MVE035, Flervariabelanalys, 2017/18

Aktuella meddelanden


Mar 10, 19.20: Här är dagens tenta med lösningar och Figur 1


Feb 19, 13.15: 1. Dugga 3 har precis öppnat kl 13.00 och stänger kl 23.59 på fredagen den 2/3. Den innehåller 11 uppgifter, varav 8 handlar om kurvintegraler och 3 om ytintegraler. För kurvintegraler, har vi i princip tre olika verktyg: (i) direkt parametrisering (ii) framtagande av potential för ett konservativt fält (iii) Greens sats. Notera att alla 3 ytintegrallsuppgifterna handlar om integration av skalärfält. Därmed räcker de verktyg vi har lärt oss i avsnitt 3.1 och 8.2 (kolla i synnerhet Exempel 9, s.309-310).  Minst 8/11 krävs för att bli godkänd.

2. Jag hoppar runt lite i Kapitel 9 och presenterar inte materialet i samma ordning som i boken (snarare i en ordning som jag föredrar). Vi är nu klara med 9.1, förutom de två fysikaliska exemplen i Exempel 4 och 5. Vi har gått igenom en del av 9.4, nämligen Definition 9.4.2 och Sats 9.4.2. Notera att Exempel 5 utvecklas flera ggr under kapitlet, i Exempel 8, 9 och 14. Magnetfältet är ett viktigt exempel också ur teoretiskt perspektiv och jag kommer att gå igenom den. Det elektrostatiska fältet (exempel 4) är ur teoretiskt perspektiv ekvivalent med gravitationsfältet. Den centrala teoretiska poängen är jämförelsen mellan gravitationsfältet/elektrostatiska fältet och magnetfältet, och därför kommer jag att behandla alla dessa fysikaliska exempel tillsammans, och först efter att jag bevisar Greens sats (9.2.1), som är kapitlets viktigaste sats, och dess omedelbara konsekvens, Sats 9.4.5.

3. Eftersom vi har en föreläsning på fredag e.m. denna vecka, så gäller följande för de tavelgrupper som ska ha sina övningar på fredag f.m.:

(i) på övningen förväntas ni täcka endast må, ti och to föreläsningarna. Ni kan om ni vill läsa själva det som ska gås igenom på fredag f.m. och inkludera detta i presentationen, dock är det inget krav. Jag kommer att ge en uppdatering efter torsdagens föreläsning var vi ligger. Som det ser ut nu så är det min förhoppning att vi blir klara med Kapitel 9 på torsdag, men det är oklart om vi kommer igång med Kapitel 10 först på fredag eller tidigare.

(ii) om ni väljs ut för måndags-presentationen, så förväntas ni då täcka också fredagens föreläsning

(iii) den skrifltiga rapporten ska täcka också fredagen.

4. RÄTTELSE:

Som någon påpekade efter föreläsningen så gjorde jag något riktigt korkad i sista exemplet. Fältet G = F + (0,0,z) ÄR konservativt, det är bara att lägga till z^2/2 till potentialen, alltså en potential för G är

V(x,y,z) = 2x z^3 + y^2 z^3 + z^2/2.

Vill man ha ett exempel som skulle trots allt illustrera den poäng jag ville illustrera så tag följande:

G = (2z^3, 2y z^3, 6x z^2 + 3 y^2 z^2 + xz)

\gamma = {r(t) = (3t^2 - t, 3 sin(t*pi/2), t^2 + 3t), 0 <= t <= 1}.

Nu är G definitivt INTE konservativt, men G = F + (0,0,xz). Kurvan går fortfarande från (0,0,0) till (2,3,4). Så samma strategi ger

\int_{\gamma} G * dr = \int_{\gamma} F * dr + \int_{0}^{1} (3t^2 - t)(t^2 + 3t)(2t+3) dt

Den första integralen är 832 pga konservativt F.
Den andra integralen är lätt om än lite långrandig .... Poängen är att den jobbiga y-termen i parametriseringen försvinner.


