation av
små förändringar via linearisering. Högre ordningsderivator.
Differentialekvationer.
Inversa funktioner.
Naturlig tillväxt/förfall. Allmänna potens och logaritmfunktioner.
Eulertalet och den naturliga logaritmen.
|
RAA : Kap 2.6 - 2.8, 3.1 - 3.4. |
| 5 |
Invers trigonometriska funktioner. Hyperboliska funktioner. Extremvärden, konkavitet och grafritning. Tillämpningar av derivator : Related Rates.
|
RAA : Kap. 3.5 - 3.6, 4.1. |
| 6 |
Tillämpningar av derivator (forts.) :
Optimeringsproblem. Geometri i planet och i rummet : Cartesiska
koordinatsystem, vektorer.
Operationer på vektorer : addition, skalärmultiplikation, skalärprodukt.
|
RAA : Kap 4.5, 10.1 - 10.2. |
| 7 |
Operationer på vektorer (forts.) :
vektor(kryss)produkt. Repetition.
|
RAA : Kap 10.3. |
| 27/10 |
Tentamen |
|
23/8 Föreläsning : Introduktion och
diverse hemliga saker (som det diagnostiska provet) !
24/8 Föreläsning RP : 1.1, 1.2 (minus polynomdivision). Extra stoff
PS
PDF
Här repeterades men också fördjupades grundläggande kunskaper om de
reella talen och regler för hur algebraiska uttryck ska hanteras.
1. Från naturliga tal till heltal till bråktal till reella tal. Fullständighetsaxiomet. Geometriska realiseringen av reella tal (tallinjen). Explicita exempel på irrationella tal (t.ex. sqrt{2}).
2. Talens algebra. De reella talen som en algebraisk kropp.
Bråkräkningslagarna. Kvadratkomplettering. Binomialsatsen. Olika standardfaktorieringar.
25/8 Lektion : Följande övningar ur RP rekommenderades
1a, 2c, 3cd, 4ab, 5ab, 6c, 7a, 8ac, 9a, 10ac, 11abc, 12a, 13a, 14ac, 16abc, 17ab, 18ac, 19ace, 21c, 22ab, 23bc.
28/8 Föreläsning RP : 1.4, 1.5, 1.12.
Diskussion av diverse begrepp relevanta till algebraiska räkningar på reella
tal.
1. Absolutbelopp och avstånd. Intervall notationen.
2. Definitionen av exponentialfunktionen c^x för rationella potenser x.
Regler för potensräkning.
29/8 Lektion : Följande övningar ur RP
rekommenderas
27abc, 28acde, 29ab, 31abcde, 32abde, 33bce, 34bcd, 52abd, 53abcdf, 54ade.
30/8 Föreläsning RAA : P4. RP : 1.7, 1.8, 1.9.
Extra stoff ps pdf
Introduktion till funktionsbegreppet, speciellt grafen till en reellvärd funktion. Polynomfunktioner i en variabel : rötter och faktorisering. Speciell hänsyn ska tas till de algebraiska metodernas begränsningar för ekvationer av grad fem och högre.
1. Allmän definition av begreppen "mängd" och "funktion".
2. Allmän definition av begreppet "grafen till en funktion". Två-dimensionell visualisering av grafen till en reellvärd funktion.
3. Polynomfunktioner och deras nollställen ur ett algebraiskt perspektiv. Sambandet mellan nollställen och faktorisering : Polynomdivisionsalgoritmen och
Faktorsatsen. Allmänna formlen för lösningarna till kvadratiska ekvationer via kvadratkomplettering. Ekvationer av högre grad : Cardano och Galois.
30/8 Lektion : Följande övningar ur RP rekommenderades
24, 37acd, 38a, 40a, 41ad, 42a, 44c, 46abc, 47ab, 48ab, 49bcd.
1/9 Föreläsning (Dugga 9-10) RP : 1.11. RAA : P4, P5.
Olikheter och mer om funktionslära.
1. Algebraisk hantering av polynomolikheter : teckentabeller.
2. Begreppen "definitionsmängd" och "värdemängd" för funktioner.
3. Algebraiska operationer på funktioner : punktvis addition, multiplikation och division.
4. Sammansättning av funktioner - en icke-kommutativ operation.
5. Avståndspreserverande symmetrier (s.k. "isometrier") av den reella linjen : translationer och speglingar. Funktioner med sådana symmetrier och deras grafer.
