Välkommen till kursen
Schemat för kursen hittar du via länken till webTimeEdit på sidans topp.

Aug 23, 19.33: Här är gårdagens tenta med lösningar.

Jun 11, 15.00: Här är onsdagens tenta med lösningar och Figur 1.


Mar 11, 19.22: Här är dagens tenta med lösningar och Figur 1.


Mar 5, 14.10: Här är en preliminär plan för vad vi ska göra kommande veckan:

1. Måndag 10-12 (förel): Avsnitt 5.1.
2. Tisdag 8-10 (förel): Gamla tentor
3. Tisdag 15-17 (övn): Sista demos från kapitel 4 och 5.
4. Onsdag 8-10 & 15-17 (övn): "Frågestund". Det blir inga demos på dessa övningar och jag kanske kommer förbi också för att besvara frågor.
5. Onsdag 13-15 (förel): Gamla tentor forts.
6. Torsdag 10-12 (förel) & 15-17 (övn): Vi får se. Kanske har ni tröttnat vid detta skede av att se mig räkna gamla tentor och vill hellre ha mer tid för eget arbete inför tentan - ert schema är minst sagt fullproppat fram till torsdag, så det finns rätt lite anderum inför vår tenta på lördag. Alltså avvaktar vi med planeringen för torsdag.

Gamla tentor: På hemsidan finns alla tentorna tillbaka till mars 2011, med fullständiga lösningar. Alltså tänkte jag plocka uppgifter från ännu äldre tentor. Notera att om man går tillbaka till tentor innan mars 2011 så uppstår vissa små skillnader i kursens innehåll. Främst 2 saker har jag lagt märke till:

(i) det finns uppgifter där man ska räkna en vektorpotential till ett källfritt fält. Vid den tiden bevisade man (i ett specialfall) existensen av vektorpotential till källfria fält. Jag bara nämnde detta i förbipasserande och gav ett exempel (vektorpotentialen -1/2 ln(x^2 + y^2) till magnetfältet B = (-y/(x^2 + y^2), x/(x^2 + y^2), 0). Dock är detta EJ examinerbart för oss.

(ii) läraren vid den tiden var väldigt förtjust i hyperboliska funktioner (cosh, sinh, tanh osv) och dessa uppstår flitigt i tentauppgifterna. Jag kommer inte att ha med dessa funktioner på mina tentor.

När vi räknar gamla uppgifter ska jag ta speciell hänsyn till de förslag som kommer in för ämnen att ta upp. Hittills har jag fått tre sådana förslag:

(a) Stokes sats, och särskilt hur man redar ut oreinteringarna
(b) implicita funktionssatsen och tillämpningar
(c) masscentrums beräkning.

Slutligen, notera att jag har lagt upp på hemsidan, under "Gamla tentor", en fil med alla upptäckta fel eller oklarheter i lösningarna. Denna fil uppdateras så snart ett nytt fel upptäcks (av mig eller av er).


Mar 3, 15.12: Angående tentauppgift 2016-08-23-#6. Det står fel i förenklingen av svaren till både (a) och (b)-uppgifterna i lösningarna. Båda integralerna är rätt uppställda och uträknade, men det finns tryckfel vid de sista omskrivningarna. De rätta svaren är

(a): (7/12) * pi * (2 - sqrt{2})

(b): (31/5) * pi * (4 - 5/sqrt{2})


Mar 2, 18.20: 1. Vi är nu klara med Kapitel 4 och har kvar endast 5.1. Det klarar vi kanske av helt på måndag, möjligen krävs lite tid på tisdag också. Därefter blir det repitition. Jag mailar under helgen angående upplägget för repititionen. Ni kan också maila förslag för ämnen att ta upp eller tillvägagångssätt. Hittills har jag fått 2 förslag:

(i) ta upp hur man hanterar orienteringarna av de olika ingredienserna i Stokes sats
(ii) göra gamla tentauppgifter men lämna ut de detaljerade beräkningarna

2. Jag har nu kopierat Duggor 1-3 i Maple-TA och de är öppna från kl 19.00 ikväll fram till kl 23.59 den 10:e. Det finns också en Dugga 4, som innehåller alla uppgifterna jag hittade i databasen om optimering.  Man kan alltså använda dessa duggor som ytterligare träningsmaterial inför tentan. Dock rekommenderar jag att ni ger dem lägre prioritering än gamla tentor och uppgifter i övningsboken. När det gäller gamla tentor kan ni också om ni vill kolla tentorna från flervariabelkurserna jag höll på E 2013 och 2014:

TMA043-HT2013

TMA044-HT2014

Länkar till tentorna finns längst upp på respektive sidor under "Aktuella Meddelanden".

3. Kom ihåg att de skriftliga tavelrapporterna måste lämnas in för att ni ska bli godkända på detta moment, som i sin tur krävs för att bli godkänd och få hp för hela kursen. De grupper som fortfarande måste lämna in är

5A, 5C, 5E, 6A, 6B, 6C, 6D, 6E, 7A.

Det finns ingen skarp deadline men om man ska vara snäll mot sina klasskompisar så borde man lämna in senast nu på måndag (förutom grupp 7A), för tanken är att alla rapporterna läggs upp på hemsidan och kan användas av alla som pluggmaterial.


Feb 28, 13.13: Jag fick en fråga om tentauppgift 2015-08-25-#6 ty den givna lösningen är kortfattad. Om man räknar ut allting med hjälp av kedjeregeln och faktumet att u_{st} = u_{ts} så ska man få följande:

u_x = y * u_s + (2xy^3) * u_t

u_y = x * u_s + (3x^2 y^2) * u_t

u_{xx} = y^2 * u_{ss} + (4x y^4) * u_{st} + (4x^2 y^6) * u_{tt} + (2y^3) * u_t

u_{xy} = u_{yx} = (xy) * u_{ss} + (5 x^2 y^3) * u_{st} + (6x^3 y^5) * u_{tt} + u_s + (6x y^2) * u_t

u_{yy} = (x^2) * u_{ss} + (6 x^3 y^2) * u_{st} + (9 x^4 y^4) * u_{tt} + (6x^2 y^2) * u_t

Om man stoppar alla dessa in i den givna PDE:n så ska man få att koefficienterna till u_s, u_t, u_{ss} samt u_{tt} är identiskt noll allihopa och det enda som blir kvar är

-x^3 y^4 * u_{st} = 0.

