Välkommen till kursen
Schemat för kursen hittar du via länken till webTimeEdit på sidans topp.

Sep 5, 16.10: Här är tenta med lösningar från 30/8

Jan 15, 13.00: Här är dagens tenta med lösningar

Oct 24, 12.45: Här är dagens tenta med lösningar

Oct 19, 20.40: Sal MV:F33 är nu bokad för en frågestund mellan 14-17 på tisdag.

Oct 19, 20.20: Några kommentarer efter repititionspasset igår:

(1) angående sista exemplet jag gjorde på tavlan där jag räknade fram en potential för det konservativa fältet F = (xy^2 + x, x^2 y - y), nämligen den reklativt komplicerade 4:e gradsfunktionen \phi(x,y) = 1/2 * (x^2 y^2 + x^2 - y^2).

Man skulle kunna ta sig an fältlinjerna genom att först betrakta nivåkurvorna till \phi och sedan normalerna till dessa. Ett alternativ är att använda formeln för fältlinjerna på s.844 i boken. I detta fall, eftersom det är ett 2-dimensionellt fält så lyder ekvationen

dx/F_1 = dy/F_2,

som i detta exempel blir

dx/(xy^2 + x) = dy/(x^2 y - y) ... (1)

Oftast är den här typen av differentialekvationen olösbart, men här går det att separera x och y och integrera. Nämligen (1) kan skrivas om till

(x - 1/x) dx = (y + 1/y) dy.

Integration av båda leden ger sedan

x^2 / 2 - ln(x) = y^2 / 2 + ln(y) + C.

Detta är en ekvation för fältlinjerna (olika C-värden ger olika kurvor), iofs en komplicerad sådan (icke-överraskande ty nivåkurvorna för \phi är också komplicerade).

(2) jag fick en fråga efter passet som indikerade att jag borde ha varit mer tydlig när jag pratade om hur man hanterar uppgifter där det står att beräkna flödet "upp" eller "ner", och man vill använda Gauss sats. Betrakta igen exemplet med halvkonen z = + \sqrt{x^2 + y^2}, och säg att man har ett fält F och vill beräkna

"flödet upp genom den delen av konen med z <= 1".

Den utåtgående normalen pekar neråt vid alla punkter på konen, så om man är intresserad av flödet "upp" så är det den inåtgående normalen som gäller. För att kunna använda Gauss sats måste man dock först ha en sluten yta. Så man måste först lägga på ett "lock", nämligen skivan z= 1 = x^2 + y^2. Med Gauss sats kan man först beräkna hela flödet ut ur denna sluten yta. Om man sedan subtraherar flödet ut genom locket (som förhoppningsvis är lätt att beräkna direkt ty normalen har en konstant riktning där), så får man flödet ut genom konen. Slutligen, byta tecknet för att få flödet in/upp.

Det som blir lite förvirrande är att, när det gäller locket så är "flödet ut" samma sak som "flödet upp", medan att på konen själv är det snarare "flödet upp = flödet in".  Man ska vara försiktig med att tolka alla orden rätt alltså.

(3) en annan sak som verkar orsaka mycket förvirring är hur man tolkar en linjeintegral eller ytingeral där man bara integrerar 1. Det man beräknar i så fall är resp. längden av en kurva eller arean av en yta. Så

\int_{C} 1 ds = \int_{C} |dr/dt| dt = längden av kurvan C

och

\int_{S} 1 dS = arean av ytan S.


Oct 16, 12.42: Jag vill räkna ett exempel till, nr 16.5.4 i boken. Det tar kanske en kvart på fredag. Sedan blir det repitition. Kom ihåg att en extra pass är inbokad på fredag e.m. 13-15. Vi kan bestämma på fredag f.m. om vi vill verkligen utnyttja den. Jag kommer att ordna en frågestund till tisdag nästa vecka.

Jag har inte hunnit diskutera bevisen av varken Greens eller Gauss sats. Dessa står i lärmålen för överbetyg, men de kommer således INTE att examineras. Dock ska man kunna formulera satserna (för överbetyg), och naturligtvis ska man kunna lösa räkneuppgifter (för G-betyg). Allt som har med Stokes sats att göra ligger på Ö-nivå.

Förresten, angående den sista uppgiften från idag, 16.5.2: vi fick svaret -8*pi. Man kan kontrollera svaret genom att beräkna linjeintegralen direkt. Kurvan är skärningen mellan z=y^2 och x^2 + y^2 = 4, orienterad moturs sett ovanifrån. Således har den en parametrisering

r(t) = (2 cos t, 2 sin t, 4 sin^2 t), 0 <= t <= 2*pi.

