Matematiska metoder del C vt 2002  (TMA042)

Här finns all information och allt utdelat material.

Kursansvarig: Bernhard Behrens, tel 772 3573
                              Mottagning: måndagar 12-13 (matem. centrum, rum 1239)

Kursen startar må 21/1, första räknestugan ons/tor v3.

Övningstenta: lördag 16/2, kl. 10.45-12.45 i ML 11- ML 16.
Tentor:  11/3 e (V), 23/8 f (V), 17/1 e (V) 2003

Tentan (11/3) är färdigrättad, den ges tillbaka fr 22/3 kl. 11.46 (HA1), resultat.
Hämta ut den (mottagningsrummet kl 12.30-13.00) och gå igenom bifogade lösningarna!!!

Studieförtroendeman för Matte C i E1 är Henrik Pettersson.
Mailadressen är  h.pettersson@email.com  och telefonnummer är  0733-409864

Information för hela årets matten finns i PM-et, för del C i schemat  med en veckovis planering,
här finns en utförlig kursbeskrivning som uppgraderas allt eftersom:

vecka 4: PB kap 1, 3.1 och 9.1
Måndag: Vi börjar med "flervariabelanalys", dvs. med att studera avbildningar från Rm till Rn, alltså vektorvärda funktioner av m reella variabler, såk. "fält". Vi inför viktiga grundbegrepp för delmängder i Rn (inre punkt, epsilon-boll, omgivning, öppen resp. sluten resp. kompakt mängd, randpunkt), inser att fält är bestämda av sina (reellvärda!) koordinatfunktioner och hur man kan åskådliggöra dessa, särskilt reellvärda funktioner av 2 variabler (funktionsytor, nivåkurvor...). På tisdag inför och studerar vi grundläggande begrepp för fält (gränsvärde, kontinuitet...),  ordagrant samma som för funktioner av en variabel. Torsdag-fredag studer vi vektorvärda funktioner av en reell variabel (kurvor), ffa beräkning av en kurvas längd och av ett fälts arbete längs en kurva. viktigt:
Längd av en vektor, avstånd mellan två punkter (vektorer) i Rn, inre punkt, boll, omgivning, öppen mängd, sluten mängd, kompakt mängd, randpunkt, rand till en mängd;
funktionsyta, nivåkurva, nivåyta;
fält: kraftfält, strömningsfält, hastighetsfält, riktningsfält; 
koordinatfunktion, limes, kontinuitet;
polära koordinater;
funktioner av klassen  Cm;
kurva, tangentvektor till en kurva, båglängdselement, längd av en kurva, arbete.
vecka 5: PB, kap 2
Måndag: Vi börjar nu med reellvärda funktioner av flera variabler: vi definierar "partiella derivator", men inser att det "rätta deriveringsbegreppet" är "differentierbarhet".  På tisdag visar vi att differentierbara funktioner är kontinuerliga, att C1-funktioner är differentierbara och att sammansättningen äv differentierbara funktioner är differentierbar (kedjeregel). Torsdag-fredag inför vi gradientvektor och riktningsderivata och visar gradientens betydelse: anger den riktning i vilken  f  ändras snabbast, är normalfält, är detta 0 så är  f  konstant mm. Här behövs begeppet "bågvis sammanhängande", då pratar vi även om s.o.m.v.. viktigt:
Definition av partielle derivator, vad ger de?
Är partiellt deriverbara funktioner kontinuerliga?
Begreppet  Cm-fält. Differentierbarhet. 
C1 medför differentierbar, differentierbar medför C0, omvändningarna gäller ej. Kedjeregeln (bevis!).
Gradientvektor, dess egenskaper (vad ger den?).
Riktningsderivata (definition, beräkning); 
bågvis sammanhängande mängd, s.o.m.v..
vecka 6: JP, kap 11, PB Kap 2
måndag-tisdag: Vi definierar "Taylorpolynom" (en "fortsättning" av Lagranges MVS) och visar hur det approximerar funktioner; beviset  fås med partiell integration och MVS för integralkalkylen. Vi taylorutvecklar de elementära funktionerna och tillämpar det på numeriska beräkningar och på gränsvärdesberäkningar; b.a. får vi binomialteoremet. Torsdag räknar vi typtal och diskuterar Bernoulli-L'Hospitals sats, sedan visar vi Taylors sats för funktioner av 2 variabler. Fredag tillämpar vi det för behandling av max-min-problem: Taylorutveckling tom ordning 2 ger ev. att en stationär punkt är lok. maximi/minimi-punkt eller sadelpunkt om den kvadratiska formen av andragradsderivatorna i punkten är positivt/negativt definit eller indefinit. viktigt:
Taylorpolynom (med restterm), integralkalkylens MVS, Taylorutvecklingen (kring 0) av de elementära funktionerna, binomialteoremet, generaliserade binomialkoefficienter. Standardgränsvärdet: x^n/n! går mot 0 då  n  går mot oändligheten.
Bernoulli-L'Hospitals sats.
Taylorutveckling för funktioner av flera variabler.
Hur definieras lokal maximi/minimi-punkt? Stationär punkt? Sadelpunkt?
Vad är en kvadratisk form? Vad är en positivt (negativt) definit, resp. en indefinit kvadratisk form?
Extrempunkter, i vilka  f är part. deriverbar, är stationära; gäller omvändningen? Hur kan ev. karaktären hos en stationär punkt avgöras? 
vecka 7: PB Kap 2, 3, 4.1 (ingen föreläsning tisdag)
Måndag: Vi räknar exempel på "bestäm stationära punkter och deras karaktär". Sedan inför vi funktionalmatris och ger exempel på den. Torsdag definierar vi differentialen och funktionaldeterminanten till ett fält, beskriver mha funktionalmatrisen differentierbara fält och behandlar inversa och implicita funktionssatsen. Fredag behandlar vi kedjeregeln för fält och börjar med problemet "bestäm det största/minsta värde som f antar på D". viktigt:
funktionalmatris, funktionaldeterminant;
funktionaldeterminanten till de polära koordinaterna.
Differentierbart fält, kedjeregeln för fält, differential.
Funktionalmatris (-determinant) till  f-invers.
Vad menas med "lokalt bijektiv funktion"?
Inversa funktionssatsen, implicita funktionssatsen.
vecka 8: PB kap 4, 6
Måndag: Vi räknar exempel på max min-problem (även utan kompakt definitionsmängd). Tisdag behandlar vi max-min-problem under bivillkor (Lagrange's multiplikatormetod). Torsdagdefinierar vi dubbelintegral och lär oss att beräkna dem, fredag räknar vi ytterligare exempel, pratar om integreringsregler och börjar med variabelbyte, ffa visar vi funktionaldeterminantens geometriska betydelse (skalfaktor vid variabelbyte).  viktigt:
Lagrange's multiplikator metod (bevis).
Dubbelintegral, itererad integration, variabelsubstitution; 
funktionaldeterminantens geometriska betydelse.
vecka 9: PB kap 6, 9
Måndag: Vi behandlar variabelsubstitution i dubbelintegraler, tillämpningar och generaliserade dubbelintegraler. Tisdag räknar vi exempel till kap. 6 (bl.a. error-function). Torsdag-fredag börjar vi med "vektoranalys i planet" (i del D fortsätter vi med vektoranalys i rummet). Vi studerar fält och kurvintegraler: huvudsatsen är Greens sats och huvudresultatet är en karaktärisering av konservativa fält (fält F som har en potential U, dvs F = gradU) nämligen: under vissa förutsättningar på F=(P,Q) och omrdådet D är följande utsagor ekvivalenta: (1) F är konservativt i D (2) kurvintegralen av F är oberoende av vägen i D (3) dP/dy=dQ/dx i (och arbetet är då lika med potentialskillnaden).  viktigt:
variabelsubstitution i dubbelintegraler,
generaliserad dubbelintegral, 
beräkning av "error-function".
Konservativt (=exakt, = gradient-, =potential-) fält; potential. Vad menas med "F har en potential"?
Enkel kurva, sluten kurva.
Enkelt sammanhängande mängd.
Greens sats (formulering, bevis).
Karaktärisering av konservativa fält; bevis av att (1),(2),(3) (se vänstra kolumnen) är ekvivalenta.
vecka 10: repetition
Denna vecka repeterar vi genom att ge intressanta tillämpningar (gravitations-, elektrostatiskt-, magnetfält, kurvor på polärform, areabestämning, lösning av exakta differentialekvationer mm) och räkna uppgifter och tentorna 02-01-18 och 01-08-24. viktigt:
kurvor på polärform, arean av en mängd vars rand ges på polärform; areaberäkning mha Greens sats.
Lösning av en exakt differentialekvation.
OBS: räkna tentorna 02-01-18 och 01-08-24, demonstreras to-fr!

Utdelat material:

[DIR] Parent Directory      02-03-04      -