Eftersom definitionsmängden är begränsad till x > 0, y > 0 så kan vi härleda att u_{st} = 0, precis som det står i lösningen. Sedan fortsätt som det föreslås.


Feb 28, 13.12: Det finns ett misstryck i lösningen till tentauppgift 2015-08-25-#3 på hemsidan. Efter att ha integrerat bort z står det

(ln 2)/3 * \iint_{E} \sqrt{y^2 + xy - 2x^2} dx dy .... (1)

Det borde stå

(ln 2)/3 * \iint_{E} [1/\sqrt{y^2 + xy - 2x^2}] dx dy ... (2)

Sedan blir det rätt ändå längre ner - efter byte till (u,v) förvandlas (2) till (ln 2)/3 * \iint_{[0,1] x [0,1]} 1/\sqrt{uv} du dv,
precis som det står i lösningen.


Feb 28, 13.11: Vi är nu klara med Kapitel 10 och mer eller mindre med 4.1 (jag vill göra ett exempel till). Kvar är alltså 4.2, 4.3 och 5.1. Som det ser ut nu så kommer vi att vara färdiga med kursen på måndag och därmed ha 3 föreläsningar som kan ägnas åt repitition. Imorgon kommer följande uppgifter att demonstreras på tavlan: 10.35, 10.54, 4.6. Kom ihåg att Dugga 3 stänger kl 23.59 imorgon kväll.


Feb 26, 17.07: Det blev lite förvirring med sista exemplet som jag räknade på tavlan i fredags (jag var kvar en bra stund efteråt med folk och diskuterade det) angående orientering/tecknen/vänster-höger sida osv. Jag har nu kollat mina beräkningar igen och bekräftat att jag själv gjorde ett teckenfel. Kurvan var redan positivt orienterad som randytan så jag borde inte ha lagt till ett minus tecken i början. Det är också så, som någon föreslog i fredags, att uträkningen blir något lättare om man väljer planstycket snarare än paraboloidstycket som ytan. Jag ska först räkna klar exemplet imorgon (med både paraboloiden och planet som ytan) så att det blir ingen förvirring. Beviset av Stokes sats för funktionsytor kommer sedan att tydliggöra varför tecknen/orienteringarna är som de är i satsens formulering.

Målet är att bli klar med Kapitel 10 imorgon. Jag har lagt upp på hemsidan en ny scan av satsen som sammanfattar materialet i 10.4 (med bättre upplösning denna gång). Kom ihåg att materialet i 10.6 är EJ examinerbart.


Feb 21, 14.30: 1. Vi är nu klara med Kapitel 9 och ska sätta igång med Kapitel 10 på torsdag. Notera dock att vi har redan mer eller mindre klarat av 10.5 också. Detta speglas i de demouppgifter som jag har valt ut för imorgon. Dessa blir

9.10, 9.24, 10.62.

På hemsidan har jag flyttat runt lite igen bland de rekommenderade uppgifterna för att bättre spegla var vi ligger just nu. Just nu under Lv 6 återfinns alla uppgifter som behandlar material i avsnitt 10.1, 10.2 och 10.5. Uppgifterna som behandlar stoff i 10.3 och 10.4 ligger under Lv 7. Jag räknar därmed med att bli klara med åtminstone 10.1 och 10.2 denna vecka, men det är möjligt att det blir en del kvar ur 10.3 och 10.4.

2. Jag har också lagt upp under "Program" en fil (handskriven och på engelska) med extra FRIVILLIGA anteckningar för dagens föreläsning. Jag ger ett mer eller mindre komplett bevis av något jag hastigt viftade om idag, nämligen att om D = R^2 - en punkt, så är dim(V/W) = 1, där V är vektorrummet av alla virvelfria fält i D och W är underrummet av alla konservativa fält i D.

Jag tyckte att några av er skulle kanske vara intresserade av detta men, som sagt, det är frivilligt material. Notera anmärkningen i slutet på filen om hur man skulle ta sig an att bevisa det mer allmänna påståendet att dim(V/W) = "antalet hål i området D". Detta påstående (så länge det kan formuleras rigoröst) gäller även i högre dimensioner och är kanske lättast att komma ihåg som "Russell Crowes sats". För att se varför, kolla

https://www.youtube.com/watch?v=ZGGZaQQEniw

3. Ett par rättelser till dagens föreläsning:

(i) jag tror jag sa vid något tillfälle att R^3 - ett klot är ett icke-enkelt sammanhängande område. Detta är B.S., för om man har en enkel, sluten kurva som går runt klotet så kan man ändå kontrahera den till en punkt genom att först "dra upp" den ovanför klotet och sedan squisha den. Det enklaste sättet att få ett icke-enkelt sammanhängande område i R^3 är att ta bort en linje. En kurva som går runt linjen kan således inte kontraheras kontinuerligt till en punkt utan att snudda linjen.

(ii) vid beräkningen av ett exempel så sa jag felaktigt att integralerna från 0 till pi av -(sin t)(cos^2 t) och (cos t)(sin^2 t) skulle ta ut varandra. Detta stämmer inte (intuitivt ty sin t >= 0 alltid i det övre halvplanet medan cos t är både positiv och negativ där). I stället gäller att

\int_{0}^{pi} (cos t)(sin^2 t) dt = 0
\int_{0}^{pi} (sin t)(cos^2 t) dt = 2/3.

Sedan kan man visa att

\int_{0}^{pi} sin^4 t dt = \int_{0}^{pi} cos^4 t dt = 3*pi/8.


Feb 20, 15.35: 1. Ur Kapitel 9 har vi kvar det mesta i avsnitt 9.2 och 9.3, samt Sats 9.4.5. Allt detta ska vi kunna klara av imorgon och sedan komma igång med Kapitel 10. Det finns en naturlig övergång faktiskt, som ges av tillämpningen av Greens Sats på 2-dim flöden (9.3). Eftersom jag har presenterat materialet om "potentialfält/konservativa fält" i godtycklig dimension har vi dock också redan gjort det mesta i avsnitt 10.5 (samt en del av 10.4), förutom Sats 10.5.4, som härleds från Stokes sats på samma sätt som Sats 9.4.5 kommer att härledas imorgon från Greens sats.

Som det ser ut nu så gissar jag att vi är klara med 10.1 - 10.5 i slutet av denna vecka men kanske inte med 10.6. Jag skulle kunna hoppa över det avsnittet egentligen för det handlar om fysikaliska tillämpningar. Men tillämpningen på Maxwells ekvationer för elektromagnetism och härledning av existensen av elektromagnetiska vågor är bara så vackert (och viktigt ty det gav upphov till relativitetsteorin) att jag kommer nog inte kunna låta bli att säga något om det. Kapitel 4 och 5.1 kommer att ta mindre tid sedan.