Vi hade F = (y,-x,z^2) = (2 sin t, -2 cos t, 16 sin^4 t). Dessutom kan man derivera r(t) och får

dr/dt = (-2 sin t, 2 cos t, 8 sin t cos t)

Så linjeintegralen blir

\int_{0}^{2*pi} dt [ (2 sin t)(-2 sin t) + (-2 cos t)(2 cos t) + (16 sin^4 t)(8 sin t cos t)]

= \int_{0}^{2*pi} [ -4 sin^2 t - 4 cos^2 t + 128 sin^5 t cos t] dt

= \int_{0}^{2*pi} [-4 + 128 sin^5 t cos t] dt, ty sin^2 t + cos^2 t = 1

= -4*(2*pi) + 128 * \int_{0}^{2*pi} sin^5 t cos t dt.

Den sista integralen kanske ser jobbigt ut, men av symmetriskäl måste den vara noll (du kan också substituera u = sin t). Så svaret är bara -4*(2*pi) = -8*pi, v.s.v.

Oct 13, 14.50: Jag har skrivit en fil med lösningar till uppgifter 14.6.5 och 15.5.17. Den första är rätt klurig, den andra hade vi som en kryssuppgift men vi löste det på ett annat sätt på redovisningen.

Oct 11, 15.52: Tentan från augusti i år är nu utlagd på sidan (under gamla tentor).

Oct 7, 12.30: 1. Någon påpekade att det som står på hemsidan angående veckans kryssuppgifter inte stämde överens med de som anges i Vecko-PM5. Eftersom vi håller fortfarande på med Kapitel 15 (vi är just nu på 15.4 bara), så tycker jag att det är bäst om vi tar med 15.2.9 och lämnar 15.6.11 till nästa vecka. Så, för att bekräfta, de uppgifter som ska redovisas på torsdag är

15.2.9, 15.3.3, 15.4.7, 15.5.17

2. Den sista satsen från idag, det jag kallade för "Sats 2" och som säger att ett irrotational vektorfält* är konservativt i ett enkelt sammhängande område, är Sats 16.2.4 i boken. För Hollywood versionen av satsen, kolla in klassrum scenen i filmen "A Beautiful Mind":

http://www.youtube.com/watch?v=uP9JsrZ1XPs

Scenen är mellan 30-32 minuter in i videon. I Russell Crowes notation, Sats 16.2.4 säger att dim(V/W) = 0 om R^3 \ X är enkelt sammanhängande :)

(* här, med "irrotational" menar man per definition att 2:a derivatans test för konservatism klaras. Det är samma sak som att säga att curl(F) = 0, ngt som förklaras när vi kommer till Kapitel 16).

Oct 4, 12.30: Här är en fullständig lösning till uppgift 15.3.6 från boken, som vi inte hann bli färdigt med idag. Jag tycker faktiskt att det är lite för mycket räkning i denna uppgift för att det skulle kunna vara en vettig tentauppgift på G-nivå. Så jag ska göra ett enklare exempel på måndag. Kom ihåg att på Ö-nivå ska man också kunna själv hitta rätt parametrisering av en kurva när man vill beräkna en linjeintegral.

OBS!! Eftersom vi är bara mitt uppe i avsnitt 15.3, så är alla kryssuppgifterna uppskjutna till torsdag nästa vecka.

Sep 30, 15.45:

Mittenta:

Jag har nu lagt in resultaten på mittentan i Ping Pong, så varje person kan gå in och se sitt resultat. Ping Pong är lite dum, den tillät mig att bara fylla i ett heltal som poängsumma. I min rättning har jag använt tiondelar. Den siffra som står i Ping Pong är alltså din poängsumma avrundad till närmaste heltal, inte nödvändigtvis det exakta resultatet.

Tentorna har lämnats in till expeditionen för sprattning och förhoppningsvis är dem klara med det arbetet imorgon. I så fall kan vi ha granskning på onsdag. Jag vill helst inte ha granskningen efter föreläsningen, ty det skulle då bli stressigt att hinna med lunch innan Matlab. I stället föredrar jag att ha den efter Matlab, ty det ser ut att vara tomt på ert schema då. Vi ska ha den i sal MV:L15 på matematiska vetenskaper, med start 15.15.