Feb 6, 16.42: 1. Som jag meddelade igår (och flera personer har också skrivit till mig) så har det varit en försening med att lägga upp Dugga 2, pga strul med Maple-TA systemet. Nu ska den vara färdig och den öppnar kl 17.01 idag. Jag har skjutit upp tidsgränsen så att den stänger den 18:e (söndag), kl 23.59. Jag har också utökat antalet uppgifter, ty förra året fanns det inga uppgifter om trippelintegraler i databasen, bara dubbelintegraler. Duggan består nu av 16 uppgifter, varav 13 handlar om dubbelintegraler och 3 om trippelintegraler. Godkändgränsen är 10/16, så man kan bli godkänd utan att göra trippel-uppgifterna. Ni uppmanas dock att göra dessa också.

Låt mig veta om det skulle bli problem efter kl 17 idag med att arbeta med duggan.

2. Mittenkäten är nu uppe på hemsidan, under rubriken "Kursutvärdering". Fyll gärna i den och helst senast på fredag. Tanken är att kursrepresentanterna ska kunna sammanställa resultaten under helgen och sedan träffa mig över lunch på måndag.

3. Vi har ett lite konstigt upplägg denna vecka med övningspass imorgon och på fredag och en föreläsning däremellan. De 4 uppgifterna som ska demonstreras handlar om trippelintegraler. I synnerhet behandlas integration i cylindriska och sfäriska koordinater, samt begreppet "masscentrum". Vi kommer att gå igenom alla dessa tre på torsdag. Det innebär att det kan make:a mer sense att gå på demos:en på fredag, om ni har möjlighet.  Övningsledarna kommer dock att vara beredda att demo:a imorgon också.

Denna vecka är det Björn och Felix för demos. OBS! De byter salar, så Felix ska vara i FL:64 och Björn i FL:71. Detta är ett hemligt experiment :) Oscar tar eget arbetare i FL:72, som i Time Edit.


Feb 5, 14.10: 1. Vi är nu färdiga med Kapitel 6, och är mitt inne i en enhetlig studie av integraler i dimension > 2, som täcker Kapitel 7, 8.1 och 8.4 i boken.

Det jag pratade om under första halvan idag finns i avsnitt 6.2, dock med små skillnader i presentation och utan vissa saker som jag nämnde - mer detaljer nedan. Ni förväntas kunna definitionen av begreppen "nollmängd (i R^2)" och "kvadrerbart område". I övrigt kommer inga bevis härifrån att examineras.

(i) Begreppen "nollmängd" och "kvadrerbart område" definieras i Definition 4, s.242.
(ii) Lemma 6.2.1 är det jag kallade "Lemma 1" idag. Det är det lemmat som är nyckeln till att Fubinis sats kan utvidgas till Sats 6.2.4.
(iii) Definition 3, s.241 ska jämföras med det jag kallade för en "Sats", men som har samma syfte: att definiera vad som menas med att en funktion f(x,y) är "integrerbar" över ett kvadrerbart område D och vad värdet på \iint_{D} f(x,y) dx dy ska vara. Poängen är att om randen är en nollmängd så ska den inte bidra med något/fucka upp det hela. Boken formulerar den ideen i Lemma 6.2.3. Jag formulerade den typ såhär:

Integrerbarhet <=> Def. 1, s.233 ska uppfyllas för den utvidgade funktionen f_D.

Notera nu att om man gör ett rutnät och tar en ruta som korsar randen till D, så kommer f_D att vara mycket diskontinuerlig just i den rutan, ty den är identiskt noll utanför D. Det betyder att det blir svårt att approximera f_D uppåt och neråt med trappfunktioner just i dessa rutor. Men om randen är en nollmängd så spelar det ingen roll, ty randens area är noll så dess bidrag till integralen för en trappfunktion blir försumbart då man tar ett finare och finare rutnät.

Som jag nämnde på föreläsningen så kommer alla områden vi stöter på i denna kurs att ha styckvis C^1-ränder (begreppen C^1-kurva och C^1-yta kommer att definieras precist i avsnitt 3.1 och 8.2 resp.), och det kan bevisas att dessa är alltid nollmängder. Boken nämnar inte det faktum att det finns C^0-kurvor som inte är nollmängder ("space-filling curves"), men notera att sådana inte kan komma från funktionsgrafer pga Lemma 6.2.1. Så sådana kurvor är rätt "exotiska".