2. Dugga #3 är nu öppen. Vi får hålla tummarna för buggfrihet ...


Feb 19, 15.32: 1. För ni som är i tavelgrupper 6.X:

Som någon påpekade så ligger den sista av veckans fyra föreläsningar på fredag e.m., alltså efter ni ska träffa mig på fredag f.m. Frågan var då om även den föreläsningen ska ingå i era presentationer. Jag tycker så här: Varje grupp kan välja själva om de vill försöka även presentera material från den föreläsningen. Dock *förväntas* inte att ni gör det på fredag f.m. Det vore bra om den grupp som sedan väljs ut inkluderar även fredagens material i presentationen på måndag. Dock kommer jag inte heller att *cerberusskalla* om ni inte gör det. Men, jag förväntar mig att ni SKA inkludera detta material i era skriftliga rapporter.

Efter onsdagens föreläsning ska jag skicka ut ett mail där det framgår vad jag räknar med att täcka på fredagen.

2. Jag har lagt två nya dokument uppe på hemsidan under rubriken "Examination". Det ena är en engelsk/svensk matematisk lexikon, som kan ju vara användbart, dock inte speciellt viktigt i just denna kurs ty boken är på svenska. Det andra dokumentet är ett "formelblad" som jag hade för en tidigare flervariebel kurs på E. Jag tycker ni kan lika väl ha detta blad gratis på tentan - det kommer alltså att bifogas med tentatesen.

3. Dugga 3 är nu förberedd. Den öppnar kl 13.00 imorgon och stänger kl 23.59 på onsdagen den 1/3. Den innehåller 9 uppgifter, som behandlar kurvintegraler, Greens sats, potentialer och ytintegraler (av skalärfält). För godkänd krävs minst 7 rätt. Tyvärr fanns det inga uppgifter i databasen som behandlar flödesintegraler, Gauss sats eller Stokes sats. För dessa avsnitt måste ni räkna från läroboken. Notera dock också filen på hemsidan, under "Program", med att 40-tal extra övningsuppgifter. Dessa behandlar i huvudsak också stoff från Kapitel 10.

Kapitel 9-10, som jag har sagt redan, är verkligen kursens kärna, så kommande veckan lär bli den mest intensiva under kursen, samt den vecka där övningsuppgifterna från boken är nog "svårast". Vi ligger egentligen före i planeringen ty de två sista delarna av kursen, Kapitel 4 och 5.1, är kortare och kommer absolut inte att ta 2 veckor (8 föreläsningar). Så vi borde ha gott om tid för repitition mot slutet, tack och lov ty tentan ligger redan på lördag i Lv 8.

Förresten, förutom de uppgifter som jag har lagt upp i Duggor 1-3, finns det en handfull uppgifter i databasen om stoffet i Kapitel 4. Jag kommer efter att Dugga 3 stänger att lägga upp dessa uppgifter som en icke-poänggivande "Dugga 4" samt öppna upp Duggor 1-3 igen, så att ni kan använda dem som träning inför tentan.


Feb 14, 12.08: Lite orientering (excuse the pun !) efter dagens föreläsning, ty jag följer inte exakt ordningen av materialet i boken.

Själva definitionen av begreppet "kurvintegral" behandlas i avsnitt 9.1 och begreppen "konservativt vektorfält" och "potential" införs i avsnitt 9.4. Notera att boken antar i Kapitel 9 att alla fälten är 2-dimensionella, men alla dessa begrepp makear sense i vilken dimension som helst. Begreppet "positiv orientering", såsom vi definierade den idag, makear sense däremot endast i R^2 (det finns en högre dimensionell motsvarighet här också, men det är mer subtilt, det tar vi i samband med Stokes sats (10.3.2) nästa vecka).

Satsen att kurvintegralen för ett konservativt fält är förändringen i potentialen (och således oberoende av banan) är Sats 9.4.2. Notera att motsatsen också gäller (Sats 9.4.3). Vi har kvar att bevisa dessa satser nästa gång.

Satsen att ett konservativt fält är virvelfritt är Satser 9.4.4 (för R^2) och 10.5.3 (för R^3). Notera dock att boken använder termen "virvelfritt" endast i R^3, den införs först på s.385. Dessa satser har vi alltså bevisat idag.

Den viktigaste frågan i sammanhanget, vars formulering vi kom fram till idag, är "vilka virvelfria vektorfält är konservativa ?". Svaret i R^2 ges av Greens sats (9.2.1) och dess omedelbara följdsats 9.4.5. Svaret i R^3 ges av Stokes sats (10.3.2). Bevis och tillämpning av dessa satser blir alltså ett av huduvmålen nästa vecka, tillsammans med såsmåningom Gauss sats (10.2.1) som ger en motsvarande koppling mellan flödesintegraler och så-kallade "källfria" (eng: solenoidal) vektorfält. 

Imorgon på övningen kommer följande uppgifter att demonstreras:

8.16, 9.4, 9.30, 9.39.

Notera att jag har med detta urval hoppat över för tillfället de uppgifter i övningsboken som behandlar Greens sats (9.7 - 9.28), vi tar dem nästa vecka i stället.

Slutligen: För att försäkra att alla förstår, de tavelgrupper som ska presentera på fredag ska behandla allt material från både denna och förra veckan, de tre senaste föreläsningarna alltså. Det är nog något mindre material än vanligt pga endast 3 föreläsningar men sådant är livet ...


Feb 6, 13.30: 1. Vi är nu färdiga med dubbel-/trippel-/multipelintegraler, dvs Kapitel 7, 8.1, 8.3 och 8.4. Notera iofs att sådana integraler kommer att förekomma igen under "Vektoranalys" delen av kursen pga Greens, Gauss och Stokes satser. Men det "nya" i denna 3:e del av kursen är snarare hur dessa satser binder ihop multipelintegraler med kurv- och ytintegraler. Förresten, det jag idag kallade "flux integral" heter egentligen på svenska "flödesintegral".