Tre personer som skrev mittentan fanns inte i Ping Pong. Dessa personer kan höra av sig till mig om de vill få sina resultat:

Kevin Johanhage
Anders Bengtsson
Emma Viden

Dessutom fanns det en kod som saknade namn: #564. Om den personen vill avslöja sig kan han/hon också få sitt resultat via email, annars vänta till onsdag.

Kryssuppgifter:

Vi beslutade imorse att skjuta upp 14.5.7 och 14.6.13 till torsdag. För dem som kryssade i 14.2.13 och 14.4.21 har jag lagt in kryssen i Ping Pong.

Läget med kursen:

Vi har kvar 14.3 innan vi är klara med Kapitel 14. Jag hoppas att klara av detta på ca en timme på onsdag. Som det ser ut nu kommer vi troligen inte bli klara med kursen förrän på onsdagen i Lv7. I så fall har vi bara ett schemalagt repititionstillfälle, nämligen fredagen i Lv7. Jag kommer dock att erbjuda ett extra pass på tisdagen i tentaveckan (ni har tentan i den andra kursen på måndagen och i denna kurs på torsdagen). Mer information om detta kommer senare.

Sep 25, 17.30: OBS!! Det visade sig idag att Labb #4 tar mycket mer tid än de 3 första och väldigt få personer hann redovisa. Jag har därmed bestämt att ta bort Labb #6, dvs den labben är inte längre obligatorisk. Alla är automatiskt godkända på #6 i Ping Pong.

Notera att vi har 2 labbtillfällen kvar. Alla måste redovisa sina återstående labbar under dessa två pass !

Sep 21, 13.35: Här är dagens mittenta och lösningar.

Sep 16, 13.10:

MITTENTAN:

En bekräftelse på att följande avsnitt är exminerbara:

10.1, 10.5, 11.1, 11.3, 12.1 - 12.7, 12.9, 13.1

Vi är inte klara med 13.1 ännu, det kommer att ta ca första halvan av onsdagens föreläsning också.

När det gäller 12.9, det enda ni förväntas kunna göra är att utveckla ett Taylorpolynom i två variabler till grad 2. Alltså uppgifter 1-6 i boken, som handlar om att räkna ut hela Taylorserien, är inte examinerbara.

LABBAR:

Labb #3 på onsdag handlar om Newtons metod, som vi med allra största sannolikhet inte kommer att hinna fram till på nästa föreläsning. Däremot kommer delar av Labb #4 att ha täckts redan på onsdag. Labb #3 är egentligen en slags uppvärming för de svårare delarna i Labb #4. Förhoppningsvis ska ni kunna klara av #3 i princip på egen hand. Ni ska redan ha sett Newtons metod för funktioner av en variabel i envariabelkursen.

Sep 13, 12.41: Som några av er upptäckte redan i föreläsningssalen, så räknade jag fel i del (b) av sista uppgiften vi gjorde på tavlan. Riktingsderivatan var inte allas noll. Följdaktligen blev del fel också i del (d). Följande fil innehåller en korrekt lösning till hela uppgiften. Notera att delar (a) och (c) av lösningen är inte påverkade.

Eftersom vi har inte hunnit börja med Kapitel 13 ännu (och inte heller gjort 12.9) så har jag strukit den sista kryssuppgiften från VeckoPM-2 och flyttat den till nästa vecka. Alltså de 4 kryssuppgifterna som kommer att examineras på måndag är: 12.3.27, 12.5.17, 12.6.19, 12.7.7

Sep 11, 17.10: Tydligen fanns det några som, pga köbildning, inte hann redovisa färdiga labbar idag innan kl 15.00. Sedan finns det folk som inte har gjort de två första labbarna ännu. Enklaste sättet att ta igen redovisningar är att helt enkelt redovisa vid nästa tillfälle. Dock börjar det bli klart att vi behöver en labbassistent till - vi behöver ha ngn i varje sal när det drar ihop sig mot kl 15.00. Jag måste först be studierektorn på MV om att tillsätta en labbassistent till för vår kurs framöver. Ska göra detta imorgon och förhoppningsvis återkommer med snabbt och positivt besked !

Sep 11, 16.30: Jag har fått ett definitivt besked att mittentan den 21/9 går i V-huset, mellan 08.30 - 11.30. Tydligen kommer ni att bli utspridda på flera salar. Tentan görs också av studenterna på V-linjen, som har exakt samma upplägg (jag och deras lärare, Thomas Wernstål, samarbetar om upplägget).

