Aktuella meddelanden
Aug 31, 13.00: Här är tentamenslösningar från 28/8, plus figurer.
Jun
25, 12.30: Här är tentamenslösningar
från 5/6, plus figur.
Mar
10, 19.20: Här är dagens tenta
med lösningar och Figur 1.
Feb
19, 13.15: 1.
Dugga 3 har precis öppnat kl 13.00 och stänger kl 23.59 på
fredagen den 2/3. Den innehåller 11 uppgifter, varav 8 handlar
om kurvintegraler och 3 om ytintegraler. För kurvintegraler, har vi
i princip tre olika verktyg: (i) direkt parametrisering (ii)
framtagande av potential för ett konservativt fält (iii) Greens
sats. Notera att alla 3 ytintegrallsuppgifterna handlar om
integration av skalärfält. Därmed räcker de verktyg vi har lärt oss
i avsnitt 3.1 och 8.2 (kolla i synnerhet Exempel 9,
s.309-310). Minst 8/11 krävs för att bli godkänd.
2. Jag hoppar runt lite i
Kapitel 9 och presenterar inte materialet i samma ordning som i
boken (snarare i en ordning som jag föredrar). Vi är nu klara med
9.1, förutom de två fysikaliska exemplen i Exempel 4 och 5. Vi har
gått igenom en del av 9.4, nämligen Definition 9.4.2 och Sats 9.4.2.
Notera att Exempel 5 utvecklas flera ggr under kapitlet, i Exempel
8, 9 och 14. Magnetfältet är ett viktigt exempel också ur teoretiskt
perspektiv och jag kommer att gå igenom den. Det elektrostatiska
fältet (exempel 4) är ur teoretiskt perspektiv ekvivalent med
gravitationsfältet. Den centrala teoretiska poängen är jämförelsen
mellan gravitationsfältet/elektrostatiska fältet och magnetfältet,
och därför kommer jag att behandla alla dessa fysikaliska exempel
tillsammans, och först efter att jag bevisar Greens sats (9.2.1),
som är kapitlets viktigaste sats, och dess omedelbara konsekvens,
Sats 9.4.5.
3. Eftersom vi har en
föreläsning på fredag e.m. denna vecka, så gäller följande för de
tavelgrupper som ska ha sina övningar på fredag f.m.:
(i) på övningen förväntas ni täcka endast må, ti och to
föreläsningarna. Ni kan om ni vill läsa själva det som ska gås
igenom på fredag f.m. och inkludera detta i presentationen, dock är
det inget krav. Jag kommer att ge en uppdatering efter torsdagens
föreläsning var vi ligger. Som det ser ut nu så är det min
förhoppning att vi blir klara med Kapitel 9 på torsdag, men det är
oklart om vi kommer igång med Kapitel 10 först på fredag eller
tidigare.
(ii) om ni väljs ut för måndags-presentationen, så förväntas ni då
täcka också fredagens föreläsning
(iii) den skrifltiga rapporten ska täcka också fredagen.
4. RÄTTELSE:
Som någon påpekade efter föreläsningen så gjorde jag något riktigt
korkad i sista exemplet. Fältet G = F + (0,0,z) ÄR konservativt, det
är bara att lägga till z^2/2 till potentialen, alltså en potential
för G är
V(x,y,z) = 2x z^3 + y^2 z^3 + z^2/2.
Vill man ha ett exempel som skulle trots allt illustrera den poäng
jag ville illustrera så tag följande:
G = (2z^3, 2y z^3, 6x z^2 + 3 y^2 z^2 + xz)
\gamma = {r(t) = (3t^2 - t, 3 sin(t*pi/2), t^2 + 3t), 0 <= t
<= 1}.
Nu är G definitivt INTE konservativt, men G = F + (0,0,xz). Kurvan
går fortfarande från (0,0,0) till (2,3,4). Så samma strategi ger
\int_{\gamma} G * dr = \int_{\gamma} F * dr + \int_{0}^{1} (3t^2 -
t)(t^2 + 3t)(2t+3) dt
Den första integralen är 832 pga konservativt F.
Den andra integralen är lätt om än lite långrandig .... Poängen är
att den jobbiga y-termen i parametriseringen försvinner.
Feb
6, 16.42: 1.
Som jag meddelade igår (och flera personer har också skrivit till
mig) så har det varit en försening med att lägga upp Dugga 2,
pga strul med Maple-TA systemet. Nu ska den vara färdig och den öppnar
kl 17.01 idag. Jag har skjutit upp tidsgränsen så att den stänger
den 18:e (söndag), kl 23.59. Jag har också utökat antalet
uppgifter, ty förra året fanns det inga uppgifter om
trippelintegraler i databasen, bara dubbelintegraler. Duggan består
nu av 16 uppgifter, varav 13 handlar om dubbelintegraler och 3
om trippelintegraler. Godkändgränsen är 10/16, så man kan bli
godkänd utan att göra trippel-uppgifterna. Ni uppmanas dock att göra
dessa också.
Låt mig veta om det skulle bli problem efter kl 17 idag med att
arbeta med duggan.
2. Mittenkäten är nu
uppe på hemsidan, under rubriken "Kursutvärdering". Fyll gärna
i den och helst senast på fredag. Tanken är att
kursrepresentanterna ska kunna sammanställa resultaten under helgen
och sedan träffa mig över lunch på måndag.
3. Vi har ett lite konstigt
upplägg denna vecka med övningspass imorgon och på fredag och en
föreläsning däremellan. De 4 uppgifterna som ska demonstreras
handlar om trippelintegraler. I synnerhet behandlas integration i
cylindriska och sfäriska koordinater, samt begreppet "masscentrum".
Vi kommer att gå igenom alla dessa tre på torsdag. Det innebär att
det kan make:a mer sense att gå på demos:en på fredag, om ni har
möjlighet. Övningsledarna kommer dock att vara beredda att
demo:a imorgon också.
Denna vecka är det Björn och Felix för demos. OBS! De byter
salar, så Felix ska vara i FL:64 och Björn i FL:71. Detta är
ett hemligt experiment :) Oscar tar eget arbetare i FL:72, som i
Time Edit.
Feb
5, 14.10: 1.
Vi är nu färdiga med Kapitel 6, och är mitt inne i en enhetlig
studie av integraler i dimension > 2, som täcker Kapitel 7, 8.1
och 8.4 i boken.
Det jag pratade om under första halvan idag finns i avsnitt 6.2,
dock med små skillnader i presentation och utan vissa saker som jag
nämnde - mer detaljer nedan. Ni förväntas kunna definitionen av
begreppen "nollmängd (i R^2)" och "kvadrerbart område". I övrigt
kommer inga bevis härifrån att examineras.
