MVE025/MVE295, Komplex matematisk analys/Komplex analys , 2017/18

Aktuella meddelanden


Hoppas det gick bra för er som skrev senaste omtentan (augusti 2018)! Här kan ni se tentan samt lösningsförslag. Obs! En student upptäckte ett fel i lösningen av uppgift 4 (sorry, bakläxa för mig). Det är nu iaf åtgärdat.


Hoppas det gick bra för er som skrev omtentan (december 2017)! Här kan ni se tentan samt lösningsförslag.

Det har saknats facit till de rekommenderade uppgifterna 1.23bdfg, 3.14ab, 4.33, 5.16, 9.17 och 9.18, så här är en pdf med dessa.

Tentorna som inte hämtades ut på tentagranskningen finns nu på matematikexpeditionen, så om man vill hämta ut eller granska sin tenta går man helt enkelt dit.

OBS! Tentagranskning blir nästa fredag 24/11, 12.00-13.00 i HB3. Här kan ni se lösningar med rättningsmall som i grova drag förklarar hur jag gjort poängsättningen.

Nu är tentan färdigrättad och resultaten inrapporterade i Ladok (pga det extra momentet dröjer det några dagar innan slutresultatet för MVE295 rapporteras). Jag blev väldigt glad av att se att de flesta av er ansträngt sig för att på ett tydligt sätt redovisa fullständiga lösningar. Jag är också imponerad av hur bra många svarade på bevisuppgifterna!

Hoppas alla är nöjda med sin insats på tentaskrivningen! Här kan ni se tentan samt lösningar.

Tack för alla intressanta frågor och diskussioner vi haft under kursens gång, det har varit väldigt givande för mig. Lycka till nu på tentan!

Välkomna till kursen! Kursens schema finns i TimeEdit.

Tips! Vår övningsledare Lucas tipsade mig om en bra youtubevideo som ger en visuell beskrivning av Riemanns zetafunktion, och som därför knyter an fint till kursen.

Uppenbarligen uppdaterade de versionen av kurslitteraturen precis när kursen började (hur tänker dem?!?!). Den gamla versionen finns som pdf här.

Jag var lite långsam på föreläsningen 6/9, så på storgruppsövningen 6/9 tänker jag formulera Cauchys integralformel, så att de som vill kan börja lösa de räkneövningar som bygger på denna. Jag återkommer naturligtvis till detta på föreläsningen nästa måndag.

Tips! Vill man få en intuitiv inblick i den moderna matematik (däribland komplex analys) som används inom teoretisk fysik så kan jag rekommendera The Road to Reality av Roger Penrose (finns att låna på Chalmers bibliotek).

Tips! Det matematiska konceptet grupp formaliserar iden om symmetri, och är därför centralt inom såväl matematik som inom fysik och kemi. Här kan man läsa en intressant artikel som beskriver hur kristaller kan förstås med hjälp av grupper. För den extra intresserade kan jag också rekommendera boken Why Beauty is Truth av Ian Stewart, som ger en läsvärd populärvetenskaplig skildring av symmetrins och gruppteorins historia. Vill man lära sig gruppteori på riktigt går man kursen Algebraiska strukturer MMG500.

Tips! Komplex analys dyker upp på många oanade ställen. Det mest kända olösta matematiska problemet är utan tvekan Riemannhypotesen. Dess lösning skulle ge stora insikter om primtalens fördelning, men problemet är faktiskt formulerat i termer av komplex analys (så det kan komma på tentan...). För den som är intresserad kan jag rekommendera en bra video (länk här) om problemet och dess historia på den utmärkta youtubekanalen Numberphile, samt boken Music of the primes av Marcus Du Satoy.

Tips! Fourieranalys är otroligt användbart! Fourieranalys ligger till grund för datortomografi (CAT scan) samt magnetisk resonanstomografi (MRI) (se länk här till artikel om detta). En annan väldigt viktig användning är vid röntgenkristallografi. Alla borde verkligen läsa James D Watsons (korta och lättlästa) bok The Double Helix : A Personal Account of the Discovery of the Structure of DNA, där han beskriver hur han och Francis Crick år 1953 lyckades fastställa DNAs tredimensionella struktur med hjälp av just röntgenkristallografi.

Lärare

Kursansvarig:

David Witt Nyström, wittnyst'at'chalmers.se.

Övningsledare:

Lucas Kaufmann Sacchetto, lucassa'at'chalmers.se.

Mattias Lennartsson, matlen'at'chalmers.se.