Sep 11, 16.20: Jag fick en intressant fråga angående uppgift 12.9.1, se frågan och mitt svar nedan. Det som är intressant med den är att den lösningsmetod jag tror det är tänkt att man ska använda verkar inte förklaras särskilt bra i texten. Vi har förstås inte kommit till 12.9 ännu, så det är ok om ni inte har börjat räkna på uppgifterna där ännu.

------------------

FRÅGA:

Hej!
Vi undrar över uppgift 1 på section 12.9, där man får en funktion som beror på två variabler samt en punkt kring vilken en taylor serie efterfrågas. Har förstått hur man utvecklar ett taylor polynom men ej hur detta görs för en taylor serie. Helt enkelt så undrar vi hur man går tillväga för att hitta en taylor serie?

SVAR:

Yes, to compute the whole Taylor series using the formula involving derivatives of all orders (the one in the box on page 736) seems like an impossible task since there are infintely many terms. One way around this would be if one could spot a clear pattern in the values of the derivates at (0,0). I don't think that is so easy to do in this example. The alternative is to use a "trick", i.e.: to expand the given function as an infinite series of one variable directly, using a known one-variable Taylor series expansion.

In this exercise, set u = x*y^2. Thus one can consider f as a function of u only, namely f = f(u) = (2+u)^{-1} = 1/2 * (1+v)^{-1}, where v = u/2. Now use the standard one-variable Taylor series (which you can also get from the binomial theorem):

(1+x)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n.

Substituting v = x*y^2/2 for x, you get

f(x,y) = (1/2) * \sum_{n=0}^{\infty} (x y^2 /2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n y^{2n} / 2^{n+1}, v.s.v.

I don't think this "reduction to one variable" trick is explained very well in the text, but we will do examples in class.

Sep 11, 13.10: Bara så ni vet var vi ligger just nu: det material vi gick igenom idag finns i avsnitt 12.4, 12.5 och 12.6. Vi har en del kvar där, särskilt "Jacobimatrisen" i avsnitt 12.6, som ger att snyggt sätt att skriva formler såsom linearisering, kedjeregeln m.m., särskilt för vektorvärda funktioner, dvs funktioner f: R^n -> R^m, då m > 1 (denna dyker också upp i Matlab #2). Målet för fredag är att bli klar med dessa avsnitt och 12.7, och åtminstone komma igång med 12.9.

Det som är examinerbart på mittentan kommer att fastställas efter måndagens föreläsning. Preliminärt:

10.1, 10.5, 11.1, 11.3, 12.1 - 12.7, 12.9, 13.1

Mittentan ligger på G-nivå så lärmålen för dessa asvnitt som ligger på Ö-nivå är ej examinerbara.


Sep 8, 14.50: Jag har rättat ett litet fel i filen som lades ut i fredags (se nedan) med supplementära anteckningar. Det fattades en faktor 1/4 i det som var ekvation (1) och som i den nya versionen är ekvation (2).

Sep 6, 15.00: 1. Eftersom vi har precis börjat med avsnitt 12.2 och 12.3 i boken, så sparar vi kryssuppgift 12.3.27 till nästa vecka. Alltså kommer bara tre uppgifter att kryssas nu på måndag, nämligen 10.1.33, 11.1.15 och 11.3.17.

2. Här är lite supplementära anteckningar om den jobbiga integralen som jag hoppade över på dagens föreläsning.

Sep 4, 17.35: En annons om SI-matten:

I kursen erbjuds SI, ett komplement till undervisningen där du tillsammans med andra får lösa uppgifter och diskutera svårigheter i kursen. 

Ett pass varje vecka mellan lv2 och lv7. Tid och plats varierar tyvärr,  så kolla schemat för varje gång.

SI ledare är Erik Sandgren eriksan@student.chalmers.se

Sep 2, 18.10: Jag har blivit informerat av programledningen att det för sent att göra en ändring så att Matlab inslaget skulle bokföras som ett separat moment i Ladok. Detta skulle kräva att man inför nya kurskoder och behöver tas upp flera månader i förväg. Ändringen kommer därför troligen att träda i kraft nästa läsår men inte nu.