5/9 Föreläsning RAA : P7, A1.
Trigonometri och komplexa tal.
De trigonometriska funktionerna är de första "naturliga" funktionerna vi
möter som inte är polynom. Här betonas en grundlig förståelse i stället
för att bara lägga vissa snygga formler till minnet (även om det är förstås en fördel att kunna göra detta också).
Som vi tidigare sett så uppstår komplexa tal på ett naturligt sätt när man försöker lösa polynomekvationer. Att använda komplexa tal underlättar dessutom den
matematiska hanteringen av många fysiska modeller. Här studerar vi komplexa tal algebraiskt och geometriskt för att få en grundlig förståelse. M.h.a. trigonometrin så inför vi den s.k. "polära representationen" av komplexa tal, som belyser den algebraiska hanteringen av kompelxa tal på ett mycket bra sätt.
1. Radianer.
2. Definition av de grundläggande trigonometriska funktionerna "Cos" och "Sin".
3. Identiter hos de trigonometriska funktionerna och deras geometriska innehåll : Pythagoras sats, formlerna för vinkelsummor, sinus och cosinus lagarna.
4. Viktiga standardvinklar : det geometriska innehållet betonas här också.
5. De komplexa talen som en algebraisk kropp : addition, multiplikation, division. Konjugater.
5/9 Phaddermatte och 6/9 Lektion : Följande rekommenderade övningar hänvisar till materialet i de två sista föreläsningarna.
RP : 51.
RAA P4 : 1,3,5,7,9,11,14,17,20,23,27,31,35,39-46.
RAA P5 : 1,3,5,7adg,8,12,15,19-24,25,29,30,33.
RAA P7 : 1-29 (udda talen bara)
RAA A1 : 1,5,9,13,17,19,23,25,29,31,33,35,37,41,44,48,54.
6/9 Föreläsning RAA : A1 (forts.), RP 1.10.
Komplexa tal (forts.), System av ekvationer i flera variabler (kort intro.)
1. De komplexa talens geometri : Arganddiagrammet. Absolutbelopp och Pythagoras. Addition av tal som
vektoraddition. Triangelolikheten. Multiplikation och polära koordinator. Lösning av rotekvationer m.h.a. polära koordinator (De Moivre's sats). Algebrans Fundamentalsats.
2. Två ekvationer i två obekanta. Algebraisk lösning via substitution. Geometriska tolkningen.
8/9 Lektion : Fortsätt jobba på övningarna
från RAA (A1). Gör också övning 50 i RP.
8/9 Föreläsning LEK : hela häftet.
Linjära ekvationssystem och Gausseliminationsmetoden.
Har man ett system av flera ekvationer i flera obekanta så försöker man förenkla systemet genom lämpliga "substitutioner" som leder till att antalet ekvationer och obekanta minskas gradvis. När ekvationerna är för komplicerade så finns det oftast inga självklara val av substitutioner - algebran blir mycket komplicerat. Men för linjära ekvationssytem så finns det alltid ett metodiskt sätt att gå tillväga. Tillämpningar på linjära ekvationssystem inom naturvetenskapen finns bland övningarna.
1. Linjära system. Två ekvationer i två obekanta. Algebraisk lösning via elimination. Möjligheterna för storleken av lösningsmängden och geometriska tolkningen.
2. Tre ekvationer i tre obekanta. Algebraisk lösning via Gausselimination. Geometrisk tolkning.
3. Degenererade ekvationssystem med inga eller oändligt många lösningar. Geometriska tolkningen.
4. Allmäna linjära ekvationssystem. Under och överdeterminerade system.
12/9 Föreläsning RAA : 1.1 - 1.2.
Gränsvärden.
Gränsvärdebegreppet är redan underförstått i själva definitionen av de reella
talen via Fullständighetsaxiomet. Målet här är att formellt definiera
begreppet för funktioner. Detta i sin tur kommer att behövas för att
rigoröst kunna framställa derivatabegreppet nästa vecka, som är det centrala
begreppet i hela den här kursen.
1. Informell introduktion till gränsvärden : irrationella tal, oändliga
sunmmor, geometriska beräkningar.
2. Informell definition av gränsvärdet till en reellvärd funktion i en punkt.
Designering av fem olika typer av beteende :
(i) Gränsvärdet existerar och är lika med funktionens värde i punkten.
