Du lär dig enbart genom det du gör själv, ingen annan kan göra det åt dig, (vi) andra kan bara hjälpa dig med det. Men då är det avgörande att du verkligen utnyttjar vår hjälp. En viktig del är "självverksamheten" i räknestugan, försök att räkna så många uppgifter som möjligt (du får ett utförligt schema så du vet vid varje tillfälle precis vad du skall göra). Diskutera med kompisen, men ffa med övningsledaren; dess uppgift är att hjälpa dig att komma fram till en lösning (inte att räkna uppgifter), den möjligheten har du under 7x2 = 14 timmar (inte hemma!). Utnyttja även SI-verksamheten. En annan viktig del är det där med "självkontroll": kan du skriva ner an bra lösning? Det måste tränas, ta "instuderingsuppgifterna" på största allvar, gör dem angiven vecka och studera därefter lösningarna! Fråga vid minsta oklarhet!
Utdelat material:må
17/1:
Vi repeterar grundbegrepp som Rn, vektor, längd,
avstånd, och definerar nya som inre punkt, randpunkt, öppen
mängd, sluten mängd. Sedan börjar vi med
vektorvärda funktioner av rella variabler ("fält"): vi visar
att de är bestämda av sina koordinatfunktioner
(reellvärda funktioner) och hur man kan
åskådliggöra funktioner av flera variabler
(riktningsfält, nivåkurvor, funktionsyta). ti 18/1, to 20/1: Vi
"repeterar" gränsvärde, kontinuitet,..., men nu för
fält (ordagrant samma definitioner, satser och bevis pga
triangelolikheten, koordinatvis gränsvärde/kontinuitet).
"Slutet och begränsat" intervall motsvaras i flera dimensioner av
"kompakt mängd". Vi räknar exempel på
gränsvärde, ofta med polära koordinater. Sedan börjar vi med kurvor
(exempel, parameterframställning, Cm-kurva,
tangentvektor). PB: kap1 och 3.1 |
viktigt: repetera delB: geometrisk vektor (i R3), längd- avstånd. Nytt: Vad är en inre punkt, en randpunkt, randen till en mängd i Rn? Vad är en öppen mängd, en sluten mängd, en kompakt mängd? Vad är ett fält, ett fälts koordinatfunktioner? Hur kan man åskådliggöra ett fält, resp. reellvärda funktioner av två variabler? Hur definieras (och beräknas) gränsvärde, kontinuitet? Vad är de polära koordinaterna? Vilka egenskaper har kontinuerliga funktioner? Vad är en (orienterad, kontinuerlig, deriverbar, Cm-) kurva? Tangentvektorn till en kurva? |
må
24/1: Vi definierar arbete och kurvintegral (av
ett fält
längs en kurva) och
räknar exempel. ti 25/1: Vi
definierar en kurvas längd och räknar
exempel. Sedan
börjar vi med reellvärda funktioner av flera reella
variabler. Först definierar vi bågvis sammanhängande
mängd
och formulerar s.o.m.v., sedan "partiella derivator", men "partiellt
deriverbar" medför inte
"kontinuerlig".
to 27/1: Vi
inför det det rätta begreppet
"differentierbarhet" och visar att C1
medför differentierbarhet och att differentierbarhet medför
kontinuitet. Sedan definierar vi operatorn grad
som generaliserar deriveringsoperatorn D (kedjeregeln och
differentierbarhet blir enkla, gradf=0 medför att f är konstant på
bågvis sammanhängande mängder, visas på
måndag). fr 28/1: Vi definierar
riktningsderivatan och visar hur den fås
med grad. PB: 1.6 och 9.1 (även envariabelanalys, 7.4), 2.1-2.5 |
viktigt: Vad är en bågvis sammanhängande mängd? Hur beräknas längden av en kurva? Arbetet? Vad är båglängdselementet av en kurva? Hur defineras och vad ger de partiella derivatorna? Vad är en differentierbar funktion? Kan du visa att C1 medför kontinuerlig? Hur defineras (beräknas) tangentplan? Kan du (bevisa, tillämpa) kedjeregeln? Vad är gradientvektorn till en funktion? Vad ger den? Vilka egenskaper har den? |
må 31/1:
Vi visar att gradf anger den
riktning i vilken
funktionsvärdena växer snabbast samt att gradf är vinkelrätt mot
nivåkurvor/nivåytor. Sedan studerar vi hur funktioner i en
variabel kann approximeras med polynom, nämligen Maclaurinpolynom. ti 1/2: Vi
bestämmer Maclaurinpolynomet för de elementära
funktionerna och illustrerar hur man kan tillämpa denna
"Maclaurinutveckling" (numeriska beräkningar,
beräkning av gränsvärde mm); bland annat får
vi den geometriska serien och binomialteoremet. to 3/2: Vi härleder
Taylorutvecklingen
av funktioner av flera
variabler, sedan börjar vi med max-min-problem: vi
definierar (lokal ) extrempunkt, stationär punkt och
sadelpunkt och visar att (för part. deriverbara funktioner)
extrempunkter är stationära. fr 4/2: Vi tillämpar
Taylorutvecklingen för att karaktärisera
stationära punkter; viktiga begrepp är (positivt definit,
negativt definit, indefinit) kvadratisk form. PB: envariabelanalys: kap 9 och flerv.analys: 2.5, 2.6 |