Boken nämnar inte alls Lebesgues integralbegrepp, men jag tyckte det var värt att notera att ideen är att definiera volymen av en mängd i termer av övertäckningar, precis som i definitionen av nollmängd. I Lebesgues teori kan man täcka med godtyckliga öppna bollar (inte bara axelparallella rätblock) och med ett uppräkneligt antal.

Förresten, anledningen till att man använder bokstaven \mu för att beteckna volymer i allmänhet är för att \mu är en Grekisk m och m står för "mått (measure)", som är det ord som används i stället för "volym" i den allmänna teorin.

2. Någon påpekade idag att det fanns inga rekommenderade uppgifter om avsnitt 6.5. Jag har därför lagt till uppgifter 6.30, 6.32 och 6.51 som rekommenderade.

3. Någon frågade också om Exempel 1, s.300. Nu fattar jag det exemplet. Om den person som frågade är väldigt nyfiken, kom förbi mitt kontor. Annars berättar jag på torsdag.

4. Dugga 2 skulle öppna kl 14.00, men det kommer att bli en försening. Det har varit struligt med att arbeta som lärare i Maple-TA under helgen (alla i huset har haft problem) och även om jag just nu har åtkomst så litar jag inte på att problemen är borta. Jag meddelar så snart jag vet när Dugga 2 ska öppna.

Så långt vi vet så har problemen inte påverkat registrering i Ping Pong av godkända Duggor 1, men om du tror att du har en godkänd dugga som inte blivit registrerad hör av dig.


Feb 4, 14.40: Jag har bestämt mig för att göra följande ändringar, som nu syns på kurshemsidan:

1. Avsnitt 8.3 utgår. Mer precis, det ska fortfarande betraktas som en del av kursen men är INTE examinerbart. M.a.o. begreppet "tröghetsmoment" kommer inte att finnas på tentan. Jag kommer att prata om det väldigt kort på föreläsningen (imorgon troligen), bara skriva upp och motivera formeln, och sedan är det helt frivilligt att läsa avsnittet själva. Jag tror ej vi förlorar något på detta, det är bara en av flera liknande mekaniska tillämpningar och den som är beräkningsmässigt mest jobbig. Jag har tagit bort uppgifter 8.23 och 8.34 från listan av rekommenderade uppgifter, för de handlar om tröghetsmoment.

2. Däremot har jag lagt till Exempel 7.2.7 till teori-PM:et, alltså till listan av examinerbara bevis. Det är ett snyggt exempel på användandet av nivå(hyper)ytor i integralberäkning (en generalisering till ett godtyckligt antal variabler av metoden i avsnitt 6.5 alltså). Vi kommer förhoppningsvis att hinna till detta exempel imorgon, annars på torsdag.


Feb 1, 16.36: 1. Vi är nu nästan klara med Kapitel 6. Det återstår lite teori, typ

(i) motivering av Fubinis sats för rektangler (Sats 6.1.2 och 2:a halvan av Sats 6.1.3). Notera att dessa bevis står inte i teori-PM:et och kommer inte att vara direkt examinerbara
(ii) utvidgning av teorin till mer allmänna områden i planet: definition av begreppen kvadrerbat område, reguljärt område, och presentation av Sats 6.2.4. Här kommer jag att vara ganska översiktligt. Definitionerna ska betraktas som examinerbara men inte några bevis.

Jag måste också fortfarande ta upp de två "out-of-left-field" sakerna jag nämnde i tisdagens mail.

Förhoppningsvis tar allt ovan inte mycket mer än 30 minuter på måndag.

2. De kommande två läsveckorna har vi bara 2 föreläsningar per vecka. De som ska tavelpresentera på fredag i Lv 5 ska alltså behandla materialet i dessa 4 föreläsningar. Det finns i princip 2 mål under dessa två veckor:

(i) utvidga denna veckas material till ett godtyckligt antal variabler, och i synnerhet tre variabler (där det också förekommer mekaniska tillämpningar). Materialet finns i Kapitel 7 samt 8.1, 8.3, 8.4.
(ii) integration längs kurvor och över ytor. Detta kan betraktas som en sorts övergång mellan Del 2 av kursen ("Integration") och kommande Del 3 ("Vektoranalys"). Materialet finns i avsnitt 3.1 och 8.2.