2. Jag har rört om lite i "Program" på hemsidan:

(i) vi var helt klara med Kap. 6 redan förra veckan så alla rekommenderade uppgifter från det kapitlet finns nu under Lv 3.
(ii) avsnitt 8.3 och 8.4 täcktes inte förra året. Jag har lagt till några rekommenderade uppgifter för dessa avsnitt. De är examinerbara ! Uppgifterna för Lv 4 täcker nu allt i Kapitel 7, 8.1, 8.3 och 8.4. Det finns 4 uppgifter som ska demonstreras av övningsledarna på onsdag.
(iii) förra året gjordes först allt om kurvintegraler innan man började med ytintegraler. Jag vill prova ett lite annorlunda upplägg i år och ska på torsdag först gå igenom parametrisering av både kurvor och ytor (3.1 och 8.2) innan vi börjar med integration av vektorfält (arbetsintegraler längs kurvor, Kap. 9, och flödesintegraler över ytor, Kap. 10), som kommer att sysselsätta oss under Lv 5-6.

3. Dugga 2 öppnar kl 14.00 idag och stänger nästa onsdag kl 23.59. Det finns 12 uppgifter och man ska lösa minst 7 st för att bli godkänd. I databasen fanns bara uppgifter med dubbelintegraler (inga trippelintegraler alltså), så alla 12 uppgifterna är dubbelintegraler.

Totalt 159 personer är nu godkända i Ping Pong på Dugga 1. Om du inte har fått din bonuspinne och tror att du borde ha gjort det, hör av dig.

4. Grupper 2B och 2C har hittills lämnat in sina slutrapporter och dessa är postade på hemsidan. Övriga läggs upp så snart jag får in dem. Kom ihåg Grupp 3:orna att lämna in era preliminära rapporter under dagen.


Feb 5, 21.30: Jacques Huitfeldt vill meddela att bonusuppgiften för Matlab ligger uppe nu på nätet - du kan länka dit från kursens hemsida, under rubriken "Datorlabbar". Kontakta Jacques om du har frågor (jacques@chalmers.se).


Feb 5, 21.05: Nu finns en länk till enkäten för mittkursutvärderingen (se avsnittet "Kursutvärdering"). Vänligen besvara enkäten senast på onsdag 8/2.


Feb 2, 16.00: Vi är nu helt klara med Kapitel 6 och är "halvvägs" klara med materialet för Lv 4, dvs "multipelintegraler, volymberäkningar och mekaniska tillämpningar". Det finns väldigt lite väsentligt "nytt" i det senare materialet jämfört med Kapitel 6, det är mest att beräkningarna blir i allmänhet längre och jobbigare när man ökar dimensionen - i synnerhet kan det bli svårare att få grepp på hur ett område ser ut och därmed att ställa upp rätt gränser i integralen eller göra rätt variabelbyte. Det viktigaste är alltså att man helt enkelt tränar, genom att räkna uppgifter från läroboken.

De kommande två veckorna är en sorts halvtidshalvpaus i kursen, med endast 2 föreläsningar nästa vecka och en veckan därpå. Tavelgrupper 5 ska alltså sammanfatta materialet från dessa 3 föreläsningar.

Redan på måndag kommer jag att avsluta materialet för Lv 4 (enligt Program) genom att (i) utveckla lite mer tolkning av medelvärden i termer av integraler (ii) göra ett exempel på en tyngdpunktsberäkning (iii) introducera tröghetsmoment och göra ett exempel (iv) beräkna volymen av en n-dimensionell sfär (exempel 7.2.7). Senast på torsdag då sätter vi igång med vektoranalys, som man kan säga är kursens kärna (mest Kapitel 9, 10), i synnerhet när det gäller fysikaliska tillämpningar av flervariabelanalys, och det som kommer att sysselsätta oss fram till och inkl. Lv 6.

Kom ihåg att deadline för Dugga 1 är söndag kl 23.59. Dugga 2 kommer att göras tillgänglig efter måndagens föreläsning och kommer att behandla allt om dubbel-, trippel och mutlipelintegraler.


Feb 1, 10.31: I fall ni har missat det (lätt att göra !) vill jag påminna om att en till övning är schemalagd för imorgon 15-17. Det blir nog ett bra tillfälle att jobba på Dugga 1 och kunna få hjälp med tekniska problem. Min plan är att jag kommer själv att gå runt, om inget annat är jag nyfiken på just exakt vilka tekniska dåraktigheter som Maple-TA hittar på. Det kommer att bli en eller två demouppgifter också (en generaliserad integral och kanske något från Kap. 7 om vi lyckas komma igång med den på föreläsningarna), men jag vill kunna låta er jobba själva mest imorgon och i synnerhet på Dugga 1 om ni vill.

Förresten, några verkar ha blandat ihop rollerna för knapparna "Quit and Save" och "Submit Assignment". Den senare ska användas ENDAST då du har samlat ihop dina >= 10 poäng och är klar. När duggan submittas så låses den och är man inte klar så måste man börja om med en helt ny dugga.

Just nu 47 pers godkända i Ping Pong. Om du är klar kolla att det står så där ...


Jan 30, 11.55: Förresten om man vill integrera arctan(x) och har glömt formeln så kan man göra det via partiell integration:

\int u dv = uv - \int v du

Sätt u := arctan(x), dv := dx

Då blir

\int v du = \int x/(1+x^2) dx,

som kan i sin tur lösas med substitutionen w := 1+x^2 och ger 1/2 * \int dw/w = 1/2 * ln(w)

Alltså,

\int arctan(x) dx = x * arctan(x) - 1/2 * ln(1+x^2) + C.

På en tenta skulle jag nog ge er denna formel dock. Som jag sa idag, målet med denna kurs är inte att återexaminera förmågan att lösa kluriga envariabelsuppgifter.


Jan 30, 11.43: 1. Det vi gick igenom idag täcker det mesta i avsnitt 6.1 och 6.2 förutom de teoretiska aspekterna. Målsättningen är att bli klar med "räknemetoderna" imorgon och ta teorin på torsdag f.m. Jag hoppas kunna komma igång med trippelintegraler (Kapitel 7) redan på torsdag e.m.

2. Pga allt strul (och det lär bli mer) så har deadline för Dugga 1 nu förlängts till söndag, kl 23.59. Flera personers duggor verkar ha försvunnit i samband med att servern låg nere igår, tyvärr vet jag inte vad man kan göra åt den saken. Om du hade submittat igår med minst 10 poäng så ska jag ha fått ett mail om att du är godkänd och isf är det lugnt. Men om du sparade duggan med < 10p så finns det risk att den är nu försvunnen och att du måste börja om på nytt.

Jag har i Ping Pong skapat ett "kursmål" där jag lägger in vilka som är godkända på Dugga 1, enligt min kännedom. Om du tror att du är klar, kolla att det står så där. Om det inte gör det hör av dig. Hittills är 17 pers godkända.