För ni som läser om kursen och har klarat Matlab delen tidigare har jag bestämt mig att ni behöver INTE göra de nya labbarna. Om du är en sådan person borde du dock kontakta mig - ge mig ditt namn så ska jag skolla i rättningsprotokollen från tidigare år och bekräfta att du är bokförd som godkänt på Matlab delen.

Sep 2, 06.55: Här är en fil med en lista över förkunskaper, som man borde ha med sig i bagaget under denna kurs. Betrakta denna fil som en hjälpmedel, men stressa inte upp dig för mycket med tanken "jag måste först kunna allt som står här innan jag kan gå vidare".

Sep 1, 20.20: Hemsidan är nu igång. Man kan förvänta sig en del små justeringar under kursens inledning. Jag kommer att maila via PingPong om alla uppdateringar.
 

Kursansvarig:  Peter Hegarty, Rum MV:L3032, Tel.: 031-7725371, 0766-377873, Email: hegarty@chalmers.se
Övningsledare: Dmitry Zhelezov, Rum MV:L3087, Tel.: 031-7723582, Email: zhelezov@chalmers.se
Labhandledare: Hegarty & Zhelezov, som ovan. Fr.o.m. V3 har vi också Tom Bailey, temseti@acc.umu.se.

Robert A. Adams:  Calculus, A complete course, 7th edition,  Pearson Addison Wesley, 2006 (Säljs på Cremona.) ISBN 0-321-27000-2
(Även tidigare upplagor kan fungera men med visst besvär för studenten.) Eftersom en del av lärmålen inte täcks fullständigt av bokens uppgifter, finns här ett antal kompletterande uppgifter.

Kursen omfattar Adams:  Kapitel 10.1, 10.5, 11.1, 11.3, 12, 13.1-13.3, 13.6, 14.1-14.6, 15, 16.1, 16.3-16.5.

Innehåll:  

I kursen behandlas många av de grundläggande begreppen inom matematisk flervariabelanalys, bland annat gränsvärde, partiell derivata, gradient och riktningsderivata för funktioner från Rⁿ till R samt  funktionalmatris och funktionaldeterminant för funktioner från Rⁿ till R^m. Viktiga egenskaper hos funktioner, som kontinuitet och differentierbarhet, utnyttjas för undersökning av ytor och kurvor, bestämning av extremvärden och optimering på kompakta områden och optimering med bivillkor samt för approximation av funktioner med Taylorutveckling. En liten introduktion till området partiella differentialekvationer ges, genom att d'Alemberts lösning till Laplace ekvation behandlas.

Vidare behandlas dubbel- och trippelintegraler samt generaliserade dubbelintegraler. Beräkning av integraler med hjälp av variabelsubstitution, både linjär substitution och polära eller  sfäriska koordinater. Tillämpning av integraler för volymberäkningar, bestämning av masscentrum och beräkning av arean av buktig yta.

Begreppen  kurvintegral för funktioner från Rⁿ till R, kurvtangentintegral för funktioner från Rⁿ till Rⁿ,  ytintegral för funktioner från R³ till R samt  och normalytintegral för funktioner från R³ till R³ definieras och studeras, i synnerhet hur dessa integraler hänger samman med divergens och rotation för vektorfält (funktioner från R³ till R³). I detta sammanhang är Greens formel samt Gauss' och Stokes satser väsentliga.  Kopplingen mellan integraler och divergens och rotation leder i sin tur till  grundläggande ekvationer inom bland annat strömningsmekanik och elektromagnetism.


Föreläsningar



Kryssuppgifter

Inför övningarna på måndagar veckorna 2-7 utses fyra s.k. kryssuppgifter . Dessa finner man strax nedanför. När man kommer till måndagsövningen kommer man att på en lista kunna kryssa för de av veckans kryssuppgifter, som man är beredd att redovisa och förklara lösningen av, på tavlan. Bland de studenter som har kryssat, kommer sedan studenter att slumpvis väljas ut får redovisning. Den som vid kursens slut har minst 15 kryss kommer att få fyra bonuspoäng på tentan. Dessa bonuspoäng kan dock endast användas till överbetyg. Av veckans fyra uppgifter kommer alltid tre att vara på godkänd-nivå och en uppgift något mer utmanande.

I kursen ingår obligatoriska övningar i programvaran Matlab. De examineras genom redovisning på den schemalagda tiden för datorlaborationer. För att få betyg på kursen måste man vara godkänd på samtliga redovisningar som ingår. Godkännande på dessa är giltigt under innevarande läsår.