Hanna Oppelmayer, hannaop'at'chalmers.se.


För dem som läser kursen MVE295 ingår också ett delmoment på 1.5 p , 'Vektoranalys för KF och TM'. Den kursen leds av Christian Forssen; för mer info se länk här!.

Kurslitteratur

Precis som förra året kommer vi använda oss av boken A First Course of Complex Analysis av Beck, Marchesi, Pixton och Sabalka, som finns att som pdf här. Notera att detta är den näst senaste upplagan (v. 1.52). Facit till utvalda uppgifter finns här!, men man måste använda följande konversionstabell (länk här!) för att översätta till aktuell numrering (till vänster står numrena som hänvisar till de aktuella övningsuppgifterna medan högerkolumnen säger vilket nummer de har i facit). Några uppgifter som det saknades facit till (1.23bdfg, 3.14ab, 4.33, 5.16, 9.17 och 9.18) finns nu fact till här.

OBS! Den nya versionen (v. 1.53) finns att ladda ner gratis på nätet (länk här!), men notera att numrering av satser och övningsuppgifter kan skilja sig från de jag använde mig av.

Vi kommer också utnyttja kompletterande material från tidigare år skrivna av Bo Berndtsson: lite mer om residyräkning (länk här!), tillsammans med lite om argumentprincipen och lite om fourieranalys (länk här!), Fourier-, Laplace- och Z-transformen.

Program

Föreläsningar

Här är ett preliminärt program för kursen. Allteftersom kommer jag markera vad vi hunnit gå igenom med kursiv stil.

Dag
Avsnitt Innehåll
28/8
1.1-1.4
Introduktion. Komplexa tal. Komplexa talplanet. Polär form. De Moivres formel. Komplexa konjugatet. Olikheter. Topologi i planet.
29/8
2.1-2.2, 2.4
Forts. topologi i planet. Komplexa funktioner. Kontinuitet och deriverbarhet. Cauchy-Riemanns ekvationer.
30/8
2.3, 3.4
Fort. Cauchy-Riemanns ekvationer. Konsekvenser av CRs ekvationer. Exponentialfunktionen. Trigonometriska funktioner.
4/9
3.5, 3.1-3.2
Komplexa logaritmer. Konforma avbildningar. Möbiusavbildningar.
5/9 4.1 Forts. Möbiusavbildninar. Kurvintegraler.
6/9 4.3-4.4 Forts. integraler. Homotopi mellan slutna kurvor. Cauchys sats.
Cauchys integralformel v1.
11/9 4.4, 5.1, 5.3 Cauchys integralformel v2. Medelvärdessatsen. Integralformel för derivator. Liouvilles sats.
12/9 5.3, 4.2, 5.2 Algebrans fundamentalsats. Beräkning av reella integraler. Primitiva funktioner.
13/9 5.2, 6.1-6.2 Moreras sats. Harmoniska funktioner. Det harmoniska konjugatet. Medelvärdessatsen för harmoniska funktioner.
18/9 6.2 Maximumprincipen. Maximummodulusprincipen. 
19/9 7.1-7.4, 8.1 Likformig konvergens av funktionsföljder och funktionsserier. Potensserier. Konvergensradier. Konvergenskriterier. Potensserier är holomorfa.
20/9 8.1-8.2 Taylorutveckling av holomorfa funktioner. Cauchys uppskattningar. Klassifikation av nollställen.
25/9 8.2-8.3 Identitetsprincipen. Laurentserier. Laurentserieutveckling av holomorfa funktioner.
26/9 8.3, 9.1, Residypdf Forts. Laurentserieutveckling. Isolerade singulariteter. Klassifikation av singulariteter.
27/9 9.1-9.2, Residypdf Mer om Laurentserier. Residyer. Enkla kurvor och Jordans kurvsats. Residysatsen. Beräkning av residyer.
2/10 9.2, Residypdf Forts. residyer. Beräkning av reella integraler.
3/10 9.3, Residypdf Argumentprincipen. Rouches sats.
4/10 Fourierpdf Fouriertransformen. Inversionsformeln för FT. Parsevals formel. Egenskaper hos FT. Faltning och FT.
9/10 Fourierpdf Lösa diffekvationer mha FT. Laplacetransformen. Inversionsformeln för LT. Egenskaper hos LT. Lösa diffekvationer mha LT.
10/10 Fourierpdf Faltning och LT. Z-transformen.
11/10
Repetition.
16/10
Repetition.
17/10
Repetition.