3. En sak från idag som jag tänkte i efterhand kanske inte var helt uppenbart för folk vad det betydde:

Låt a <= b och c <= d vara reella tal. Notationen [a,b] x [c,d] syftar på den Cartesiska produkten av två intervaller och är samma sak som rektangeln i xy-planet {(x,y) : a <= x <= b, c <= y <= d}

Om man tar i stället [a,b) x [c,d), dvs intervallerna är öppna till höger, innebär det att man tar bort den övre och den högre sidan från rektangelns rand.

När vi definierade begreppet "trappfunktion" var vi tvungna, rent formellt, att se till att varje punkt i den stora rektangeln hamnade i EN delrektangel, därför halvöppna intervall. Detta innebär att om en punkt ligger på en kant mellan två delrektangler så hör den till den delrektangel som ligger
- direkt ovanför, om det är en vågrät kant
- direkt till höger, om det är en lodrät kant

Notera att på så sätt har vi i vår definition egentligen gjort en indelning av den halvöppna stora rektangeln [a,b) x [c,d), dvs vi har tagit bort 2 sidor på randen. Det påverkar inte teorin för dessa har ingen area och därmed bidrar ingenting till en integral. Denna punkt tas också upp i boken (s. 228, fotnot 1).


Jan 30, 16.06:

LÄGET:

När det gäller räknemetoder så har vi täckt 6.1 och 6.2 och knappt kommit igång med 6.4. Det återstår att behandla teorin i 6.1 och 6.2 mer rigoröst. Avsnitt 6.3 är ren teori. Jag kommer att säga några välvalda ord om Riemannsummor när vi behandlar teorin men detta avsnitt kommer INTE att examineras direkt.

Rättelse: Sista uppgiften idag (som vi bara började med, vi bytte till polära och visade att det blev konstanta integrationsgränser) skulle ha varit 6.16 i boken. Jag skrev integranden som 1/(1+y^2)^2. Det borde ha varit x*y i täljaren (se övningsboken). Denna uppgift är intressant för det går faktiskt också att integrera i Cartesiska koordinater - det är t.o.m. en av uppgifterna som ska demonstreras imorgon (se nedan). Jag ska också visa på torsdag hur uppgiften löses med polära koordinater.

ÖVNINGAR IMORGON:

1. Det blir Björn (FL64) och Oscar (FL72) för demos medan Felix (FL71) tar "eget arbetare". Det kanske finns en risk att Björn blir översvämmad för att han är en trappa längre ner i huset, så försöka sprida ut er.

2. Jag har ändrat lite vilka uppgifter som ska demo:as (övningsledarna är redan informerade), enligt följande:

(i) För 3.9, så gör vi (d) i stället för (b), samt utvidgar uppgiften till följande formulering:

"Bestäm funktionalmatrisen till avbildningen ... och ange var funktionaldeterminanten är nollskild. Använd funktionalmatrisen för att bestämma approximativa värden för (y_1, y_2) då x_1 = 1.02, x_2 = 0.98, samt jämför med de exakta värdena".

(ii) 3.24 ersätts med 3.28, där andraderivatan z_{xy} i punkten (0,1,1) ska också beräknas. Notera att det finns en lösning i boken, men inte till tillägget naturligtvis.

(Iii) 6.16: Det är meningen att man ska använda Cartesiska koordinater så vi gör så (man kan också byta till polära, men jag tar detta som ett exempel på torsdag). I mån av tid ska uppgiften lösas två ggr, först med att integrera först m.a.p. x och sedan först m.a.p. y i stället. Om jag har räknat rätt så blir det ungefär lika svåra räkningar i de två fallen.

(iv) Vi gör 6.21 som planerad, men notera att det kräver byte till polära koordinater. Därför måste Sats 6.4.6, som vi inte ännu har skrivit upp på föreläsningarna, användas. Övningsledarna ska indikera vad som gäller men ska bara ge motivering i mån av tid (för det är något vi tar upp på torsdag i alla fall).