(i) Begreppen "nollmängd" och "kvadrerbart område" definieras i
Definition 4, s.242.
(ii) Lemma 6.2.1 är det jag kallade "Lemma 1" idag. Det är det
lemmat som är nyckeln till att Fubinis sats kan utvidgas till Sats
6.2.4.
(iii) Definition 3, s.241 ska jämföras med det jag kallade för en
"Sats", men som har samma syfte: att definiera vad som menas med att
en funktion f(x,y) är "integrerbar" över ett kvadrerbart område D
och vad värdet på \iint_{D} f(x,y) dx dy ska vara. Poängen är att om
randen är en nollmängd så ska den inte bidra med något/fucka upp det
hela. Boken formulerar den ideen i Lemma 6.2.3. Jag formulerade den
typ såhär:
Integrerbarhet <=> Def. 1, s.233 ska uppfyllas för den
utvidgade funktionen f_D.
Notera nu att om man gör ett rutnät och tar en ruta som korsar
randen till D, så kommer f_D att vara mycket diskontinuerlig just i
den rutan, ty den är identiskt noll utanför D. Det betyder att det
blir svårt att approximera f_D uppåt och neråt med trappfunktioner
just i dessa rutor. Men om randen är en nollmängd så spelar det
ingen roll, ty randens area är noll så dess bidrag till integralen
för en trappfunktion blir försumbart då man tar ett finare och
finare rutnät.
Som jag nämnde på föreläsningen så kommer alla områden vi stöter på
i denna kurs att ha styckvis C^1-ränder (begreppen C^1-kurva och
C^1-yta kommer att definieras precist i avsnitt 3.1 och 8.2 resp.),
och det kan bevisas att dessa är alltid nollmängder. Boken nämnar
inte det faktum att det finns C^0-kurvor som inte är nollmängder ("space-filling
curves"), men notera att sådana inte kan komma från
funktionsgrafer pga Lemma 6.2.1. Så sådana kurvor är rätt
"exotiska".
Boken nämnar inte alls Lebesgues integralbegrepp, men jag tyckte det
var värt att notera att ideen är att definiera volymen av en mängd i
termer av övertäckningar, precis som i definitionen av nollmängd. I
Lebesgues teori kan man täcka med godtyckliga öppna bollar (inte
bara axelparallella rätblock) och med ett uppräkneligt antal.
Förresten, anledningen till att man använder bokstaven \mu för att
beteckna volymer i allmänhet är för att \mu är en Grekisk m och m
står för "mått (measure)", som är det ord som används i stället för
"volym" i den allmänna teorin.
2. Någon påpekade idag att
det fanns inga rekommenderade uppgifter om avsnitt 6.5. Jag har
därför lagt till uppgifter 6.30, 6.32 och 6.51 som rekommenderade.
3. Någon frågade också om
Exempel 1, s.300. Nu fattar jag det exemplet. Om den person som
frågade är väldigt nyfiken, kom förbi mitt kontor. Annars berättar
jag på torsdag.
4. Dugga 2 skulle öppna kl
14.00, men det kommer att bli en försening. Det har varit struligt
med att arbeta som lärare i Maple-TA under helgen (alla i huset har
haft problem) och även om jag just nu har åtkomst så litar jag inte
på att problemen är borta. Jag meddelar så snart jag vet när Dugga 2
ska öppna.
Så långt vi vet så har problemen inte påverkat registrering i Ping
Pong av godkända Duggor 1, men om du tror att du har en godkänd
dugga som inte blivit registrerad hör av dig.
Feb
4, 14.40: Jag
har bestämt mig för att göra följande ändringar, som nu syns på
kurshemsidan:
1. Avsnitt 8.3 utgår.
Mer precis, det ska fortfarande betraktas som en del av kursen men
är INTE examinerbart. M.a.o. begreppet "tröghetsmoment" kommer inte
att finnas på tentan. Jag kommer att prata om det väldigt kort på
föreläsningen (imorgon troligen), bara skriva upp och motivera
formeln, och sedan är det helt frivilligt att läsa avsnittet själva.
Jag tror ej vi förlorar något på detta, det är bara en av flera
liknande mekaniska tillämpningar och den som är beräkningsmässigt
mest jobbig. Jag har tagit bort uppgifter 8.23 och 8.34 från listan
av rekommenderade uppgifter, för de handlar om tröghetsmoment.
2. Däremot har jag lagt
till Exempel 7.2.7 till teori-PM:et, alltså till listan av
examinerbara bevis. Det är ett snyggt exempel på användandet av
nivå(hyper)ytor i integralberäkning (en generalisering till ett
godtyckligt antal variabler av metoden i avsnitt 6.5 alltså). Vi
kommer förhoppningsvis att hinna till detta exempel imorgon, annars
på torsdag.
Feb
1, 16.36: 1.
Vi är nu nästan klara med Kapitel 6. Det återstår lite teori, typ
(i) motivering av Fubinis sats för rektangler (Sats 6.1.2 och 2:a
halvan av Sats 6.1.3). Notera att dessa bevis står inte i
teori-PM:et och kommer inte att vara direkt examinerbara
(ii) utvidgning av teorin till mer allmänna områden i planet:
definition av begreppen kvadrerbat område, reguljärt område, och
presentation av Sats 6.2.4. Här kommer jag att vara ganska
översiktligt. Definitionerna ska betraktas som examinerbara men inte
några bevis.
Jag måste också fortfarande ta upp de två "out-of-left-field"
sakerna jag nämnde i tisdagens mail.
Förhoppningsvis tar allt ovan inte mycket mer än 30 minuter på
måndag.
2. De kommande två
läsveckorna har vi bara 2 föreläsningar per vecka. De som ska
tavelpresentera på fredag i Lv 5 ska alltså behandla materialet i
dessa 4 föreläsningar. Det finns i princip 2 mål under dessa två
veckor:
(i) utvidga denna veckas material till ett godtyckligt antal
variabler, och i synnerhet tre variabler (där det också förekommer
mekaniska tillämpningar). Materialet finns i Kapitel 7 samt 8.1,
8.3, 8.4.
(ii) integration längs kurvor och över ytor. Detta kan betraktas som
en sorts övergång mellan Del 2 av kursen ("Integration") och
kommande Del 3 ("Vektoranalys"). Materialet finns i avsnitt 3.1 och
8.2.
3. En sak från idag som jag
tänkte i efterhand kanske inte var helt uppenbart för folk vad det
betydde:
Låt a <= b och c <= d vara reella tal. Notationen [a,b] x
[c,d] syftar på den Cartesiska produkten av två intervaller och är
samma sak som rektangeln i xy-planet {(x,y) : a <= x <= b, c
<= y <= d}
Om man tar i stället [a,b) x [c,d), dvs intervallerna är öppna till
höger, innebär det att man tar bort den övre och den högre sidan
från rektangelns rand.