3. Alla rapporterna från Lv 1 är nu inne och utlagda på hemsidan. Jag har också lagt upp namnen och email för de två kursrepresentanterna, under rubriken "Kursutvärdering".


Jan 29, 15.35: Flera personer har meddelat under förmiddagen om problem med att komma in eller komma åt duggan ö.h.t. Just nu kan jag inte ens logga in heller, fär upp

"The server is temporarily unable to service your request due to maintenance downtime or capacity problems. Please try again later."

Ja, vad ska man göra ... gråta eller skratta ...

Jag ska inte göra något idag, om problemet kvarstår imorgon så kontaktar jag datorsupport. Pga allt strul kan ni räkna med en tidsfrist med Dugga 1 till nästa söndag kväll.


Jan 28, 14.45: Det verkar finns tre huvudsakliga buggar i Maple-TA uppgiften. Ingen av buggarna förstår jag, jag tog alla uppgifterna från en databas och samma uppgifter användes också förra året, men läraren känner inte igen buggarna. Hur som helst, här är dem och hur jag vill sköta saker för tillfället:

#1: Det finns en uppgift där en funktion f(x,y) är given och man ska hitta och klassificera alla dess stationära punkter. Det finns text som antyder att svaret ska anges som [[a,b,c],KARAKTÄR]. Men här är punkterna i R^2 så svaren ska anges som [[a,b],KARAKTÄR]. Även då verkar det som om svaren accepteras inte för vissa - jag har själv provat nu och fått detta problem. Vi gör så här:

Om ditt svar [[a,b],KARAKTÄR] accepteras inte, lämna den kvar bara (radera ej !) och gör de andra uppgifterna. Om du får ihop 10 st så kan du "Submitta" och bli godkänd. Om du får ihop 9 st, submitta ändå och skicka mig ett mail med ditt svar på #1 (svaret kommer också att ligga kvar i systemet). Om det är rätt kan jag gå in och manuellt ändra poängsättningen.

Detta är lite krångligt, men pga att jag verkar inte kunna ändra en poängsättning så länge duggan är "In Progress" Irriterande ...

#2: Det finns en uppgift där man ska bestämma riktningsderivatan till en funktion f(x,y,z), men det står att funktionen är f(x,y), en funktion av endast 2 variabler. Detta är helt enkelt en typo, om z förekommer i formeln för f så är det en funktion av tre variabler och ska betraktas som sådan.

#3: Vissa har fortfarande problem med att få sina svar registerade på de 2 uppgifterna där man ska ange karaktären hos en given stationär punkt. Buggan är konstigt här, för det har t.o.m. inträffat att någon kunde inte se att deras svar var rätt men när de submittade duggan så hade de fått poängen ändå. Vi löser detta än så länge på exakt samma sätt som med #1 ovan.

Om jag lyckas ta reda på exakt vad som orsakar buggarna och åtgärda dem så hör jag av mig. Räkna inte dock med att jag lyckas. Uppgifterna har legat i databasen i flera år nu och det är en annan person som skapade allihopa från början för några år sedan. Och om problemet ligger någon annanstans än i själva skapandet av uppgifterna, då är det Maple-TAs kundsupport man måste nog vända sig till, och det lär bli en mardröm ... Så vi ska göra det bästa vi kan av situationen än så länge.


Jan 27, 12.20: Det blir Grupp 2E på måndag.


Jan 26, 17.00: 1. Vi är nu klara med 3.2 - 3.4 och är i fas med planeringen enligt hemsidan. På måndag sätter vi igång med Kapitel 6 (dubbelintergraler).

2. Första Maple-TA uppgiften är nu ihopsatt. Den öppnar idag kl 17.00 och stänger på fredag nästa vecka kl 23.59. Det finns 16 uppgifter, det är många, men jag valde att ta med alla uppgifterna i databasen som hade med det material som vi hittills gått igenom att göra. För att bli godkänt måste man svara rätt på minst 10 valfria uppgifter. Det finns ingen begränsning på hur många gånger man får försöka sig på en uppgift. Man kan också logga ut från Maple-TA och behålla de poäng man dittills samlat ihop, dvs man behöver inte göra hela duggan på ett pass.

Skulle det strula till någonstans skicka mig ett mail.

3. Jag har fått in den första slutgiltiga rapporten, från Grupp 1B, och den är nu utlagd på hemsidan, under "Tavelpresentationer". Alla rapporterna läggs upp så snart de kommer in.

För Grupp-2:orna, kom ihåg att vi träffas imorgon bitti i sal MV:L15, med start 07.30.


Jan 25, 23.26: 1. Jag har nu lagt upp supplementära anteckningar också för gårdagens föreläsning (se under "Program").

2. Första Maple-TA uppgiften kommer att släppas någon gång imorgon kväll och kommer att innehålla uppgifter som täcker allt vi kommer att ha gjort dessa första två veckor (2.1 - 2.7, 3.2 - 3.4).

3. En liten rättelse från igår. I det sista exemplet jag gjorde var de stationära punkterna (1/4, -1/2) och (1,-1). Men som någon påpekade efteråt, dessa punkter är inte ens i f:s definitionsmängd, ty f innehöll termen ln(y), som är bara definierad för y > 0. Man kan komma runt detta genom att i stället skriva ln|y| i formeln för f, ty ln|y| har också 1/y som derivata.


Jan 24, 14.28: Vi är nu klara med Kapitel 2. Imorgon kommer övningsledarna att demonstrera följande uppgifter:

2.34, 2.67, 2.70.

OBS! Jag har bytt ut 2.69(c) mot 2.70, jamfört med vad som stod i programmet tidigare. Detta ty det finns inget nytt att hämta ur 2.69(c) nu när ni har det explicita kriteriet för klassificering av stationära punkter, i termer av funktionens partiella derivator av ordning 2, för funktioner av 2 variabler (Sats 2.6.X.X från idag). Notera att funktionen i 2.70 är en funktion av 3 variabler. Kriteriet blir mer och mer komplicerat att skriva upp explicit då antalet variabler ökar och "rätt sätt" att formulera det i allmänhet är i termer av matriser. Jag ska nämna exakt hur i de anteckningar som jag ska skriva för idag, men det är inget ni förväntas kunna (den bakomliggande teorin kommer i nästa kurs i Lp4). Kom ihåg dock att kriteriet har i grund och botten att göra med "kvadratkomplettering", som när man går över till matriser får det mer pompösa namnet "ortogonaldiagonalisering av symmetriska matriser". Det innebär att man kan lösa ett specifikt problem genom att hitta på en kvadratkomplettering av andra-grads Taylorpolynomet för den specifika funktionen. Det är det som kommer att göras i 2.70, och hur alla exemplen i PB genomförs. Luckan här är att, när antalet variabler överstiger 2, så finns det inte längre en lika uppenbar metod för kvadratkomplettering, så matrisformuleringen blir "rätt sätt" att få en helhetsbild.