viktigt: Vad är Maclaurinpolynomet till en funktion? Kan du härleda Maclaurins sats? Langranges restterm? Kan du beräkna Maclaurinpolynomet (till alla elementära funktionerna)? Vad är de generaliserade binomialkoefficienterna? Kan du härleda binomialsatsen? Kan du härleda Taylorutvecklingen av funktioner av flera variabler? Vad är en lokal extrempunkt, en stationär punkt, en sadelpunkt? Kan du visa att inre extrempunkter är stationära om funktionen är part. deriverbar; omvändningen? Vad är en (positivt definit, negativt definit, indefinit) kvadratisk form? Hur kan karaktären hos stationära punkter bestämmas? |
må 7/2:
Vi bevisar satsen om karaktärisering av stationära punkter
med kvadr. form och räknar exempel, sedan behandlar vi fält:
vi definierar funktionalmatris och funktionaldeterminant. ti 8/2:
Vi ser
hur enkelt "differentierbarhet" och kedjeregeln blir för fält
och definierar differential. to 10/2:
Vi behandlar implicita funktionssatsen och räknar exempel. Sedan
börjar vi med problemet "bestäm det största/minsta värde
som en funktion antar på en mängd"; utförliga exempel
räknas (även på fredag). PB: 2.7, 3.2-3.4, 4.1, 4.2 |
viktigt: Definition av funktionalmatris/determinant, differential. Funktionaldeterminant för polära koordinater. Vad menas med att ett fält är differentierbart? lokalt bijektivt i en punkt? Inversa och implicita funktionssatsen. Hur hittar man största/minsta värdet av en funktion på kompakta och på icke kompakta mängder? |
må 14/2:
Vi löser max-min-problem utan kompakt område och med
bivillkor. ti
15/2: Vi ägnar oss åt dubbelintegraler som vi
motiverar geometriskt (volymen av "området under en
funktionsyta") så som vi gjorde för enkelintegraler ("arean
av området under en funktionskurva"); beräkning sker via
itererad integration, inses väldigt ådkådligt
(skivformeln!). to17/2:
Vi beskriver utförligt "koordinatbyte" och motiverar
variabelsubstitution i dubbelintegraler. Många exempel
räknas. PB: 4.2, 4.3, 6.1-6.4 |
viktigt: Lagrange multiplikatormetod. Vad är en integrerbar funktion av två variabler? En mätbar (=kvadrerbar) mängd, en nollmängd? Satsen om itererad integration, integration över standardområden. Vad är den geometriska betydelsen av funktionaldeterminanten? Hur funkar variabelsubstitution för dubbelintegraler? Du lär dig att integrera genom att räkna många exempel. Gå igenom först samtliga exempel vi räknade på tavlan och samtliga exempel i boken (="typtal med lösningar")! |
må 21/2:
Vi definierar generaliserad dubbelintegral m.h.a. uttömmande
följder och räknar exempel, bl.a. integralen av exp(-x^2)
("errorfunction"). ti 22/2, to
24/2: Vi börjar med "vektoranalys" i planet:
först inför vi viktiga begrepp för kurvor (sluten,
enkel), för mängder i planet (enkelt sammanhängande) och
på torsdag för fält (konservativt kraftfält,
potential och kurvintegral
oberoende
av vägen). Sedan bevisar vi Green's sats som spelar en
avgörande roll i
planet (den ger en karaktärisering av konservativa
fält) och i rummet
(användes i beviset av Gauss sats, lp4). På torsdag visar vi
huvudresutatet: under vissa, viktiga förutsättningar
gäller för ett
kraftfält F=(P,Q)
ekvivalens mellan "konservativt", "kurvintegral oberoende av
vägen" och den enkla (lätt verifierbara) identiteten "P'y=Q'x". PB: 6.6, 9.2-9.4 |
viktigt: Uttömmande följd, generaliserad dubbelintegral. Kan du beräkna exp(-x^2) över hela reella axeln? Vad är en sluten, en enkel, kurva? En enkelt sammanhängande mängd en mängd med positivt orienterad rand, i planet? Vad menas med att "kurvintegralen är oberoende av vägen i D"? Vad är ett konservativt kraftfält? Vad är en potential till ett fält? Kan du (formulera och bevisa) Green's sats? Samband mellan potential, fält och arbete för konservativa fält? Hur kan du avgöra om ett fält är konservativt? |
må 28/2:
Vi visar att för konservativa fält är arbete =
potentialskillnad, räknar exempel. ti 1/3:
Vi börjar med tillämpningar: gravitationsfält,
elektrostatiskt fält och magnetfält, vidare areaberäkning
av områden i planet. to 3/3:
vi börjar med repetition: vi visar
integralkalkylens MVS,
Cauchys MVS och L'Hospitals regel, studerar kurvor
på
polärform och de sfäriska koordinaterna. PB: 9.3-9.4, PB: envariabelanalys: kap 9 |
viktigt: Vad är arbetet för konservativa fält? Kan du beräkna en potential till ett konservativt fält? Kan du beräkna arean av ett område i planet m.h.a. Green? Vad är och hur löses en exakt differentialekvation? Hur beräknas arean av områden som beskrives med polära koordinater? Kan du (visa) integralkalkylens medelvärdessats för två funktioner? L'Hospital's regler? |
må 7/2, ti 8/2:
Vi repeterar, tentorna 02-01-18 och 04-08-20 (delvis) demonstreras. Ingen undervisning torsdag och fredag. |
viktigt: Räkna tentorna 02-01-18 och 04-08-20 hemma (före 7/2)!! Sista RÖ må (7/2) resp. on (9/2). |
Name Last modified Size Description
Parent Directory 18-Jun-2004 09:14 -