När vi definierade begreppet "trappfunktion" var vi tvungna, rent
formellt, att se till att varje punkt i den stora rektangeln hamnade
i EN delrektangel, därför halvöppna intervall. Detta innebär att om
en punkt ligger på en kant mellan två delrektangler så hör den till
den delrektangel som ligger
- direkt ovanför, om det är en vågrät kant
- direkt till höger, om det är en lodrät kant
Notera att på så sätt har vi i vår definition egentligen gjort en
indelning av den halvöppna stora rektangeln [a,b) x [c,d), dvs vi
har tagit bort 2 sidor på randen. Det påverkar inte teorin för dessa
har ingen area och därmed bidrar ingenting till en integral. Denna
punkt tas också upp i boken (s. 228, fotnot 1).
Jan
30, 16.06:
LÄGET:
När det gäller räknemetoder så har vi täckt 6.1 och 6.2 och knappt
kommit igång med 6.4. Det återstår att behandla teorin i 6.1 och 6.2
mer rigoröst. Avsnitt 6.3 är ren teori. Jag kommer att säga några
välvalda ord om Riemannsummor när vi behandlar teorin men detta
avsnitt kommer INTE att examineras direkt.
Rättelse: Sista uppgiften idag (som vi bara började med, vi bytte
till polära och visade att det blev konstanta integrationsgränser)
skulle ha varit 6.16 i boken. Jag skrev integranden som 1/(1+y^2)^2.
Det borde ha varit x*y i täljaren (se övningsboken). Denna uppgift
är intressant för det går faktiskt också att integrera i Cartesiska
koordinater - det är t.o.m. en av uppgifterna som ska demonstreras
imorgon (se nedan). Jag ska också visa på torsdag hur uppgiften
löses med polära koordinater.
ÖVNINGAR IMORGON:
1. Det blir Björn (FL64) och Oscar (FL72) för demos medan Felix
(FL71) tar "eget arbetare". Det kanske finns en risk att Björn blir
översvämmad för att han är en trappa längre ner i huset, så försöka
sprida ut er.
2. Jag har ändrat lite vilka uppgifter som ska demo:as
(övningsledarna är redan informerade), enligt följande:
(i) För 3.9, så gör vi (d) i stället för (b), samt utvidgar
uppgiften till följande formulering:
"Bestäm funktionalmatrisen till avbildningen ... och ange var
funktionaldeterminanten är nollskild. Använd funktionalmatrisen för
att bestämma approximativa värden för (y_1, y_2) då x_1 = 1.02, x_2
= 0.98, samt jämför med de exakta värdena".
(ii) 3.24 ersätts med 3.28, där andraderivatan z_{xy} i punkten
(0,1,1) ska också beräknas. Notera att det finns en lösning i boken,
men inte till tillägget naturligtvis.
(Iii) 6.16: Det är meningen att man ska använda Cartesiska
koordinater så vi gör så (man kan också byta till polära, men jag
tar detta som ett exempel på torsdag). I mån av tid ska uppgiften
lösas två ggr, först med att integrera först m.a.p. x och sedan
först m.a.p. y i stället. Om jag har räknat rätt så blir det ungefär
lika svåra räkningar i de två fallen.
(iv) Vi gör 6.21 som planerad, men notera att det kräver byte till
polära koordinater. Därför måste Sats 6.4.6, som vi inte ännu har
skrivit upp på föreläsningarna, användas. Övningsledarna ska
indikera vad som gäller men ska bara ge motivering i mån av tid (för
det är något vi tar upp på torsdag i alla fall).
ETT PAR SAKER OUT-OF-LEFT-FIELD:
Det finns minst 2 saker som jag har tänkt på där jag tycker jag
behöver säga lite mer för att vara helt öppen/sanningsenlig,
nämligen
(i) kopplingen mellan Inversa Funktionssatsen och "godkända"
variabelbyten
(ii) generalisering av begreppet "primitiv funktion" eller, mer
precis, av Kalkylens Fundamentalsats, till flera variabler.
För krånglig att gå in på här, men jag kommer troligen att ägna 5-10
minuter på torsdag åt att kommentera dessa saker.
Jan
25, 17.20: 1.
Vi är nu klara med Kapitel 2, samt 3.2, 3.3 och en del av 3.4. När
det gäller 3.4 så har vi i princip kommit så långt som Sats 3 på
s.148. Det som återstår är
(i) Implicita funktionssatsen för ett godtyckigt antal variabler
(svårt att hitta explicit i boken, men formuerlingen är i princip
identisk med Sats 3, förutom mer notation)
(ii) ett par exempel.
Detta borde vi klara av inom 30 minuter, alltså 1:a halvan av
måndagens föreläsning efter den 15-minuters tavelpresentationen.
Sedan forstätter vi med "Del 2" av kursen, integration i flera
variabler (Kapitel 6).
Förresten jag har inte pratat alls på föreläsningarna om
"differentialer" (avsnitt 2.7 i boken). Det finns inget nytt där
egentligen, det handlar bara om linjärisering uttryckt i lite
alternativa termer. Ni kan läsa avsnittet själva om ni vill, det
kommer inte att examineras direkt.
2. Dugga 1 ska ha öppnat
för några minuter sedan. Förhoppningsvis ska buggarna från förra
året vara borta, men eftersom det är 1:a gången ni använder Maple-TA
så blir jag oerhört förvånad om det inte blir några problem alls.
Skicka mail om ni har frågor.
Några saker att tänka på:
(a) du kan få omedelbar feedback när du besvarar en uppgift, genom
att klicka på rätt knapp, typ "Verify" eller "how did I do ?", beror
på uppgiften.
(b) om du har gjort en del uppgifter och vill ta en paus, klicka på
"Save and close" innan du stänger fönstret. Då sparas duggan så att
du får samma uppgifter när du öppnar igen, och i synnerhet behöver
inte göra om de uppgifter som du redan har besvarat rätt. Klicka
INTE på "Submit" förrän du är färdig, för om du gör det och har <
10 rätt så kommer du att få en helt ny dugga när du öppnar igen och
måste börja om från början. Du kan submitta så snart du har 10 rätt,
men du kan göra fler uppgifter om du vill (isf vänta med att
submitta). När du submittar så registreras att du är klar
automatiskt i Ping Pong - du borde alltså kunna se detta under "Mål
och framsteg".
(c) vissa uppgifter är multiple-choice och default inställningen i
systemet är att man får bara ett försök. Svarar man fel så får man
en helt ny fråga. OBS! Alla deltagare får samma "typer" av frågor
men de specifika koefficienterna i funktionerna osv genereras
slumpmässigt.
