Stokastiska Processer för F2, läsperiod IV, VT2005



TMS125, Stokastiska processer F, 3 poäng

Lärare och kursansvarig:

Oskar Sandberg
Rum: 2438
Tel: 772 53 66
e-post:

Examinator:

Rossitza Dodunekova
e-post: rossitza@math.chalmers.se

KURSUTÄRDERING

OM OM-OMTENTAMEN

Omtentamen 2006-01-13 är nu också förbi. Tentamen och facit finns nu tillgängliga.

Återlämning: Ni kan komma förbi mitt kontor 3063 i det nya MV huset. Jag uppdaterar här när jag rättat färdigt.


OM OMTENTAMEN

Omtentamen 2005-08-17 är nu också förbi. Tentamen och facit finns nu tillgängliga.

Återlämning: Jag har bokat rum MD7 i Matematisk Centrum för återlämning, på Onsdag 24 Maj, 11:00-11:30. Men eftersom det var mycket få som gick upp, är ni välkomna att leta upp mig på mitt kontor när jag är här.


OM TENTAMEN:

Tentamen 2005-05-23 är förbi. Här finns tentamen, och här här finns ett facit.

Återlämning: Tisdag 31 Maj, klockan 13:15-14:00 i MD6 (Matematiskt Centrum). Randomisera gärna ankomsttiderna innom det intervallet. Därefter anslås resultat i "suckarnas gång" (en våning ner i huset) och tentorna kan hämtas under lunchtid i tentarummet brevid expeditionerna.

Kursmotivation:

Lång, torr och tråkig:

Stokastiska processer behövs för att analysera problem och förstå facklitteratur inom många tekniska, fysikaliska och ekonomiska områden. Det är en lämplig förkunskap när man läser högre kurser inom exempelvis reglerteori, tele, geovetenskaper mm där man analyserar förlopp eller serier av data som följer efter varandra i tiden eller ser på fält i rummet. Den moderna teorin för ekonomisk utveckling och spelet på börsen bygger också på stokastiska processer (slumpvandring och Wienerprocesser) så denna kurs ger också en grund för den som vill läsa specialkurser inom matematisk finans och optionsteori. Det som skiljer processerna från grundkursens modeller är att man får beroende mellan variablerna eftersom fält och tidsförlopp brukar hänga ihop kontinuerligt och dessutom blir det oändliga mängder av variabler. Ändå är matematiken hanterlig och kul och rätt olik grundkursen. Med hjälp av beroendet mellan processvärdena kan man göra förutsägelser från observerade delar av ett förlopp en bit in i framtiden. Förutsägelserna blir säkrare ju starkare beroende man har. Till större delen behandlas förlopp i tiden och vissa av dessa är stationära och kan antingen analyseras som de är (i tiden) eller frekvensanalyseras och behandlas spektralt. Vi ger exempel på båda sätten att arbeta.

Den riktiga motiveringen:

Livet är en stokastisk process!

Kursmaterial:

Som kurslitteratur kommer vi att använda
  • Stokastiska Processer av Patrik Albin, Studentlitteratur 2003.
    Säljes på Cremona.

Schema:

Undervisningstillfällena VT 2004: OBS SALSBYTE
  • Måndagar 15-17, sal FL51(ej sista veckan)
  • Tisdagar 10-12, sal FL52 (ej första veckan)
  • Onsdagar 10-12, sal FL71(ej första veckan)
Första föreläsningen är måndag, 4 April 2005, klockan 15:15.

Lite Information Inför Tentan UPPDATERAD

Tentamen är den 23/5. Beta får användas men inga andra hjälpmedel är tillåtna. Det blir sex frågor med huvudinriktning på problemlösning.

De tentor som finns på förra årets sida är bra övningsmaterial, men notera att det varit en del ändringar i kursens innehåll - långt ifrån alla frågorna på de tentorna gäller sånt vi har diskuterat i år.

Föreläsningsanteckningarna nedan är huvudmaterialet. Allt som finns med på dem kan komma upp på tentan - boken bör mest ses som exposition och brevidläsning (förutom där bevis och liknande hänvisas till boken).

Den teori jag förväntar mig att ni kan är ungefär:

  • Grundläggande sannolikhetsteori. Ni bör kunna den grundläggande grundkursteorin, t ex betingade sannolikheter (och väntevärden), lagen om total sannolikhet, etc. Vad en karakteristisk funktion är, och vad den har för egenskaper.

    De fördelningar ni bör kunna (dvs frekvensfunktion, väntevärde, varians) är:
    - Diskreta: Binomial, Poisson, Geometrisk.
    - Kontinuerliga: Likformig, Normal, Exponential.

  • Stokastiska Processer. Ni måste veta vad en stokastisk process är, och förstå hur de beskrivs, t ex med de ändligt-dimensionella fördelningarna. Veta vad det betyder att en process har oberoende ökningar, stationära ökningar, och att den är stationär och självsimilär. Vad en Levy Process är.

  • Momentfunktionerna och deras beteckningnar. Ni bör veta (eller kunna räkna ut) momentfunktionerna för en Levy process. Vad det betyder att en process är svagt stationär.

  • Vad en Gaussisk process är och vad det innebär. Varför vi använder väntevärdes och kovariansfunktionen för Gaussiska processer

  • Hur vi talar om konvergens för stokastiska processer, speciellt vad konvergens och kontinuitet i kvadratiskt medel betyder. Beteckningarna för detta. Cauchy och Loéves konvergenskriterier.

  • Defenitionen av ett filter, och något exempel därav.

  • Tidsdiskreta Markov kedjor och Markov egenskapen. Vad det betyder att de är tidshomogena, reducibla/irreducibla, periodiska/aperiodiska, etc. Övergångsmatriser och startfördelningar. Vad en stationär fördelning är och varför den är intressant.

  • Tidskontinuerliga Markov kedjor med deras grundläggande egenskaper.

  • De specifika Stokastiska Processer ni bör kunna. Tidsdiskreta: Diskret vitt brus, slumpvandring. Tidskontinuerliga: Poisson processen, Wiener Processen. Tar jag upp några andra på tentan kommer jag att defeniera dem i frågan.

Observera att ovan ska ses som en guide, och inte som något helt uttömmande. Målet bör vara att kunna allt som finns med på föreläsningsanteckningarna. (Betänk också att det kommer att det är fullt möjligt att kunna allt det där, och ändå få 0 poäng på tentan! Det viktiga är att ni kan räkna.) Huvudvikten i den här kursen ligger på teorin om stokastiska processer, så den typ av tal ni bör kunna är att visa enklare satser, se konskvenser av teorin, och kunna använda de olika egenskaper vi har defenierat för stokastiska processer (och även se när de gäller). Bäst övning är att räkna sådanna tal, och att se till att ni förstår bevisen för kursen viktiga satser.

Föreläsningsanteckningar:

Anteckningarna bygger på orginal av Mats Kvarnström för förra årets kurs. De håller hög kvalitet, så jag kommer endast att göra vissa ändringar.

Anteckningar till den kommande veckans föreläsningar bör finnas här på söndagen.





Oskar Sandberg, 2005