Rekommenderade övningsuppgifter   

'D' betyder att övningen kommer att diskuteras på storgruppsövningen, 'Ö' betyder att den räknas på övningarna. Räkna så många övningar som möjligt, även bland de som inte står på listan!

Vecka
Uppgifter
1
Kap 1: D: 2c, 4c, 9, 10, 27ef. Ö: 1bcd, 2abd, 3bd, 4fh, 8ab, 11ac, 22, 23bdfg, 24, 25, 26, 33.
Kap 2: D: 19, 23. Ö: 14, 17, 20, 21, 22, 24.
2-3
Kap 3: D: 13ef, 14c, 21b, 33. Ö: 5, 9, 13, 14ab, 17, 18, 21ac, 31a, 39, 41cde, 45ab, 51.
Kap 4: D: 10, 25, 29, 36d. Ö: 1ac, 4, 5a, 6b, 17, 27, 28, 36abc.
Räkna också gärna: Kap 4: 5c, 8ace, 24, 26, 33, 34, 35.
3-4
Kap 5: D: 1d, 2, 3i, 13, 18. Ö: 1ac, 3aeg, 11, 14,15,16.
Kap 6: D: 9. Ö: 4, 7,11.
4-5
Kap 7: D: 19, 26ac, 29b, 35bc, 36. Ö: 5, 12, 26b, 27, 28, 29a, 30, 31, 34bce.
Kap 8: D: 9, 10bd, 17, 19, 30, 35, 36. Ö: 1b, 16, 18, 22, 25, 26, 27, 31, 32.
Räkna också gärna: Kap 8: 3, 5, 19, 20, 21, 24, 28, 37.
5-6
Kap 9: D: 6, 7e, 8c, 14, 21a. Ö: 1, 2, 5abcd, 7d, 8d, 9, 11, 15, 17,18, 21bc.
6-7 Residypdf: D: 3 på sid 5, 3 på sid 8, 1 på sid 11. Ö: alla andra övningar i Residypdf.
Fourierpdf: D: 1a och 3 på sid 8, 1c och 3a på sid 13, 1b och 3 på sid 16.
Fourierpdf: Ö: alla andra övningar i Fourierpdf.
Gamla tentor: D:  1310-4 (dvs uppg. 4 på tentan från april 2013), 1308-1a, 1301-3, 1201-8,
1208-8a, 1310-8 (första delen), 1203-8, 1401-9. Ö: 1401-5, 1310-8 (andra delen), 1308-5.
7-8 Gamla tentor: D: 1401-3, 1301-7, 1310-2, 1310-3b, 1401-4, 1401-1, 1401-6.
Ö: hela 1612, 1610, 1601, 1510, 1501, 1410, 1210-3, 1401-2, 1210-2, 1310-3a, 1310-1,
1308-4, 1301-4, 1210-4.

Räknestugor

Vi kommer ha tre räknestugor med olika upplägg.

FL51 med Lucas. Där är tanken att Lucas räknar en eller två uppgifter på tavlan och att studenterna sedan räknar själva och får hjälp av Lucas när det behövs. 
FL61 med Hanna. De första 45 min räknar hon på tavlan uppgifter hon valt från listan av rekommenderade uppgifter. Efter det räknar studenterna själva och får hjälp vid behov.
FL71 med Mattias. Han kommer räkna uppgifter på tavlan 2x45, men efter att ha skrivit upp ett problem kommer han låta studenterna sitta och försöka själva ett par minuter, för att sedan själv demonstrera lösningen på tavlan.
Man får själv välja vilken räknestuga man vill gå till.

Studieresurser

Datorlaborationer och övningar med Matlab

Inga.

Kurskrav

Kursens mål finns angivna i kursplanen.

Här är en lista på satser och bevis som kan komma på tentan. Numreringen hänvisar till kursboken av Beck, v.1.52, om det inte står R, vilket hänvisar till Residypdfen.

OBS! Här är en pdf (länk här!) med bevisen från föreläsningarna som skiljer sig från bokens. OBS! Det finns ett typo i beviset av klass. av nollställen, längst ner på första sidan, det står D(a,r) men borde stå den punkterade skivan D(a,r)^x). OBS! Beviset av argumentprincipen skiljer sig lite från förra året, så det har jag skrivit ner separat här.

OBS! Det kan förekomma små skillnader även i några av de andra bevisen, och i de fallen får man själv välja om man vill göra som jag gjort på föreläsningen eller om man vill följa boken.