Några syntax-relaterade saker:
Det vanligaste problemet när folk börjar med Maple-TA är att de
använder fel syntax när de skriver in svaren, i vilket fall systemet
säger att man har fel även om man "har rätt". Det lär säkert dyka
upp problem som jag inte har tänkt på - isf fråga mig eller en
övningsledare bara. Här är några saker som slår mig direkt:
(i) tänk på att * tecknet måste alltid skrivas vid multiplikation.
Så t.ex. det finns en uppgift där man ska ange ekvationen för ett
tangentplan. Så om svaret är ax+by+cz=d måste du skriva in
a*x+b*y+c*z=d.
(ii) det finns en uppgift där man ska ange en normerad vektor som
svar (tror det handlar om i vilken riktning en given funktion växer
snabbast). Pga normeringen så lär man behöva dela med roten ur ngt.
Syntax för detta är sqrt(x). Så t.ex. svaret skulle kunna vara
(1/sqrt(5), -2/sqrt(5)).
(iii) det finns en uppgift där man ska ange en 2x2 eller 3x3
funktionsmatris. I svarsrutan ska det finnas en grafisk interface.
Klickar man på ikonen med en 3x3 rutnät av prickor så får man upp
ett fönster där man sedan skriver in antal rader och kolumner för
sin matris. Då får man upp en matris av den korrekta storleken och
ska mata in de korrekta talen (jag tror att default är 1,2,3,4,...
så man måste ändra dem).
Jan
23, 14.50:
ALLMÄNT OM LÄGET:
Jag hade hoppats bli klar
med 2.6 idag så vi ligger lite efter, kanske 45-60 minuter. Det är
just i detta avsnitt där skillnaden är störst mellan hur boken
presenterar materialet och hur jag gör på föreläsningarna, så jag
vill förklara lite mer exakt vad skillnaden är. De extra
anteckningarna som finns på hemsidan (under "Program, Lv 2") följer
min presentation. Jag hänvisar till dem nedan.
Sats 1, som jag skrev upp
i slutet på dagens föreläsning och som handlar om klassificering av
kvadratiska former i 2 variabler i termer av deras koefficienter,
finns INTE i boken.
OBS! Det fanns ett misstag
i hur jag skrev upp satsen idag. Om formen är Q(x,y) = Ax^2 + Bxy +
Cy^2 så är det tecknet på AC - (B/2)^2 som är relevant, inte den på
AC-B^2 såsom jag skrev imorse. M.a.o det är tecknet på AC-B^2 som
gäller om formen skrivs som Q(x,y) = Ax^2 + 2Bxy + Cy^2. Så står det
i anteckningarna.
Hur som helst, tillbaka
till skillnaden med boken: Sats 2, som följer från Sats 1, finns
inte heller i boken. Det är den satsen som gäller vid tillämpning
till klassificering av kritiska punkter för funktioner av 2
variabler. Jag kommer att använda den satsen vid problemlösning.
Notera att de flesta calculus böcker innehåller den satsen, PB är
lite udda i detta avseende.
Så vad gör PB ? Ju, jag
tycker inte om presentationen där och kan sammanfatta den med att
säga att de återuppfinner hjulet vid varje uppgift. Om du kollar
beviset av Sats 1 så ser du att det viktiga steget är ekvation
(1.2), alltså s.k. "kvadratkomkplettering" av den kvadratiska
formen. Så i slutändan vilar både Sats 1 och Sats 2 på
kvadratkomplettering av kvadratiska former. I boken så genomför dem
kvadratkompletteringen i varje uppgift för sig, de konstaterar
aldrig det allmänna mönstret. Lite dumt kan man tycka ...
ÖVNINGAR IMORGON:
Jag har lagt till en uppgift att demonstrera, som ligger i en fil på hemsidan (under "Demo, Lv 2"), för det är bra tycker jag med lite mer träning om variabelbyten i partiella derivator av ordning 2. Uppgift 2.67 handlar om framtagning och klassificering av kritiska punkter för en funktion av 2 variabler, och vi har inte ännu gjort någon sådan uppgift på föreläsningarna. Jag vill att övningsledarna ska tillämpa Sats 2 vid klassificeringen, alltså gör INTE som i boken med att ta fram en kvadratkomplettering av den kvadratiska formen (men om du har tid så kan du visa också hur det går till). När det gäller 2.70, det som gör det speciell är att det finns 3 variabler och den kvadratiska formen är tillräckligt enkel så man kan visa direkt att den är indefinit - den allmänna matrisformuleringen av 2:a derivatans test ska vi inte gå in på, men det står i anteckningarna på hemsidan.
Notera att det blir Felix (FL71) och Oscar (FL72) som demonstrerar imorgon, medan Björn (FL64) tar "eget arbetare".
KURSUTVÄRDERING:
Kursrepresentanternas namn och email adresser finns nu på hemsidan.
Jan
22, 18.30: 1.
Jag har lagt upp på hemsidan ett bevis av Sats 2.3.4 för ett
godtyckligt antal variabler (boken behandlar endast 2 variabler).
Den ligger under "Program, Lv 1". Det är ganska mycket notation så
låt mig veta om du tror att du har hittat ett tryckfel.
2. Schemat för
tavelövningarna i Lv 6 blir preliminärt:
6B: Felix
6C: Oscar
6D: Peter
6E-1 (MV:L14): Peter
6E-2 (MV:L15): Björn
Notera dock att Grupp 6B just nu har endast 3 medlemmar. Det krävs
ett absolut minimum av 4 för att gruppen inte ska upplösas.
3. Kursrepresentanterna har
nu valts ut. De hälsade på mig idag men jag väntar fortfarande på
deras kontaktinfo. Så snart jag får den lägger jag upp den på
hemsidan, under "Kursutvärdering". Ni får vända er till dem om ni
har kommentarer/synpunkter som ni inte vill dela med mig direkt.
4. Inställningarna för
Dugga 1 ska nu vara fungerande i Ping Pong. Om du loggar in i PP så
borde du se en rubrik "Dugga 1, 2018". Om du klickar på den ska du
få upp en ruta där det står
"Duggan öppnar kl 17:01 på torsdagen den 25 januari".
Duggan nås genom att sedan klicka på länken "Öppna extern sida (nytt
fönster)". Gör du detta just nu ska du få upp
"Error: This assignment will not be available until 5:00:57 PM CET
on 1/25/18."
Som sagt, det ska fungera fr.o.m. när duggan öppnar. Jag återkommer
på torsdag med några dos-and-donts som ofta ställer till det för
folk första gången de använder Maple-TA.