OBS !! Materialet har gjorts om från tidigare år. Det nya materialet ingår i ett integrerat material för alla matte kurser, som införs på E-programmet för första gången denna höst. Ungefär samma material infördes på Z förra året och har bemötts väl av studenterna där. Det nya materialet har utvecklats av Jacques Huitfeldt

"Gamla" studenter behöver INTE göra de nya uppgifterna för att bli godkända på kursen, så länge jag kan bekräfta att du är klar från tidigare. Ge mig ditt namn så kollar jag i de gamla protokollen jag fått från Johan Jonasson (den tidigare läraren). 

All information om övningsuppgifter och material finns på en separat sida Matlab för E.

Referenslitteratur:

1. Material (utvecklat av MV) som ger en kortfattad introduktion till Matlab
2. Holly More, MATLAB for Engineers
   Ger en introduktion till Matlab och kräver inledningsvis ingen matrisalgebra. Är utmärkt för självstudier.
   
3. Per Jönsson, MATLAB-beräkningar inom teknik och naturvetenskap
   Kräver kunskaper i Matrisalgebra. Innehåller lite mer avancerade övningar och modelleringsuppgifter. Är utmärkt som referenslitteratur/uppslagsbok.
   

Kursens övergripande mål finns angivna i kursplanen.

Mer detaljerade kunskapsmål inom olika områden framgår av de kursmål/lärmål som tagits fram av institutionen får matematik i samarbete med programmet och som beskriver det som man förväntas ha med sig kunskapsmässigt efter kursen. Lärmålen är uppdelade i godkäntmål , som examineras i tentans första del, och överbetygsmål,som examineras i tentans andra del. Sammanställningen kan användas som checklista under kursens gång och inför tentan (läs mer om examinationen nedan) så att du själv kan kontrollera att du behärskar det som preciseras i lärmålen. För godkäntmålen finns dessutom detaljerade vägledningar, inklusive rekommenderade övningar för varje lärmål, ett dokument för del 1 och ett för del 2.

Inga duggor i år. I stället fungerar kryssuppgifterna som ett löpande inslag i kursen. Dessutom har vi en mittentamen, se nästa avsnitt om Examinationen.

För godkänt på kursen krävs dels att det obligatoriska Matlabmomentet är godkänt, dels att du är godkänd på den skriftliga tentan.

Om Matlabmomentet inte är godkänt då tentamensresultatet skall rapporteras till Ladok anses kursen underkänd. Du får lov att tentera, men oavsett resultat kommer tentan att betraktas som underkänd tills Matlabövningarna är godkända. Under förutsättning att de blir godkända innan kursen ges nästa läsår får du ditt resultat rapporterat med betyg enligt nedan. är de inte godkända innan kursen ges nästa läsår måste du tentera på nytt.

Kunskapskontrollen sker genom två skritliga prov, en mittentamen (lördagen den 21/9) och en sluttentamen. Mittentamen är frivillig och täcker det som krävs för att bli godkänd på kursens tre första veckor. Ett bra resultat på denna gör att man ej behöver göra motsvarande del på sluttentamen och kan fokusera på kursens andra del. Sluttentamen är delad i tre delar. De två första delarna kan ge godkänt på kursen (betyg 3) och del 3 kan, om tentanden erhållit godkänt på del 1 och 2, ge betyg 4 eller 5.
De två första delarna, som testar om du behärskar godkäntmålen, består av ett relativt stort antal uppgifter/deluppgifter/teorifrågor. Tillsammans kan dessa ge maximalt 32 poäng. Den typ av uppgifter som förekommer är dels sådana som kontrollerar att du kan utföra de mest grundläggande kalkylerna på ett korrekt sätt, dels uppgifter av teoretisk natur: du skall kunna redogöra för vissa definitioner och satser i enlighet med målbeskrivningen. Bevis av satser kommer endast på tentamens tredje del. Del 1 omfattar godkäntdelen av kursens tre första veckor och omfattar 14 poäng. Del 2 täcker resten av kursens godkäntdel och omfattar 18 poäng. Del 3 är överbetygsdelen och omfattar förstås hela kursens innehåll.
För att bli godkänd på del 1 krävs 10 poäng och för att bli godkänd pö del 2 krävs 13 poäng. För att bli godkänd på kursen krävs att man antingen' är godkänd på del 1 och 2 var för sig, eller att man får minst 25 poäng totalt. Erhållet resultat på någon av delarna från tidigare examen (inklusive mittentamen) ersätter ett eventuellt sämre resultat på senare tentamen. Detta gäller under alla innevarande läsårs tentamenstillfällen, men ej efter det att kursen startat igen ht 2011.
Den tredje delen består av tre uppgifter. Dessa är dels av problemkaraktär, eventuellt med teoretiska inslag (gränsen mellan teori och problem är diffus), dels rena teorifrågor: du skall kunna avgöra om givna påståenden är sanna eller falska och ge argument för din slutsats, du skall kunna bevisa vissa satser mm. Uppgifter på denna del bedöms med poängskalan 0/4/6. Normalt krävs för poäng på uppgift att man redovisat en fullständig lösningsgång, som i princip lett, eller åtminstone skulle kunnat leda, till målet.
även om tentamens första del inte är godkänd så sker rättning och kommentering av uppgifterna. I allmänhet kan inte poäng från andra delen räknas in för att nå godkäntgränsen. Undantag görs om om man ligger enstaka poäng från godkänt och presterat riktigt bra på någon av överbetygsuppgifterna och examinators helhetsbedömning av tentamen visar att studenten behärskar kursmålen nöjaktigt.
Resultat från denna del kan ej ersättas av bättre resultat från tidigare tentamenstillfällen. För betyg 4 krävs godkänt på del 1 och 2 och minst 33 poäng totalt.
För betyg 5 krävs godkänt på del 1 och 2 och minst 42 poäng totalt.