OBS! Om man på tentan ombeds att formulera och bevisa en sats så behöver man inte definiera de begrepp som ingår i satsen. Däremot förväntas man kunna alla relevanta definitioner, så i princip kan jag be er att utöver att formulera och bevisa satsen dessutom definiera ett eller flera begrepp som ingår i dess formulering (men då står alltså detta tydligt och klart i frågans formulering).

OBS! I beviset av Algebrans fundamentalsats behöver man inte visa lemmat, bara hänvisa till det.

Sats 2.15 a och b (Cauchy-Riemanns ekvationer), beviset för b från föreläsning.
Proposition 2.11 (Satsen om konforma avbildningar).
Sats 4.6 d (Uppskattning av kurvintegraler).
Sats 4.18 (Cauchys sats).
Sats 4.24 (Cauchys integralformel v1).
Sats 5.1 (Cauchys formel för derivator), man behöver bara bevisa integralformeln för förstaderivatan av f, inte följden att derivatan är holomorf.
Korollarie 5.13 (Liouvilles sats).
Sats 5.11 (Algebrans fundamentalsats), beviset som använder Liouvilles sats (dvs det jag gjorde på föreläsningen) som står precis efter beviset av Liouvilles sats i boken.
Sats 8.2 (Derivering av potensserier).
Sats 8.8 (Taylorutveckling).
Sats 8.14 (Klassifikation av nollställen), formuleringen och beviset från föreläsning.
Sats 8.15 (Identitetsprincipen), beviset från föreläsning.
Sats 8.24 (Laurentserieutveckling).
Sats 4.1 R (=Prop. 9.5a) (Klassifikation av singulariteter).
Sats 9.10 (Residysatsen), beviset från föreläsning.


Proposition 9.11a (Beräkning av residyer 1)

Proposition 1.3 R (Beräkning av residyer 2).
Proposition 9.14 (Beräkning av residyer 3).
Sats 3.2 R (Argumentprincipen), formuleringen och beviset från föreläsning.
Sats 9.18 (Rouches sats), beviset från föreläsning.

Duggor

Inga.

Examination

Detta formelblad kommer att delas ut på tentan.

Maximal poängutdelning på tentan är 50 poäng; 7p var  på de 5 första uppgifterna och 5p var på de 3 sista. Betygsgränser:
0-19:U, 20-29:3, 30-39: 4 och 40-50:5.

Rutiner kring tentamina

I Chalmers Studentportal kan du läsa om när tentor ges och om vilka regler som gäller kring att tentera på Chalmers.

Vid tentamen ska du kunna uppvisa giltig legitimation och kvitto på erlagd kåravgift.

Du kan själv gå in i Ladok, via inloggning i Studentportalen, för att se dina resultat.

Granskning vid ordinarie tentamen:
Då det är praktiskt möjligt ordnas ett separat granskningstillfälle av tentamen. Tidpunkt för detta meddelas på kurshemsidan. Den som inte kan delta vid granskningen kan efter granskningstillfället hämta och granska sin tenta på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se information om öppettider. Kontrollera att Du har fått rätt betyg och att poängsumman stämmer. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

Granskning vid omtentamen:
Tentorna granskas och hämtas ut på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se information om öppettider. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

Kursvärdering

I början av kursen bör minst två studentrepresentanter ha utsetts för att tillsammans med lärarna genomföra kursvärderingen. Värderingen sker genom samtal mellan lärare och studentrepresentanter under kursens gång samt vid ett möte efter kursens slut då enkätresultatet diskuteras och rapport skrivs.

Kursrepresentanter F/TM: Emelie Björkman (emebjo), Alma Lund (almal).

Kursrepresentanter Kf: Kajsa Ahlgren (kajsaah), John Petersson (jpeters).

Se följande mall för Kursvärdering i studentportalen.

Gamla tentor

Ordinarie tenta oktober 2016 och lösningar. Omtenta december 2016 och lösningar.
Ordinarie tenta oktober 2015 och lösningar. Omtenta januari 2016 och lösningar.
Ordinarie tenta oktober 2014 och lösningar. Omtenta januari 2015 och lösningar.
Ordinarie tenta oktober 2013. Omtenta januari 2014. Ordinarie tenta oktober 2012.

Äldre tentor hittas här: http://www.ftek.se/main/kurs/komplex-analys/ (här finns också lösinngar till de flesta tentor, bl a till några av tentorna ovan som saknar lösningar).