Kolla dock gärna att det funkar just nu såsom jag beskrev ovan, för
gör det inte det så kommer det inte heller att funka på torsdag så
jag måste veta innan för att kunna åtgärda det.
Jan
21, 14.20: 1.
Nu ligger ett Teori-PM uppe på årets hemsida, under rubriken
"Kurskrav". Listan av examinerbara bevis ska inte ännu betraktas som
slutgiltig - jag meddelar försåt så snart en eventuell ytterligare
ändring görs. Dock är listan slutgiltig för Kapitel 2. Skillnaderna
jämfört med förra året är just nu följande:
Kapitel 2: Sats 9 har lagts till men Sats 6 har tagits bort.
Kapitel 10: Satser 1 och 2 har lagts till.
2. Det finns extra
anteckningar på hemsidan (under "Program") för materialet i avsnitt
2.6 som vi kommer att gå igenom imorgon och på tisdag. Det är kanske
bra att kolla/skriva ut de filerna innan föreläsningarna för jag
kommer att följa dem mer än boken.
3. Lv 6 är nu också
fullbokad för tavelpresentationerna men det finns lediga platser i
flera grupper och ni som inte ännu har bokat uppmanas att i första
hand försöka klämma in er i de befintliga grupperna.
Jan 19, 13.15: Grupp 1A ska presentera på måndag.
Förresten, bara 1 av 5
grupper idag nämnde Sats 2.2.3, att f \in C^1 => f
differentierbar. Den satsen har kanske inte gjort så stort intryck
på er så jag vill bara säga vad jag tycker den är bra för.
Nämligen, det är ofta mycket enklare att kontrollera att en funktion
är C^1 än att kontrollera DIREKT att den är differentierbar. Om man
har en explicit formel för f och vill kolla direkt att f är
differentierbar, så måste man stoppa in denna formel i
linjäriseringsformeln (\bm{ } indikerar en vektor)
f(\bm{a}+\bm{h}) = f(\bm{a}) + \bm{h} \cdot \nabla f (\bm{a}) +
||\bm{h}|| \rho(\bm{h})
och sedan BEVISA att \rho(\bm{h}) går till noll då \bm{h} går till
nollvektorn. Detta kan bli onödigt krångligt.
Däremot är det oftast uppenbart att f kan partiellt deriveras och
att de partiella derivatorna är kontinuerliga funktioner.
Jan
18, 18.05: Lv
3 och 5 är nu också fullbokade för tavelpresentationerna och vilka
övningsledare som gäller blir så här:
3B: Felix
3C-1 (MV:L14): Oscar
3C-2 (MV:L12): Björn
3D: Peter
3E: Peter
5B: Felix
5C: Oscar
5D-1 (MV:L14): Peter
5D-2 (MV:L15): Björn
5E: Peter
För ni som inte har bokat ännu så är det Lv 6 eller 7 som gäller,
alternativt klämma in er i en tidigare grupp som just nu har < 6
medlemmar.
Jan
18, 16.30: Efter
dagens föreläsningar är vi i princip klara med avsnitt 2.1 - 2.5.
Notera att beviset av Sats 2.5.9 är examinerbart - det står inte i
förra årets Teori-PM men är en av de satser som jag vill tillägga i
år.
Kanske den svåraste grejen denna vecka när det kommer till att
faktiskt lösa uppgifter är variabelbyten i PDE och hur man använder
kedjeregeln vid dessa, i synnerhet när PDEn är av ordning 2, för då
måste kedjeregeln tillämpas 2 ggr, och särskilt vid 2:a
tillämpningen måste man vara väldigt försiktigt för att inte missa
något. Vågekvationen idag var ett exempel på detta men vi gick
igenom det lite hastigt, så jag ska räkna något exempel till på
måndag innan vi går vidare. Notera att det finns många uppgifter på
gamla tentor där man ska göra ett variabelbyte i en PDE av ordning
2.
Jan
17, 14.25: 1.
Några uppdateringar om tavelpresentationerna:
(a) Jag har lagt upp på hemsidan två dokument från Hans Malmströms
föredrag imorse.
(b) Det är nu bestämt vilka övningsledare som tar vilka pass i Lv1
och Lv2. Första veckan är det egentligen jag som "tar" varje pass,
övningsledarna är med för att se hur det funkar. Fr.o.m. Lv 2 så
sköts varje pass av en person. Det är den personen som gruppen ska
sedan lämna in sin skriftliga rapport till. Allas email adresser
finns på kurshemsidan.
Förresten finns det inga hårda deadlines för när dessa skriftliga
rapporter ska lämnas in, men lämpligen ska första versionen lämnas
in tidigt under veckan efter fredagspasset. Ni ska få respons från
ansvariga övningsledare och sedan lämna in en andra slutversion (som
ni inte får kommentarer på oavsett hur den ser ut). Alla dessa
slutversioner ska sedan läggas upp på kurshemsidan. OBS!
Av detta skäl vill jag helst ha en pdf fil. Jag föredrar också att
den är skriven i Latex, men detta är inte ett krav.
Lv 1:
1A: Peter, Felix
1B: Peter, Felix, Oscar
1C: Peter, Oscar
1D: Peter, Björn
1E: Peter, Björn
Lv 2:
2B: Felix
2C: Oscar
2D: Peter
2E-1 (MV:L15): Peter
2E-2 (MV:L14): Björn
(c) För ni som inte har bokat ännu: Lv 1 och Lv 2 är nu fullbokade.
Kom ihåg att det går att boka två grupper parallellt, så länge
antalet grupper per vecka inte överstiger 5, och ni uppmuntras att
göra detta för att slippa 07.30 pass. Just nu finns det en lucka
kvar i Lv 3 och en i Lv 5. I båda fallen är 07.30 ledig, men man
måste inte välja den tiden - man kan i stället välja en tid
parallell med en annan grupp.
2. Jag har fått några
frågor om filen "Teori-PM", kanske från folk som inte har varit på
föreläsningarna. Ni kan för tillfället kolla förra årets fil, men
för i år ska den uppdateras (utökas). Jag hoppas kunna lägga upp
årets fil i slutet på denna vecka. Jag mailar så snart den är redo.
Jan
16, 12.41: 1.
En sammanfattning av var vi ligger i boken just nu: Den sista satsen
som jag bevisade idag (med en lite hastig avslutning) är Sats 2.3.4
i boken. Det jag kallade "Steg 1" i utvidningen av kedjeregeln till
flera variabler är ekvation (16) på s.61. Den första "riktiga"
satsen idag, om att en C^1-funktion är differentierbar, är Sats
2.2.3. Propositionen att konstanterna i linjäriseringsformeln är de
partiella derivatorna är Sats 2.2.2.