ETT PAR SAKER OUT-OF-LEFT-FIELD:


Det finns minst 2 saker som jag har tänkt på där jag tycker jag behöver säga lite mer för att vara helt öppen/sanningsenlig, nämligen

(i) kopplingen mellan Inversa Funktionssatsen och "godkända" variabelbyten
(ii) generalisering av begreppet "primitiv funktion" eller, mer precis, av Kalkylens Fundamentalsats, till flera variabler.

För krånglig att gå in på här, men jag kommer troligen att ägna 5-10 minuter på torsdag åt att kommentera dessa saker.


Jan 25, 17.20: 1. Vi är nu klara med Kapitel 2, samt 3.2, 3.3 och en del av 3.4. När det gäller 3.4 så har vi i princip kommit så långt som Sats 3 på s.148. Det som återstår är

(i) Implicita funktionssatsen för ett godtyckigt antal variabler (svårt att hitta explicit i boken, men formuerlingen är i princip identisk med Sats 3, förutom mer notation)
(ii) ett par exempel.

Detta borde vi klara av inom 30 minuter, alltså 1:a halvan av måndagens föreläsning efter den 15-minuters tavelpresentationen. Sedan forstätter vi med "Del 2" av kursen, integration i flera variabler (Kapitel 6).

Förresten jag har inte pratat alls på föreläsningarna om "differentialer" (avsnitt 2.7 i boken). Det finns inget nytt där egentligen, det handlar bara om linjärisering uttryckt i lite alternativa termer. Ni kan läsa avsnittet själva om ni vill, det kommer inte att examineras direkt.

2. Dugga 1 ska ha öppnat för några minuter sedan. Förhoppningsvis ska buggarna från förra året vara borta, men eftersom det är 1:a gången ni använder Maple-TA så blir jag oerhört förvånad om det inte blir några problem alls. Skicka mail om ni har frågor.

Några saker att tänka på:

(a) du kan få omedelbar feedback när du besvarar en uppgift, genom att klicka på rätt knapp, typ "Verify" eller "how did I do ?", beror på uppgiften.
(b) om du har gjort en del uppgifter och vill ta en paus, klicka på "Save and close" innan du stänger fönstret. Då sparas duggan så att du får samma uppgifter när du öppnar igen, och i synnerhet behöver inte göra om de uppgifter som du redan har besvarat rätt. Klicka INTE på "Submit" förrän du är färdig, för om du gör det och har < 10 rätt så kommer du att få en helt ny dugga när du öppnar igen och måste börja om från början. Du kan submitta så snart du har 10 rätt, men du kan göra fler uppgifter om du vill (isf vänta med att submitta). När du submittar så registreras att du är klar automatiskt i Ping Pong - du borde alltså kunna se detta under "Mål och framsteg".
(c) vissa uppgifter är multiple-choice och default inställningen i systemet är att man får bara ett försök. Svarar man fel så får man en helt ny fråga. OBS! Alla deltagare får samma "typer" av frågor men de specifika koefficienterna i funktionerna osv genereras slumpmässigt.

Några syntax-relaterade saker:

Det vanligaste problemet när folk börjar med Maple-TA är att de använder fel syntax när de skriver in svaren, i vilket fall systemet säger att man har fel även om man "har rätt". Det lär säkert dyka upp problem som jag inte har tänkt på - isf fråga mig eller en övningsledare bara. Här är några saker som slår mig direkt:

(i) tänk på att * tecknet måste alltid skrivas vid multiplikation. Så t.ex. det finns en uppgift där man ska ange ekvationen för ett tangentplan. Så om svaret är ax+by+cz=d måste du skriva in a*x+b*y+c*z=d.

(ii) det finns en uppgift där man ska ange en normerad vektor som svar (tror det handlar om i vilken riktning en given funktion växer snabbast). Pga normeringen så lär man behöva dela med roten ur ngt. Syntax för detta är sqrt(x). Så t.ex. svaret skulle kunna vara (1/sqrt(5), -2/sqrt(5)).

(iii) det finns en uppgift där man ska ange en 2x2 eller 3x3 funktionsmatris. I svarsrutan ska det finnas en grafisk interface. Klickar man på ikonen med en 3x3 rutnät av prickor så får man upp ett fönster där man sedan skriver in antal rader och kolumner för sin matris. Då får man upp en matris av den korrekta storleken och ska mata in de korrekta talen (jag tror att default är 1,2,3,4,... så man måste ändra dem).