(ii) Gränsvärdet existerar men är inte lika med funktionens värde i punkten.
Speciellt kan gränsvärdet existera även om punkten inte finns med
i funktionens definitionsmängd : T.ex. kvot där både täljaren och
nämnaren går mot noll. Detta exempel är speciellt viktigt eftersom det
är vad som alltid inträffar vid beräkning av derivator.
(iii) Ensidiga g.v. existerar men har olika värden.
(iv) Oändliga g.v.
(v) Kaotiskt beteende : inga meningsfulla g.v. Vi gav som ett exempel
funktionen Sin (1/x) då x -> 0.
12/9 Phaddermatte och 13/9 Lektion Följande rekommenderade övningar hänvisar till materialet i de två sista föreläsningarna
LEK : 1,2,4,8,9,11,14,15,17,18,19,20,21,24.
RAA 1.1 : 1-4,9-11.
RAA 1.2 : 1,3-6,7,10,13,16,...,34,37,39,41,49-52,57,58,65-67,74,75.
13/9 Föreläsning RAA : 1.3.
Fortsatt diskussion av gränsvärden.
1. Fortsatt beräkning av g.v. i fallen (i)-(iv) från förra föreläsningen.
2. Gränsvärden i oändlighet. Satsen om beteendet hos rationella funktioner i
oändlghet.
15/9 Lektion (Dugga 8-9) : Följande övningar ur RAA rekommenderas
1.3 : 2,5,8,11,...,53.
15/9 Föreläsning RAA : 1.4 - 1.5.
Kontinuerliga funktioner. Formella gränsvärdebegreppet.
Här läggs vikten på en rigorös framställning av de viktiga begreppen "gränsvärde" och "kontinuitet" som, tillsammans med derivatabegreppet som kommer näst, utgör grunden för differentialkalkylen.
OBS! Materialet i avsnitt 1.5 i RAA är inte examinerbart !!
1. Definition av kontinuitet, vänster/högerkontinuitet i en punkt. Definition
av kontinuitet på en öppen/sluten intervall.
2. Mellanliggandevärdesatsen och Extremvärdesatsen för kontinuerliga funktioner.
3. Formella epsilon-delta definitionen av g.v. i en punkt.
19/9 Föreläsning RAA : 2.1 - 2.2.
Derivator.
1. Definition av begreppet "tangenten till en kurva i en punkt" m.h.a.
gränsvärden. Tangenter och normaler.
2. Derivatan som lutningen av en tangentlinje.
Formell definition av derivatan till en funktion y = f(x) i en punkt x = a.
3. Deriverbarhet medför kontinuitet.
4. Exempel på beräkningar av derivator utifrån definitionen. Potensregeln.
19/9 Phaddermatte och 20/9 Lektion : Se filen med
demonstrationsuppgifterna för de uppgifter som ska räknas på tavlan.
Följande uppgifter ur RAA rekommenderas, och hänvisar till materialet i de
två sista föreläsningarna :
1.4 : 2,5,8,11,...,32.
1.5 : 7-10,11,15,18,22,23,26,27,28,31,33.
2.1 : 1,5,9,10,13,15,16,21,22.
2.2 : 1,3,6,11,15,19,23,25,28,32,35,44,46.
20/9 Föreläsning RAA : 2.3 - 2.5.
1. Deriveringsreglerna för summor, produkter, reciprocals och kvot.
2. Kedjeregeln för derivering av sammansatta funktioner.
3. Derivering av trigonometriska funktioner I : Squeeze Principle och
beviset att (Sin x)/x -> 1 då x -> 0, med x i radianer.
22/9 Lektion : Med tanke på det plötsliga ökandet i narvaron på lektionerna så överges åtminstone för tillfället planen att
demonstrera uppgifter på tavlan. Följande uppgifter ur RAA rekommenderas :
2.3 : 1,5,9,13,17,21,25,29,31,34,42,45,46,52.
2.4 : 1,5,10,13,17,24,25,33,35,38.
2.5 : 4,7,12,16,20,25,29,41,45,48,53,58.
22/9 Föreläsning RAA : 2.5 (forts.), 2.9,
2.6 - 2.8 (inledning).
1. Derivering av trigonometriska funktioner II : (a) derivering av Sin x från definitionen av derivata (b) derivering av alla andra tigonometriska funktioner m.h.a. deriveringsreglerna.