De övningar som ska demonstreras imorgon av Björn och Felix är de
som står i programmet på hemsidan och behandlar material som täcks
av satserna ovan. Jag har inte räknat så många uppgifter ännu under
föreläsningstid men det kommer att bli lite mer sådant också på
torsdag.
Notera att bevisen av Satser 2.2.3 och 2.3.4 är examinerbara.
2. Listan av tavelgrupper
uppdaterades för 30 minuter sedan. Hittills är 12 grupper anmälda,
så gott om plats kvar.
OBS! Från och med Lv 2 är
det möjligt att boka 2 grupper parallellt, men fortfarande upp till
ett maximum av 5 grupper per vecka. Med parallella bokningar kan vi
(i) kanske slippa gå upp väldigt tidigt på morgonen (ii) ge lite mer
ansvar till övningsledarna. Under Lv 1 kommer jag att vara med på
varje pass tillsammans med en av övningsledarna, så att de kan
"learn the ropes". Därefter ska de kunna hantera grupper
självständigt.
Varje gång en parallell bokning görs så måste jag boka en till sal
för den andra gruppen (MV:L14 är vår default sal, förutom i Lv 2 då
MV:L15 är default). Vilka salar som gäller vid parallella
bokningar kommer att stå på listan av grupper på hemsidan. Dessutom
kommer det att stå vilken övningsledare som tar vilken grupp då
detta är bestämt.
3. Jag har lagt upp
bilderna av andragradsytor som jag visade på gårdagens föreläsning.
Ligger under "Program, Lv 1".
Jan 12, 12:00: Välkomna till kursen! Kursens schema finns i TimeEdit.
Lärare
Kursansvarig:
Peter Hegarty, hegarty@chalmers.se, Rum MV:L3032, x5371, 070-5705475
Övningsledare:
Björn Martinsson, bjomart@chalmers.se
Oscar Carlsson, osccarls@chalmers.se
Felix Rydell, gusrydefe@student.gu.se
Matlab:
Sköts av Jacques
Huitfeldt, jacques@chalmers.se
Kurslitteratur
Persson/Böiers:
Analys i flera variabler,
samt tillhörande övningsbok.
Utlagt extramaterial, hittas under "Innehåll" i föreläsningsplanen nedan
i "Program". En del av detta kan tillkomma under kursens gång. Dessa
inslag är av karaktären alternativt
bevis, generalisering
(Taylors formel), eller exempel,
och ska ses som extra belysning av de kursmoment som definieras av
kursboken.
Program
Föreläsningar
Den typiska veckan har fyra föreläsningar: ungefär måndag morgon, tisdag morgon och torsdag för- och eftermiddag. Skillnaden är Lv 4 och Lv 5, som innehåller bara två föreläsningar var, en sorts halvtidshalvpaus, samt Lv 7 som innehåller bara tre föreläsningar. En stor del av Lv 8 förväntas kunna ägnas åt repitition.
För den som vill veta mera om hur man hittar de mystiska variabelbyten
som kan användas för att lösa första ordningens PDE (övningar på
kedjeregeln i kapitel 2) kan detta
vara intressant att titta på.
Avklarat material markeras i grönt.
Läsvecka | Avsnitt |
Innehåll |
---|---|---|
1 |
2.1 - 2.5 |
Partiella
derivator och differentierbarhet, tangent(hyper)plan,
differentialer och linjär approximation. (Här är några
bilder på andragradsytor
i rummet) Kedjeregeln och variabelbyten i partiella differentialekvationer. Här är ett bevis av Sats 2.3.4 för ett godtyckligt antal variabler. Gradient och riktingsderivator. Derivator av högre ordning. Här är ett aningen kortare bevis av Sats 2.9 |
2 |
2.6 - 2.7 3.2 - 3.4 |
Taylors
formel (extra
anteckningar) Undersökning av lokala extrempunkter (extra anteckningar) Vektorvärda funktioner Funktionalmatris och funktionaldeterminant Linjärisering i allmänhet Implicta Funktionssatsen |
3 |
6.1 - 6.6 |
Dubbelintegraler:
att integrera funktioner av två variabler Upprepad integration: Fubinis sats Variabelbyten Generaliserad integraler |
4 |
7 8.1 8.3 - 8.4 |
Multipelintegraler Volymberäkningar Mekaniktillämpningar (OBS! 8.3 är ej examinerbart) |
5 |
3.1 8.2 9.1 |
Parametrisering
av kurvor: hastighet, fart, acceleration, kurvlängd och
integration av skalärfält längs kurvor Parametrisering av ytor: ytareor och integration av skalärfält över ytor Kurvintegraler (arbetsintegraler) |
6 |
9.1 (forts.) 9.2 - 9.4 10.1 - 10.2 |
Kurvintegraler
(forts.) Greens formel Konservativa fält och potentialer (extra frivilliga anteckningar) Ytintegraler (flödesintegraler) Gauss sats |
7 |
10.2 - 10.5 10.6 4.1 |
Gauss
sats (forts.) och Stokes sats Nablaräkning och mer om potentialer (en sats som sammanfattar nablaräkning) Maxwells ekvationer och EM-vågor (OBS! ej examinerbart) Optimeringsproblem i flera variabler: optimering på kompakta områden |
8 |
4.2 4.3 5.1 |
Optimering
på icke-kompakta områden Optimeringsproblem med bivillkor Derivering under integraltecknen (UTGÅR !) Repitition, gamla tentor Tentamen går 10/3, 14.00 - 18.00. Sista anmälan 21/2. |
Rekommenderade övningsuppgifter
Vissa av de uppgifter som markerats med "Dem" i tabellen kommer att
räknas på tavlan av övningsledarna.
Observera att problemlösning demonstreras i större skala på torsdagarnas
andra föreläsningspass.
Fördelningen mellan kategorierna "Själv" och "Hemma" kan förstås
förändras efter personlig smak.
Extra instuderingsuppgifter
finns här. Uppgifter efter "Instud" i tabellen hittas här.
Ytterligare övningsuppgifter
på kursen (med facit).
