| må
21/1: Vi definierar partiella derivator för
rellvärda funktioner; "partiellt
deriverbar" medför dock inte
"kontinuerlig", det rätta
deriverbarhetsbegreppet visar sig vara
"differentierbarhet". Vi visar kedjeregeln.
on 23/1: Vi tillämpar kedjeregeln för att lösa partiella differentialekvationer via nya variabler. Vi visar: C1 medför differentierbar, differentierbar medför kontinuerlig. Sedan definierar vi operatorn grad som generaliserar deriverings- operatorn D (kedjeregeln och differentierbarhet blir enkla, gradf=0 medför att f är konstant på bågvis sammanhängande mängder). Vi definierar riktningsderivatan och visar hur den fås med grad, att gradf anger den riktning i vilken funktionsvärdena växer snabbast samt att gradf är vinkelrät mot nivåkurvor/nivåytor. to 24/1: Vi börjar med max-min-problem: vi definierar (lokal) extrempunkt, stationär punkt och sadelpunkt och visar att (för part. deriverbara funktioner) extrempunkter är stationära. Vi härleder Taylorutvecklingen av funktioner av flera variabler. PB: 2.1-2.6 |
viktigt: Repetera: geometrisk vektor i Rn: längd, avstånd, skalärprodukt; inre punkt, randpunkt, randen till en mängd i Rn; öppen mängd, sluten mängd; kompakt mängd; bågvis sammanhängande mängd. Vad är ett fält, ett fälts koordinatfunktioner? Vad är en nivåkurva? Hur kan man åskådliggöra fält resp. reellvärda funktioner av två variabler? Hur definieras (och beräknas) gränsvärde, kontinuitet? Vad är de polära koordinaterna? Vilka egenskaper har kontinuerliga funktioner? Taylorutveckling av funktioner i en variabel. Nytt: Hur defineras och vad ger de partiella derivatorna? Vad är en differentierbar funktion? Kan du visa att differentierbarhet medför kontinuitet och att C1 medför differentierbarhet? Hur defineras (beräknas) tangentplan (för funktionsyta, för nivåyta)? Kan du (bevisa, tillämpa) kedjeregeln? Vad är gradientvektorn till en funktion? Vad ger den? Vilka egenskaper har den? Kan du härleda Taylorutvecklingen av funktioner av flera variabler? Vad är en lokal extrempunkt, en stationär punkt, en sadelpunkt? Kan du visa att inre extrempunkter är stationära om funktionen är part. deriverbar? Gäller omvändningen? Räkna instud.uppg. 1, 2a,b1 och exemplen |
| må
28/1: Vi
inför det viktiga begreppet (positivt definit,
negativt definit, indefinit) kvadratisk form och
tillämpar Taylorutvecklingen för att karaktärisera
stationära punkter. on 30/1: Vi definierar funktionalmatris, funktionaldeterminant och differential och ser hur enkelt "differentierbarhet" och kedjeregeln blir för fält och diskuterar inversa funktionssatsen. to 31/1: Vi motiverar implicita funktionssatsen och börjar med dubbelintegraler som vi motiverar geometriskt (volymen av "området under en funktionsyta") så som vi gjorde för enkelintegraler ("arean av området under en funktionskurva"). PB: 2.6, 2.7, kap3, 6.1-6.3 |
viktigt: Vad är en (positivt definit, negativt definit, indefinit) kvadratisk form? Hur kan karaktären hos stationära punkter bestämmas? Definition av funktionalmatris/determinant, differential. Funktionaldeterminant för polära och för sfäriska koordinater. Vad menas med att ett fält är differentierbart? Cm? lokalt bijektivt i en punkt? Inversa och implicita funktionssatsen. Repetera: matrisräkning, determinant! Vad är en integrerbar funktion av två variabler? Repetera: Integrering! Räkna instud.uppg. 3a |
| må 4/2:
Vi
definierar nollmängd och mätbar mängd, behandlar
integreringsregler och
visar hur man beräknar dubbelintegral via
itererad integration (väldigt åskådligt:
skivformeln!). on 6/2: Vi behandlar integration över standardområden och "koordinatbyte" och upptäcker funktionaldeterminantens geometriska betydelse. Vi motiverar utförligt variabelsubstitution i dubbelintegraler och räknar exempel. to 7/2: Vi definierar generaliserad dubbelintegral (konvergens, divergens, absolutkonvergens) m.h.a. uttömmande följder och räknar exempel, bl.a. integralen av exp(-x2) över R. Sedan börjar vi med trippelintegral. PB: 6, 7, 8 |
viktigt: Vad är en nollmängd, en mätbar (= kvadrerbar) mängd? Satsen om itererad integration. Integration över standardområden. Vad är den geometriska betydelsen av funktionaldeterminanten? Hur funkar variabelsubstitution för dubbelintegraler? Vad är en uttömmande följd, en (divergent, konvergent, absolutkonvergent) generaliserad dubbelintegral? Kan du beräkna exp(-x2) över hela reella axeln? Du lär dig att integrera genom att räkna många exempel. Gå igenom först samtliga exempel vi räknade på tavlan och samtliga exempel i boken (="typtal med lösningar")! Räkna instud.uppg. 4, övningstentor!! |
| må 11/2:
Vi
härledar rymdpolära
koordinater och deras funktionaldeterminant, nämnar