2. Kedjeregeln för derivering av implicita funktioner : m.a.o. beräkning av tangenter till allmänna kurvor.
3. Derivering som förändringshastighet och tillämpningar :
(i) växande och avtagande funktioner.
(ii) kritiska punkter (Rolles sats).
26/9 Föreläsning RAA : 2.6 - 2.8 (forts), 3.1.
1. Derivering som förändringshastighet och tillämpningar (forts.) :
(iii) Medelvärdesatsen.
(iv) Approximation av små förändringar via "linearisering".
(v) Högre ordnings derivator.
(vi) Differentialekvationer : vägen mot tillämpningar av differentialkalkylen.
2. Ett-till-ett (injektiva) funktioner och deras inverser. Grafen till en inversfunktion som en spegling i linjen y=x. Derivering av
inversfunktioner via kedjeregeln.
26/9 Phaddermatte och 27/9 Lektion : Följande
rekommenderade övningar ur RAA hänvisar till materialet i de två sista föreläsningarna :
2.6 : 4,6,8,11,14,18.
2.7 : 2,7,12,17,22,27,32.
2.8 : 1,3,9,15,28,29,30.
2.9 : 1,3,5,10,17.
3.1 : 3,4,11,21,29,34.
27/9 Föreläsning RAA : 3.2 - 3.4 (se också RP 1.13, 1.14).
Den s.k. "naturliga tillväxt/förfall" modellen är en matematisk modell med
relevans till beskrivningen av en rad olika fenomen inom naturen. Tillväxten/förfallet av en enhet beskrivs i denna modell med potensfunktioner (av tid). Vill
man tillämpa modellen för att kontinuerligt följa processens utveckling så måste potensfunktioners definitionsmängd utvidgas till godtyckliga reella tal (tidigare under kursen så definierade vi bara rationella potenser). För att kunna tillämpa metoderna från differentialkalkylen till modellerna så måste man kontrollera att dessa s.k. "allmänna potensfunktioner / exponentialfunktioner" är deriverbara. Detta leder till några subtila matematiska problem som kan lösas på olika sätt. Inversfunktionerna till exponentialfunktionerna, de s.k. "logaritmerna", ska också studeras.
1. Modellen för naturlig tillväxt/förfall : introduktion via exempel i det
diskreta fallet där modellen ger upphov till heltalspotenser.
2. Tillväxt/förfall modellen i kontinuerlig tid : definition av allmänna potens(exponential)funktioner.
3. Logaritmer. Algebraiska regler för manipulering av exponential- och logaritmfunktioner. Graferna till sådana funktioner.
4. Derivering av exponential- och logaritmfunktioner, speciellt
(i) problemet att bevisa att lim_{h -> 0} (a^h - 1)/h existerar.
(ii) rigorösa lösningen av problemet genom att definiera den naturliga logaritmen via dess derivata (Adams strategi).
5. Jämförelse av tillväxtordningen av exponential, polynom och
logaritmfunktioner.
29/9 Lektion (Dugga 8-9) : Följande övningar ur RAA rekommenderas
3.2 : 1,5,9,11,13,15,25,29,31,32.
3.3 : 3,5,7,8,11,13,15,17,21,30,33,36,43,46,52,56,59,61.
3.4 : 1,3,5,6,8, läs alla uppgifterna 9-19 och lös minst ett par st.
29/9 Föreläsning RAA : 3.2 - 3.4 (forts.).
Exponential och logaritmfunktioner (forts.)
3/10 Föreläsning RAA : 3.5 - 3.6.
Eftersom vi har tidigare diskuterat inversfunktioner rent allmänt, så passar vi
på att studera inverserna till de trigonometriska funktionerna (inskränkta till
lämpliga intervaller). Vi passar på dessutom att studera de s.k. "hyperboliska"
funktionerna, som har likheter med både trig- och exponentialfunktioner. Detta avslutar vår handbok av funktioner för denna kurs.
1. Invers trigonometriska funktioner : definitioner, grafer, derivator.
2. Hyperboliska funktioner : definitioner, grafer, algebraiska identiter, derivator. Inversfunktioner till dessa också.
3/10 Phaddermatte och 4/10 Lektion : Tillsammans med resterande övningar från RAA 3.2, 3.3 och 3.4 så rekommenderas följande uppgifter ur Kapitel 3 :
3.5 : 2,3,7,13,15,19,23,40.