Läsvecka | Kategori | Uppgifter |
---|---|---|
1 |
Demo Själv Hemma |
Kap
2: 1e, 2b, 8c, 21 Kap 2: 1ad, 2ac, 4, 5, 6, 8abd, 12, 13, 15, 23, 24 Kap 2: 1bc, 16, 17 Instud: 1a |
2 |
Demo Själv Hemma |
Kap
2: 34, extra,
67, 70 Kap 2: 57, 28, 92, 86, 46, 62b, 68ab, 66, 94 Kap 2: 55, 30, 42a, 75, 61a, 63 Instud: 1b, 3a |
3 |
Demo Själv Hemma |
Kap
3: 9d, 28
Kap 6: 16, 21 Kap 3: 9ac, 15, 14, 22, 24, 26 Kap 6: 5, 7, 9, 13, 15, 17, 19, 23, 25, 30, 38, 40 Kap 3: 12, 16, 20, 23 Kap 6: 1, 3, 8, 10, 24, 26, 32, 40, 42, 51 Instud: 2a, 4ab |
4 |
Demo Själv Hemma |
Kap
7: 4, 15
Kap
8:
7, 31
Kap 7: 1, 3, 12 Kap 8: 2, 3, 5, 6, 8, 11, 39 Kap 7: 2, 8, 13 Kap 8: 1, 10, 28, 29, 33 Instud: 4cde |
5 |
Demo Själv Hemma |
Kap 8:
16
Kap 9: 4, 30, 39 Kap 8: 14, 21 Kap 9: 2, 5, 31, 32, 34, 35 Kap 3: 1, 2, 6, 8 Kap 8: 17 Kap 9: 1, 5 Instud: 5 |
6 |
Demo Själv Hemma |
Kap
9: 10, 24
Kap
10: 62 Kap 9: 7, 13, 14, 25, 26c Kap 10: 1, 8, 10, 13, 16, 18, 20, 26, 32, 61 Kap 9: 15, 23 Kap 10: 10, 19, 25, 31, 63 Instud: 6A |
7-8 |
Demo Själv Hemma |
Kap 10: 11, 23, 35, 54
Kap 4: 6, 15, extra, 32
Kap 5: 5 Kap 10: 37, 40, 54, 58 Kap 4: 8, 13, 16, 17, 18, 23, 30, 31, 48 Kap 5: 3, 4 Kap 10: 42, 52, 57, 69 Kap 4: 2, 10, 14, 16, 20, 24, 28, 33 Kap 5: 7 Instud: 3b,2b2 |
8 | Under läsvecka 8 räknas också äldre tentauppgifter i samband med repetitionen. |
Studieresurser
- Den viktigaste resursen är lärarna på kursen. Använd undervisningstiden till att fråga lärarna, speciellt på räkneövningarna. Ställa frågor via e-post är inte alls lika effektivt och lärare har inte alltid tid att besvara utan hänvisar hellre till räkneövningar.
- Mattesupporten är öppen för alla som studerar på Chalmers eller på Naturvetenskapliga fakulteten vid Göteborgs universitet.
- FUNKA hjälper dig som går på Chalmers och har behov av extra stöd pga någon funktionsnedsättning.
Datorlaborationer och övningar med Matlab
Matlabövningar:
Material för övningar
hittas här.
Obs: gå ner till särskild rubrik MVE035 Flervariabelanalys.
Bonusuppgifterna kommer också lite senare på denna plats, liksom
information om redovisning.
Matlabuppgifterna ger maximalt 3
bonuspoäng. Mera information
gällande redovisning kommer här senare.
Om bonuspoängens giltighet, se under
Examination
Referenslitteratur
- Material utvecklat av MV som ger en kortfattad introduktion till Matlab
- MATLAB for Engineers, Holly More
Ger en introduktion till Matlab och kräver inledningsvis ingen matrisalgebra. Är utmärkt för självstudier. - MATLAB-beräkningar inom teknik och naturvetenskap, Per
Jönsson
Kräver kunskaper i Matrisalgebra. Innehåller lite mer avancerade övningar och modelleringsuppgifter. Är utmärkt som referenslitteratur/uppslagsbok.
Kurskrav
Kursens mål finns angivna i kursplanen.
Vid tentamen ska man kunna formulera och förstå alla definitioner och
satser som ingår i kurslitteraturen. Man ska också kunna tillämpa dem
vid problemlösning.
Lite om teoridelen i examinationen finns i detta Teori-PM
(senast uppdaterat 25/2, 15:05).
Duggor
OBS!
Kopior
av Duggor 1-3 samt en Dugga
4 med optimeringsuppgifter
är tillgängliga mellan Mar 1,
19.00 och Mar 9, 23.59.
Dessa är ej poänggivande
men kan användas som träningsmaterial inför tentan.
OBS! Dugga 3 är
tillgänglig mellan Feb 19, 13:00
och Mar 2, 23:59. Minst
8 poäng
krävs för att bli godkänd.
OBS! Dugga 2 är
tillgänglig mellan Feb 6, 17:00
och Feb 18, 23:59. Minst
10 poäng
krävs för att bli godkänd.
OBS! Dugga 1 är
tillgänglig mellan Jan 25, 17:00
och Feb 4, 23:59. Minst 10
poäng krävs för att bli godkänd.
Om du blivit registrerad på kursen MVE035, får du tillgång
till MapleTA via aktiviteten i Ping Pong.
Det blir totalt 3 duggor. Varje dugga ger 1 bonuspoäng till tentan, ett
visst antal uppgifter i duggan ska då vara rätt lösta, men man kan göra
om den obegränsat antal gånger så länge den är öppen.
Om bonuspoängens
giltighet, se under Examination!
Det främsta syftet med duggorna är att du ska kunna kontrollera att du
kan det som för tillfället är aktuellt i kursen. Samarbete är tillåtet
och vällovligt, men själva duggan ska man göra själv, ingen annan får
göra duggan, inte heller får man ta hjälp av programvara för att lösa
uppgifterna. När du lämnar in duggan intygar du samtidigt att du
förstått de svar du lämnat och att du på egen hand kommit fram till dem.
Varje exemplar av din dugga är öppet fram till stängning. Du kan välja
att arbeta med samma dugga hela tiden, eller att öppna en ny (i så fall
klickar du på SUBMIT på det gamla exemplaret och öppnar ett nytt).
För att arbeta med samma dugga hela
veckan, låter du bli att klicka på SUBMIT förrän du känner dig klar. Detta
rekommenderas!
På varje deluppgift som inte är en flervalsfråga (se längre ner om
dessa) kan du kontrollera ditt svar genom att klicka på HOW
DID I DO? Var det rätt eller fel? Du submittar ditt svar på den
enskilda frågan genom att klicka på VERIFY.
Du kan göra om duggan så många gånger du vill så länge den är öppen -
bästa resultatet räknas. Om du startar om med ett nytt exemplar får du
inte samma uppgifter, men likartade.
Om du vill logga ut innan du är klar, så går det bra om du först klickar
på SAVE & CLOSE. Nästa gång
du loggar in har du kvar ditt exemplar så som du sist lämnade det. Högst
uppe till höger på duggan kan du också se den tid du har kvar.
OBS! För alla flervalsfrågor
gäller följande:
Du får endast en möjlighet att svara. Om du svarar fel så låses denna
uppgift, du får alltså 0/1 poäng på uppgiften och måste få minst M/N-1
på de övriga uppgifterna för att duggan ska bli godkänd, där M är
godkändgränsen och N är antalet uppgifter på duggan.