Dagens anteckningar kommer möjligen att läggas upp senare ikväll men kanske imorgon ... jag måste sova lite också :)


Jan 23, 19.15: 1. Jag har lagt upp på kurshemsidan, under "Program, Lv 2", anteckningar för dagens föreläsning (eftersom jag gick en bit förbi det material som finns i PB, avsnitt 2.6). Anteckningar kommer också att läggas upp för morgondagens föreläsning om "undersökning av lokala extrempunkter" för där kommer jag också att gå längre än i boken, och i synnerhet presentera teorin med hjälp av matriser - de två filerna jag skickade ut igår är en approximation till hur det kommer att se ut imorgon.

2. Tavelgrupperna för Lv 2 är nu fastställda, inga fler anmälningar till Lv 2 kommer att godkännas, trots att det i Grupp 2C finns bara 5 personer. Om du inte har anmält dig ännu så ska du sikta på Lv 3 eller senare.

Jag väntar fortfarande på skriftliga rapporter för Grupper 1A, 1C och 1D. Se till att jag får dem innan kl 23.59.


Jan 17, 12.35: 1. Vi gjorde klart 2.2 idag och är mitt inne i 2.3. Även delar av 2.4 är egentligen också redan täckta (jag har redan sagt vad gradienten till en funktion är och angett hur man skriver definitionen av differentierbarhet i vektorform med dess hjälp - se ekv. (26) på s.76). Först på dagordningen på torsdag blir beviset av Sats 2.3.4. Notera att listan av examinerbara bevis finns i ett dokument på kurshemsidan som heter "Teori-PM", som ligger under avsnittet "Kurskrav".

2. Kl 8-9 imorgon bitti så kommer de tre övningsledarna att demonstrera de uppgifter på tavlan som anges i "Program" på kurshemsidan, dvs uppgifter 1e, 2b, 8c, 21 i Kapitel 2. Notera att #21 tillämpar det som i boken kallas "den allmänna kedjeregeln", ekv. (24) på s.69. Denna har jag inte skrivit upp idag men den följer direkt från det jag kallade "den riktiga kedjeregeln", ekv. (20) och (21) på s.65, på samma sätt som det jag kallade "den enklaste formen av kedjegregeln", ekv. (16) på s.61, följer direkt från envariabelsregeln, ekv. (14), (15).

OBS! Vi har också ett övningspass 15-17 imorgon och default tanken är att samma uppgifter ska demonstreras en gång till då, i 45 minuter (dvs att default är att alla går på ett av passen) och att det sedan finns 45 minuter för eget arbete. Övningsledarna kommer att bestämma i realtid om detta behövs eller om man kan ägna hela passet åt eget arbete (eller ngt annat de/ni vill hitta på, t.ex. demonstrera andra uppgifter).

Framöver så är det möjligt att vissa av er skulle hellre vilja ägna mer tid åt eget arbete och hoppa över demos. Ni får försöka kommunicera detta till mig, direkt eller via kursrepresentanterna. Om det visar sig finnas efterfrågan för den varianten så kommer vi såsmåningom att ändra så att bara 2 av 3 övningsledare kör demos. Jag håller er uppdaterade om detta.

3. Kom ihåg att 9-10 imorgon ägnas åt en föreläsning från Hans Malmström i GD-salen, där han ska ge en översikt om tavelpresentationsmomentet. Detta är naturligtvis en engångsföreetelse, fr.o.m. nästa vecka har vi 2 x 2 timmar räkneövning på onsdag.

4. Efter lunch ska vår sekreterare Elisabeth Eriksson (fia@chalmers.se) tanka över alla som är registrerade på kursen i Ping Pong till Maple-TA. Ni som går i 1:an har inte använt Maple-TA förut så var och en av er kommer att sedan få ett individuellt mail med inloggningsuppgifter för Maple-TA. Omregistrerade studenter ska använda samma konto som de redan har. 

5. En sista kommentar. Tanken med upplägget med två föreläsningar på torsdag (schemat är i princip detsamma som tidigare år) har varit att eftermiddagspasset skulle vara en form av "uppsamlingspass" där jag räknar mest uppgifter på tavlan i stället för att presentera teori, medan att de tre övriga föreläsningarna under veckan skulle vara "teoritunga". Hittills har jag valt en mer "blandad" approach, jag har räknat ett antal uppgifter i samband med att teorin presenterats och försökt motivera intuitionen bakom definitionerna och satserna. Jag tror jag vill fortsätta prova detta tills vidare, jag tror att teorin kan sitta bättre om man direkt ser ett exempel på hur den ska tillämpas. Det kan se ut i så fall att vi under veckan ligger lite efter i planeringen, men det borde gå ihop när veckan är slut.


Jan 16, 15.09: En liten rättelse: För funktionen f(x,y) = xy/(x^2 + y^2) så är f(t,kt) = t(kt)/(t^2 + (kt)^2) = k/(1+k^2). Imorse på föreläsningen skrev jag k^2 i täljaren.


Jan 16, 12.45: 1. Idag gick vi igenom avsnitt 2.1 och 2.2 i boken, förutom, huvudsakligen, Sats 2.2.3 och dess bevis. Den tar vi imorgon. Notera att Sats 2.2.2 är, i notationen jag använde idag, det faktum att konstanterna C_i i definitionen av differentierbarhet är lika med de partiella derivatorna delta f/delta x_i, beräknade i baspunkten.

2. Det börjar bli fullsatt nu för tavelgrupperna i Lv 1. Det finns en ledig plats just nu (12:36), i gravplatsgruppen (1A) om någon vill hoppa på. Det bör man i så fall göra idag, anmälan till Lv 1 vill jag stänga ner ikväll så att ni hinner få igång ett samarbete.