3.6 : 2, 7abd.
4/10 Föreläsning RAA : 4.2 - 4.4.
Effektiv grafritning m.h.a. differentialkalkylen.
En kraftfull dator kan få en bra bild av en funktions graf genom att räkna ut
en massa punkter på den och förbinda dem med korta raksträckor : "join the
dots". M.h.a. differentialkalkylen kan man dock ofta reda ut en grafs
allmänna utseende på ett mycket effektivare sätt. De teoretiska resultaten här är inte speciellt nya, de följer lätt från materialet i avsnitt 2.6. Vi fokuserar på tillämpningen till diverse exempel.
1. Första derivatan och kritiska punkter, speciellt lokala extremvärden (grafens "vändpunkter"). Sats 4.2.3.
2. Andra derivatan och grafens "form", dvs konkavitet och konvexitet. Satser 4.3.5 och 4.3.6.
3. Asymptoter : lodrätta, vågrätta och lutande.
6/10 Lektion : Följande övningar ur RAA
rekommenderas :
4.2 : 2,7,12,22,27,32,37,42,46,48.
4.3 : 1,9,10,17,22,41.
4.4 : 1,2,3,5,10,15,21,24.
6/10 Föreläsning RAA : 4.1.
Tillämpningar av derivator.
Vi tillämpar de teoretiska resultaten till två typer av "verkliga" problem :
1. Related rates problems : man vill reda ut förändringshastigheten av en
kvantitet givet information om relaterade kvantiteter och deras förändringshastigheter. Brukar använda implicit derivering.
2. Optimeringsproblem : man vill maximera eller minimera någon kvantitet som kan uttryckas som en funktion av någon oberoende variabel med en viss definitionsmängd. Tillämpning av materialet i förra föreläsningen.
Här finns det ingen ny teori så fokuset ligger på att lösa specifika problem.
10/10 Föreläsning RAA : 4.5.
Tillämpningar av derivator (forts.).
10/10 Phaddermatte och 11/10 Lektion :
Följande övningar ur RAA rekommenderas :
4.1 : 1,6,13,20,37.
4.5 : 1,3,7,18,21,26,37,38,47.
11/10 - 13/10 Föreläsningar och Lektion RAA :
10.1 - 10.2.
Se bifogad fil för detaljer pdf
17/10 Föreläsning RAA : 10.3.
Se filen från Vecka 6.
Finns här (senast uppdaterad 19/9)
ps
pdf
| Gamla grejer (inkl. tentor) |
Viktigast är de tre tentorna från i fjol. PDF filerna kan laddas ner från fjolårets
hemsida
Dugga 1 (09/01) : Vit ps pdf Gul ps pdf och
lösningar ps pdf
Dugga 2 (09/15) : Vit ps pdf Gul ps pdf och
lösningar ps pdf
Dugga 3 (09/29) : Vit ps pdf Gul ps pdf och
lösningar ps pdf
Dugga 4 (10/13) : Vit ps pdf Gul ps pdf och
lösningar ps pdf
Vid tentamen är inga hjälpmedel tillåtna.
Tentamen kommer att omfatta 50 poäng (plus eventuella
bonuspoäng) och för betyget 3
krävs minst 20 poäng, för betyget 4 minst 30 poäng och för
betyget 5 minst 40 poäng.
Rättade tentor återfås på Mottagningen för
matematik i Matematiskt centrum. Öppettiderna är må-fr
12.00-13.00.
Kontrollera att Du har fått rätt betyg och att
poängsumman stämmer. Eventuella klagomål på rättningen ska
lämnas skriftligt.
|
Tenta 27/10/06 med lösningar
PDF
|
Tenta 19/01/07 med lösningar
PDF
|
Tenta 29/08/07 med lösningar
PDF
|
PS
PDF
Här har ni en engelsk-svensk matematisk ordlista som satts ihop av Anders Vretblad (Uppsala) och Fredrik Engström (Göteborg). Kom gärna med förslag om fler ord för listan.
PDF filen
Om du har kommentarer, påpekanden eller annat att säga
om kursen, tryck
här
Peter Hegarty
<hegarty@math.chalmers.se>
Last modified: Tue Oct 7 18:24:07 MET DST 2003