Det är alltså bara om du Submittar hela duggan och öppnar en ny att du
kan få nya frågor.
När du vill rätta duggan klickar du på SUBMIT. Återigen:
rekommendationen är att vänta med detta tills du gjort alla uppgifter
och kontrollerat dem väl.
På den sida i MapleTA där du öppnar duggan finns en knapp GRADEBOOK uppe
till vänster. Där visas alla dina registrerade resultat.
Hur skriver man? Generellt kan man säga att man ska skriva som man gör
på en miniräknare. Tänk på följande:
- multiplicera med *, skriv x*y, aldrig xy.
- potenser skrivs med ^, t ex 2^8.
e^x skrivs exp(x).
- kvadratrot skrivs sqrt. Kvadratroten ur 2 : sqrt(2) (eller 2^(1/2)).
- skriv hellre bråk i allmän form än i decimalform, t ex 1/8 hellre än 0.125 (i decimalform används punkt, inte komma)
- i ett svar ska man helst skriva ut heltalspotenser som 81
(istället för 3^4) om de lätt kan beräknas.
I flertalet uppgifter finns länken PREVIEW. Den ger dig en möjlighet att se om MapleTA uppfattat det du skrivit korrekt (fungerar dock inte alltid).
Tavelpresentationer
Detta moment handlar om att sammanfatta och presentera material från föreläsningarna. Eftersom vi redan kör igång i Lv 1 är det speciellt viktigt att ni(a) läser detta dokument med riktlinjer,
(b) läser detta underlag för övningarna (skrivet av Hans Malmström),
(c) anmäler er så snart som möjligt till projektgrupper. Boka plats i en övningsgrupp genom att skicka mail till hegarty@chalmers.se. Här är listan med gruppindelningar (senast uppdaterad 25/2, 16:40). Hör av er direkt om ni inte finns med i listan, eller om ni inte kan medverka av någon anledning den indelade veckan.
Sal MV:L14 är bokad för alla fredagsövningarna, förutom den 26/1 då MV:L15 gäller. Vid vissa tider har vi två parallella grupper, i de fallen är två salar bokade. Kolla gruppindelningen ovan för vilka salar som gäller !
Här är dokumenten från Hans Malmströms presentation den 17/1: Doc 1 Doc 2
OBS! Omregistrerade studenter från 2017 behöver göra detta moment endast om de inte gjorde momentet i fjol. Omregistrerade studenter från tidigare år behöver inte göra momentet alls.
Läsvecka 1: 1A 1B 1C 1D 1E
Läsvecka 2: 2B 2C 2D 2E-1 2E-2
Läsvecka 3: 3B 3C-1 3C-2 3D 3E
Läsvecka 5: 5B 5C 5D-1 5D-2 5E
Läsvecka 6: 6B 6C 6D 6E-1 6E-2
Läsvecka 7: 7A 7B 7C 7D 7E
Examination
Tentamen består av 7-9 uppgifter som normalt ger totalt 50 poäng.
Därtill läggs de bonuspoäng som kommer från Matlabuppgifter och duggor.
För godkänt på tentamen krävs minst 40% (så 20 poäng normalt), gränsen
för betyg 4 är 60% (så normalt 30 poäng) och för betyg 5 gäller 80%
(normalt 40 poäng).
OBS! De nämnda bonuspoängen
från Matlab och mapleTA-duggor
räknas vid ordinarie tentan i
mars 2018, och omtentorna i juni
2018 och i augusti 2018.
För studenter som läser om kursen, så gäller inte eventuella bonuspoäng från tidigare år. Dock kan du göra om de bp-givande momenten precis som övriga studenter, så länge du är korrekt registrerad på årets kurs (som innebär att du syns som medlem i aktiviteten "MVE035 Flervariabelanalys V18" i Ping Pong).
OBS! För att få
ett slutbetyg på kursen så måste man vara godkänd på tavelpresentationsmomentet.
Maple-TA och Matlab är däremot helt frivilliga moment.
Följande formelblad
kommer att bifogas tentatesen. Eventuellt kommer även andra formler att
ges gratis på tesen för att underlätta uträkningar.
Här är en svensk/engelsk matematisk ordlista.
Rutiner kring tentamina
I Chalmers Studentportal kan du läsa om när tentor ges och om vilka regler som gäller kring att tentera på Chalmers.
Vid tentamen ska du kunna uppvisa giltig legitimation och kvitto på erlagd kåravgift.
Du kan själv gå in i Ladok, via inloggning i Studentportalen, för att se dina resultat.
Granskning vid ordinarie tentamen:
Då det är praktiskt möjligt ordnas ett separat granskningstillfälle av
tentamen. Tidpunkt för detta meddelas på kurshemsidan. Den som inte kan
delta vid granskningen kan efter granskningstillfället hämta och granska
sin tenta på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se
information om öppettider. Kontrollera att Du har fått rätt betyg
och att poängsumman stämmer. Eventuella klagomål på rättningen ska
lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.
Granskning vid omtentamen:
Tentorna granskas och hämtas ut på Matematiska vetenskapers
studieexpedition, se
information om öppettider. Eventuella klagomål på rättningen ska
lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.
Kursvärdering
Utvärderingen sker genom samtal mellan lärare och studentrepresentanter under kursens gång samt vid ett möte efter kursens slut då enkätresultatet diskuteras och rapport skrivs.
Se följande mall för Utvärdering av kurser i studentportalen.
Kursutvärderare:
Linda Hoang, hoangl@student.chalmers.se
Felix Ågren, felixag@student.chalmers.se
Länk till enkäten för mittkursutvärderingen (vänligen besvara senast fredag 9/2)
Gamla tentor
Lista av fel
och oklarheter i lösningsförslagen nedan
2017-08-22
2017-06-07
och Figur
1
2017-03-11
och Figur
1
2016-08-23
med lösningar
2016-04-02
med lösningar
2016-03-14
med lösningar
2015-08-25
med lösningar
2015-04-14
med lösningar
2015-03-16
med
lösningar
2014-08-25
med svar
och lösningar
2014-03-10
med svar
och lösningar
2014-01-14
med svar
och lösningar
2013-08-26 med svar
och lösningar
2013-03-16
med svar
och lösningar
2013-01-14 med svar
och lösningar
(eller snarare lösningsanvisningar).
2012-08-24
med svar
och lösningar
2012-03-08
med svar
och lösningar
2012-01-11
med svar
och lösningar
(Uppgift 1(c) kan överhoppas.)
2011-08-23
med svar
och lösningar
2011-03-17
med svar
och lösningar