tillämpningar av integral: massa,
tyngdpunkt,
moment och räknar
exempel. on 13/2: Vi börjar med kurvintegral av ett fält längs en kurva som vi motiverar med "arbete"; vi visar att den är oberoende av kurvans parameterframställning och räknar exempel, sedan definierar vi sluten och enkel kurva, enkelt sammanhängande mängd (med posistivt orienterad rand) i planet. to 14/2: Vi definierar konservativt kraftfält, potential och "kurvintegral oberoende av vägen", sedan bevisar vi Greens sats som spelar en avgörande roll i planet (ger en karaktärisering av konservativa fält) och i rummet (användes sedan i beviset av Gauss sats). Huvudresutat: under vissa, viktiga förutsättningar gäller för ett kraftfält F=(P,Q) ekvivalens mellan "konservativt", "kurvintegral oberoende av vägen" och "P'y=Q'x". PB: 3.1.1, 9 |
viktigt: Trippelintegral (beräkning, variabelsubstitution, sfäriska koordinater, generaliserad integral). Repetera "kurva i Rn" (P-B, env. analys, 7.4, flerv. an. 3.1.1)! Hur definieras kurvintegral? Arbete? Vad är en sluten, en enkel, kurva? En enkelt sammanhängande mängd, en mängd med positivt orienterad rand, i planet? Vad menas med att "kurvintegralen är oberoende av vägen i D"? Vad är ett konservativt kraftfält? Vad är en potential till ett fält? Vad är en exakt differentialform (exakt differentialekvation)? Kan du (formulera och bevisa) Greens sats och samband mellan potential, fält och arbete för konservativa fält? Hur kan du avgöra om ett plant fält är konservativt? Vad är arbetet för ett konservativt fält? Kan du beräkna en potential till ett konservativt fält? Kan du beräkna arean av ett område i planet m.h.a. Green? Hur löses en exakt differentialekvation? Räkna instud.uppg. 4, övningstentor!! |
| må 18/2:
Vi
visar "arbete
= potentialskillnad" för ett konservativt fält och motiverar
"konservativt" (lagen om bevarande av energin gäller). Sedan
börjar med ytor på parameterform: först
bestämmer vi arean
av en buktig yta. on 20/2: Vi definierar (normal-)ytintegral (ger flödet) och divergens av ett fält och visar Gauss sats (som ger fysikalisk innebörd av div, nämligen källstyrka). to 21/2: Vi visar att Greens sats är Gauss sats i planet, sedan definierar vi rotation av ett fält, nablaoperatorn (allt blir väldigt enkelt: "funkar" som geometrisk vektor), definierar orienterad yta med rand och visar Stokes sats. PB: 9, 3.1, 8.2, 10 |
viktigt: Igen: Repetera: geometrisk vektor (i R3, skalärprodukt och vektorprodukt)! (Buktiga) ytor: vad är areaelementet, hur beräknas arean? Vad är, hur beräknas och vad ger en normalytintegral? Vad är en orienterad yta med rand? Vad är divergens och rotation av ett fält? Kan du (formulera, bevisa och tillämpa) Gauss och Stokes sats? Kan du räkna med nabla-operatorn? Räkna instud.uppg. 5 |
| må 25/2:
Vi ger fysikalisk
innebörd av rot-vektorn
och visar att i planet Stokes sats är Greens
sats, sedan visar
vi ekvivalens mellan virvelfritt och konservativt, mellan
källfritt
och
existens av en vektorpotential. on 27/2: Vi räknar huvudexemplen: fält riktade mot origo vars styrka är (omvänt) proportionell mot en potens av avståndet till origo samt magnetfält - elektrostatiskt fält kring z-axeln. to 28/2: Vi börjar med problemet bestäm det största/minsta värde som en funktion antar "på en mängd", resp. "under bilvillkor"; utförliga exempel räknas, ffa max-min-problem utan kompakt område. PB: 10, 4 |
viktigt: Vad är en enkelt sammanhängande mängd i R3, en konvex mängd? Kan du (även visa) samband mellan potential och rotation, vektorpotential och divergens i R3? Hur kan du avgöra om ett fält i R3 är konservativt? Kan du beräkna en potential till ett konservativt fält, en vektorpotential till ett källfritt fält? Räkna instud.uppg. 6 Hur hittar man största/minsta värdet av en funktion på kompakta och på icke kompakta mängder? Räkna instud.uppg. 3b |
| må 3/3:
Vi visar Lagranges multiplikatormetod för
lösning av max/min-problem under bivillkor och räknar
exempel. on 5/3: Vi räknar exempel på max/min-uppgifter, definierar karakteristikor till en PDE och visar hur man kan beräkna dem. Till sist diskuterar vi när (och hur) man får derivera under integraltecken, ex.: gammafunktion, Laplace- och Fouriertransform. Sedan börjar vi att repetera genom att räkna uppgifter från fjolårets tentor (baklänges: 08-01-17, 07-08-28 osv.), det fortsätter vi med to 6/3 och fr 7/3 (13-15). PB: 4, 5.1, PDE |
viktigt: Lagranges multiplikatormetod. Vad är och hur fås en karakteristisk koordinat för en PDE? När får man derivera under integraltecken (ffa då integralen är generaliserad)? Räkna instud.uppg. 2b2 Räkna tentorna 08-01-17,07-08-28,07-03-16 innan de demonstreras!! (lösningar: 08-1-17, 07-08-28, 07-03-16, 07-01-19) |