3. Någon bad mig att kontrollera gamla upplagor av Persson-Böiers. Den som ni ska ha köpt från Cremona är den 3:e upplagan från 2005. De två tidigare är från 1997 och 1988. Har man en av de två tidigare böckerna så klarar man sig nog. I den 3:e upplagan finns lite extra material i Kapitel 1, men den ingår inte i denna kurs. Samma gäller Kapitel 5, där bara 5.1 ingår och där finns det inga skillnader. Det finns också ett nytt avsnitt i Kapitel 8, men den ingår inte heller i kursen formellt trots att jag möjligen kommer att nämna "medelvärdessatsen i flervariabelanalys" längs vägen.

Å andra sidan bör man ha den senaste upplagan av övningsboken, dvs 8:e upplagan från 2007, för annars kommer det att strula reellt med numreringen av de rekommenderade övningarna.

Kursansvarig:

Peter Hegarty, Rum MV:L3032, x5371, 076-6377873, hegarty@chalmers.se

Övningsledare:

Grupper A,C: Jesper Johansson, jesjo@student.chalmers.se
Grupper B,D: Pontus Andersson, pona@student.chalmers.se
Grupper TM: Håkon Strand Bölviken, haakonbolviken@hotmail.com

Matlab:

Sköts av Jacques Huitfeldt, jacques@chalmers.se

Persson/Böiers: Analys i flera variabler, samt tillhörande övningsbok.

Utlagt extramaterial, hittas under "Innehåll" i föreläsningsplanen nedan i "Program". En del av detta kan tillkomma under kursens gång. Dessa inslag är av karaktären alternativt bevis, generalisering (Taylors formel), eller exempel, och ska ses som extra belysning av de kursmoment som definieras av kursboken.

Föreläsningar

Den typiska veckan har tre regelrätta föreläsningarna per vecka: ungefär måndag morgon, tisdag morgon och torsdag för- och eftermiddag. Pass nummer två på torsdagarna ägnas huvudsakligen åt problemlösning eller fördjupande exempel på vad som behandlats under föreläsningarna i veckan. Eftersom schemat tyvärr är rätt annorlunda från förra året så kommer vi inte kunna hålla det efter runt 3-4e veckan, men vi får se hur vi lägger upp materialet då.

För den som vill veta mera om hur man hittar de mystiska variabelbyten som kan användas för att lösa första ordningens PDE (övningar på kedjeregeln i kapitel 2) kan detta vara intressant att titta på.

Avklarat material markeras i grönt.




Rekommenderade övningsuppgifter

Vissa av de uppgifter som markerats med "Dem" i tabellen kommer att räknas på tavlan av övningsledarna.
Observera att problemlösning demonstreras i större skala på torsdagarnas andra föreläsningspass.
Fördelningen mellan kategorierna "Själv" och "Hemma" kan förstås förändras efter personlig smak.
Extra instuderingsuppgifter finns här. Uppgifter efter "Instud" i tabellen hittas här.
Ytterligare övningsuppgifter på kursen (med facit).

Matlabövningar:
         
Material för övningar hittas här. Obs: gå ner till särskild rubrik MVE035 Flervariabelanalys. Bonusuppgifterna kommer också lite senare på denna plats, liksom information om redovisning.
Matlabuppgifterna ger maximalt 3 bonuspoäng. Mera information gällande redovisning kommer här senare.

Om bonuspoängens giltighet, se under Examination


Referenslitteratur:

1. Material (utvecklat av MV) som ger en kortfattad introduktion till Matlab
2. Holly More, MATLAB for Engineers
   Ger en introduktion till Matlab och kräver inledningsvis ingen matrisalgebra. Är utmärkt för självstudier.
   
3. Per Jönsson, MATLAB-beräkningar inom teknik och naturvetenskap
   Kräver kunskaper i Matrisalgebra. Innehåller lite mer avancerade övningar och modelleringsuppgifter. Är utmärkt som referenslitteratur/uppslagsbok.

Kursens mål finns angivna i kursplanen.
Vid tentamen ska man kunna formulera och förstå alla definitioner och satser som ingår i kurslitteraturen. Man ska också kunna tillämpa dem vid problemlösning.

Lite om teoridelen i examinationen finns i detta Teori-PM.

OBS! Kopior av Duggor 1-3 samt en Dugga 4 med optimeringsuppgifter är tillgängliga mellan Mar 2, 19.00 och Mar 10, 23.59. Dessa är ej poänggivande men kan användas som träningsmaterial inför tentan.

OBS! Dugga 3 är tillgänglig mellan Feb 20, 13:00 och Mar 1, 23:59. Minst 7 poäng krävs för att bli godkänd.
OBS! Dugga 2 är tillgänglig mellan Feb 6, 14:00 och Feb 15, 23:59. Minst 7 poäng krävs för att bli godkänd.
OBS! Dugga 1 är tillgänglig mellan Jan 26, 17:00 och Feb 5, 23:59. Minst 10 poäng krävs för att bli godkänd.

3 stycken "elektroniska duggor"  i MapleTA kommer att ges i läsvecka 2, 4 eller 5, samt 6 eller 7 (mera detaljerat inom kort!). Från var och en av dessa duggor kan man få en  bonuspoäng, se under Examination beträffande bonuspoängens giltighet. För att få delta i duggorna ska man vara registrerad på kursen MVE035.

Här följer lite information om hur MapleTA fungerar:

Om du blivit registrerad på kursen MVE035, får du med epost inloggningsuppgifter till MapleTA, "User login" (som är ditt CID) och  ett lösenord. Spara inloggningsadressen:
http://place34.placementtester.com:8080/chalmers2/login/login.do
som bokmärke ifall denna hemsida skulle ligga nere, vilket händer ibland. Om du tappar bort lösenordet, går det bra att beställa ett nytt ("Forgot your password") som kommer på epost på din chalmersadress. Den som registrerar sig senare, får också dessa uppgifter, men om tiden för en dugga har gått ut så får man avvara den. Det kommer dock att finnas träningsduggor med motsvarande innehåll.

Duggorna görs i en nätbaserad miljö kallad MapleTA. Det blir totalt 3 duggor (öppna kl 16.00 en dag till kl 22.00 samma veckodag nästa vecka). Varje dugga ger 1 bonuspoäng till tentan, ett visst antal uppgifter i duggan ska då vara rätt lösta, men man kan göra om den obegränsat antal gånger så länge den är öppen.
Om bonuspoängens giltighet, se under Examination!