Datum för sluttentamen anges i kurs-PM i  studieportalen.
Vid tentamina är formelsamlingen: Formelblad för TMA043/MVE085 09/10 samt följande ordlista tillåtet hjälpmedel, inga andra hjälpmedel tillåtna (ej heller miniräknare).
Eget papper får inte medföras. Om du upptäcker att du av misstag har otillåtet hjälpmedel med på tentan skall du omedelbart, utan något som helst dröjsmål, kalla på salsvakten och anmäla detta.

I Chalmers Studentportal kan du läsa om när tentor ges och om vilka regler som gäller kring att tentera på Chalmers.

Vid tentamen ska du kunna uppvisa giltig legitimation och kvitto på erlagd kåravgift.

Meddelande om resultat får du med epost, som skickas automatiskt när resultaten är registrerade. Alternativt kan du gå till Ladok via inloggning i Studentportalen.
Lösningsförslag läggs normalt ut på denna webbsida första arbetsdagen efter tentamensdagen. Om inget exeptionellt inträffar, får du epostmeddelande till ditt student.chalmers.se-konto med ditt tentamensresultat cirka tre veckor efter tentamensdagen. Du kan därefter granska din tenta och hämta ut den på MV:s expedition, öppen arbetsdagar 9-13. Frågor eller synpunkter på rättning/bedömning framförs skriftligt på blankett som finns på expeditionen. Skriftligt svar lämnas till expeditionen inom ett par arbetsdagar. Då du fått detta svar kan du vid behov avtala tid för samtal med examinator.
Vid rättning och bedömning av tentamen är tentanden anonym. Eventuella bonuspoäng påförs innan tentan är av-anonymiserad. Därigenom kan även totalbedömningen ske anonymt. Inga omprövningar av bedömningar görs efter av-anonymiseringen. Endast felaktigheter eller missuppfattningar korrigeras i samband med granskningen. Klagomål av typen: "Jag tycker att detta är värt mer" kan alltså inte leda till ändring av bedömningen.

Granskning vid ordinarie tentamen:
Då det är praktiskt möjligt ordnas ett separat granskningstillfälle av tentamen. Tidpunkt för detta meddelas på kurshemsidan. Den som inte kan delta vid granskningen kan efter granskningstillfället hämta och granska sin tenta på Matematiska vetenskapers studieexpedition, måndag till fredag, kl 9.00-13.00. Kontrollera att Du har fått rätt betyg och att poängsumman stämmer. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

Vid omtentamen:
Tentorna granskas och hämtas ut på Matematiska vetenskapers studieexpedition, måndag till fredag, kl 9.00-13.00. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

I början av kursen bör minst två studentrepresentanter ha utsetts för att tillsammans med lärarna genomföra kursutvärderingen. Utvärderingen sker genom samtal mellan lärare och studentrepresentanter under kursens gång samt vid ett möte efter kursens slut då enkätresultatet diskuteras och rapport skrivs.
Se följande mall för Utvärdering av kurser i studentportalen.