Det främsta syftet med duggorna är att du ska kunna kontrollera att du kan det som för tillfället är aktuellt i kursen. Samarbete är tillåtet och vällovligt, men själva duggan ska man göra själv, ingen annan får göra duggan, inte heller får man ta hjälp av programvara för att lösa uppgifterna. När du lämnar in duggan intygar du samtidigt att du förstått de svar du lämnat och att du på egen hand kommit fram till dem.

Varje exemplar av din dugga är öppet fram till stängning. Du kan välja att arbeta med samma dugga hela tiden, eller att öppna en ny (i så fall klickar du på GRADE på det gamla exemplaret och öppnar ett nytt).  För att arbeta med samma dugga hela veckan, låter du bli att klicka på GRADE förrän du känner dig klar. Detta rekommenderas!

På varje deluppgift kan du kontrollera ditt svar genom att klicka på HOW DID I DO? Var det rätt eller fel?

Du kan göra om duggan så många gånger du vill så länge den är öppen - bästa resultatet räknas. Om du startar om med ett nytt exemplar får du inte samma uppgifter, men likartade.

Om du vill logga ut innan du är klar, så går det bra om du först klickar på QUIT & SAVE. Nästa gång du loggar in har du kvar ditt exemplar så som du sist lämnade det. Högst uppe till höger på duggan kan du också se den tid du har kvar.

När du vill rätta duggan klickar du på GRADE. Återigen: rekommendationen är att vänta med detta tills du gjort alla uppgifter och kontrollerat dem väl.

På den sida i MapleTA där du öppnar duggan finns en knapp GRADEBOOK uppe till vänster. Där visas alla dina registrerade resultat.

Hur skriver man? Generellt kan man säga att man ska skriva som man gör på en miniräknare. Tänk på följande:

• multiplicera med *, skriv x*y, aldrig xy.
• potenser skrivs med ^, t ex 2^8. e^x skrivs exp(x).
  
• kvadratrot skrivs sqrt. Kvadratroten ur 2 : sqrt(2) (eller 2^(1/2)).
• skriv hellre bråk i allmän form än i decimalform, t ex 1/8 hellre än 0.125 (i decimalform används punkt, inte komma)
• i ett svar ska man helst skriva ut heltalspotenser som 81  (istället för 3^4) om de lätt kan beräknas.
  
  I flertalet uppgifter finns länken PREVIEW. Den ger dig en möjlighet att se om MapleTA uppfattat det du skrivit korrekt (fungerar dock inte alltid).

Detta moment (ett nytt inslag för F, den fanns redan för TM förra året) handlar om att sammanfatta och presentera material från föreläsningarna. Eftersom vi redan kör igång i Lv 1 är det speciellt viktigt att ni

(a) läser detta dokument med riktlinjer,
(b) läser detta underlag för övningarna (skrivet av Hans Malmström),
(c) anmäler er så snart som möjligt till projektgrupper. Boka plats i en övningsgrupp genom att skicka mail till hegarty@chalmers.se. Här är listan med gruppindelningar (senast uppdaterad 27/2, 12:12). Hör av er direkt om ni inte finns med i listan, eller om ni inte kan medverka av någon anledning den indelade veckan.

Sal MV:L15 är bokad för alla fredagsövningarna.

OBS! Omregistrerade studenter behöver inte göra detta moment.

Läsvecka 1: 1A    1B    1C    1D    1E
Läsvecka 2: 2A    2B    2C    2D    2E
Läsvecka 3: 3A    3B    3C    3D    3E
Läsvecka 5: 5A    5B    5C    5D    5E
Läsvecka 6: 6A    6B    6C    6D    6E
Läsvecka 7: 7A

Tentamen består av 6-8 uppgifter som kan ge maximalt 50 poäng. Därtill läggs de bonuspoäng som kommer från Matlabuppgifter och duggor. För godkänt på tentamen krävs minst 20 poäng, gränsen för betyg 4 är 30 poäng och för betyg 5 gäller 40 poäng.

OBS! De nämnda bonuspoängen från Matlab och mapleTA-duggor räknas vid ordinarie tentan i mars 2016, och omtentorna i påskperioden 2016 och i augusti 2016.

OBS! För att få ett slutbetyg på kursen så måste man vara godkänd på tavelpresentationsmomentet. Maple-TA och Matlab är däremot helt frivilliga moment.

Följande formelblad kommer att bifogas tentatesen. Eventuellt kommer även andra formler att ges gratis på tesen för att underlätta uträkningar.

Här är en svensk/engelsk matematisk ordlista.

I Chalmers Studentportal kan du läsa om när tentor ges och om vilka regler som gäller kring att tentera på Chalmers.

Vid tentamen ska du kunna uppvisa giltig legitimation och kvitto på erlagd kåravgift.

Meddelande om resultat får du med epost, som skickas automatiskt när resultaten är registrerade. Alternativt kan du gå till Ladok via inloggning i Studentportalen.

Granskning vid ordinarie tentamen:
Då det är praktiskt möjligt ordnas ett separat granskningstillfälle av tentamen. Tidpunkt för detta meddelas på kurshemsidan. Den som inte kan delta vid granskningen kan efter granskningstillfället hämta och granska sin tenta på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se information om öppettider. Kontrollera att Du har fått rätt betyg och att poängsumman stämmer. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

Vid omtentamen:
Tentorna granskas och hämtas ut på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se information om öppettider. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

Utvärderingen sker genom samtal mellan lärare och studentrepresentanter under kursens gång samt vid ett möte efter kursens slut då enkätresultatet diskuteras och rapport skrivs.
Se följande mall för Utvärdering av kurser i studentportalen.

Kursutvärderare:

Arvid Gusfafsson, guarvid@student.chalmers.se
Fredrik Hallhagen, frehallh@student.chalmers.se

Länk till enkäten för mittkursutvärderingen (vänligen besvara senast onsdag 8/2)

Lista av fel och oklarheter i lösningsförslagen nedan

2016-08-23 med lösningar
2016-04-02 med lösningar
2016-03-14 med lösningar
2015-08-25 med lösningar
2015-04-14 med lösningar
2015-03-16 med lösningar
2014-08-25 med svar och lösningar
2014-03-10 med svar och lösningar
2014-01-14 med svar och lösningar
2013-08-26 med svar och lösningar
2013-03-16 med svar och lösningar
2013-01-14 med svar och lösningar (eller snarare lösningsanvisningar).
2012-08-24 med svar och lösningar
2012-03-08 med svar och lösningar
2012-01-11 med svar och lösningar (Uppgift 1(c) kan överhoppas.)
2011-08-23 med svar och lösningar
2011-03-17 med svar och lösningar