Jan 23, 14.50:

ALLMÄNT OM LÄGET:

Jag hade hoppats bli klar med 2.6 idag så vi ligger lite efter, kanske 45-60 minuter. Det är just i detta avsnitt där skillnaden är störst mellan hur boken presenterar materialet och hur jag gör på föreläsningarna, så jag vill förklara lite mer exakt vad skillnaden är. De extra anteckningarna som finns på hemsidan (under "Program, Lv 2") följer min presentation. Jag hänvisar till dem nedan.

Sats 1, som jag skrev upp i slutet på dagens föreläsning och som handlar om klassificering av kvadratiska former i 2 variabler i termer av deras koefficienter, finns INTE i boken.

OBS! Det fanns ett misstag i hur jag skrev upp satsen idag. Om formen är Q(x,y) = Ax^2 + Bxy + Cy^2 så är det tecknet på AC - (B/2)^2 som är relevant, inte den på AC-B^2 såsom jag skrev imorse. M.a.o det är tecknet på AC-B^2 som gäller om formen skrivs som Q(x,y) = Ax^2 + 2Bxy + Cy^2. Så står det i anteckningarna.

Hur som helst, tillbaka till skillnaden med boken: Sats 2, som följer från Sats 1, finns inte heller i boken. Det är den satsen som gäller vid tillämpning till klassificering av kritiska punkter för funktioner av 2 variabler. Jag kommer att använda den satsen vid problemlösning. Notera att de flesta calculus böcker innehåller den satsen, PB är lite udda i detta avseende.

Så vad gör PB ? Ju, jag tycker inte om presentationen där och kan sammanfatta den med att säga att de återuppfinner hjulet vid varje uppgift. Om du kollar beviset av Sats 1 så ser du att det viktiga steget är ekvation (1.2), alltså s.k. "kvadratkomkplettering" av den kvadratiska formen. Så i slutändan vilar både Sats 1 och Sats 2 på kvadratkomplettering av kvadratiska former. I boken så genomför dem kvadratkompletteringen i varje uppgift för sig, de konstaterar aldrig det allmänna mönstret. Lite dumt kan man tycka ...

ÖVNINGAR IMORGON:

Jag har lagt till en uppgift att demonstrera, som ligger i en fil på hemsidan (under "Demo, Lv 2"), för det är bra tycker jag med lite mer träning om variabelbyten i partiella derivator av ordning 2. Uppgift 2.67 handlar om framtagning och klassificering av kritiska punkter för en funktion av 2 variabler, och vi har inte ännu gjort någon sådan uppgift på föreläsningarna. Jag vill att övningsledarna ska tillämpa Sats 2 vid klassificeringen, alltså gör INTE som i boken med att ta fram en kvadratkomplettering av den kvadratiska formen (men om du har tid så kan du visa också hur det går till). När det gäller 2.70, det som gör det speciell är att det finns 3 variabler och den kvadratiska formen är tillräckligt enkel så man kan visa direkt att den är indefinit - den allmänna matrisformuleringen av 2:a derivatans test ska vi inte gå in på, men det står i anteckningarna på hemsidan. 

Notera att det blir Felix (FL71) och Oscar (FL72) som demonstrerar imorgon, medan Björn (FL64) tar "eget arbetare".

KURSUTVÄRDERING:

Kursrepresentanternas namn och email adresser finns nu på hemsidan.


Jan 22, 18.30: 1. Jag har lagt upp på hemsidan ett bevis av Sats 2.3.4 för ett godtyckligt antal variabler (boken behandlar endast 2 variabler). Den ligger under "Program, Lv 1". Det är ganska mycket notation så låt mig veta om du tror att du har hittat ett tryckfel.

2. Schemat för tavelövningarna i Lv 6 blir preliminärt:

6B: Felix
6C: Oscar
6D: Peter
6E-1 (MV:L14): Peter
6E-2 (MV:L15): Björn

Notera dock att Grupp 6B just nu har endast 3 medlemmar. Det krävs ett absolut minimum av 4 för att gruppen inte ska upplösas.

3. Kursrepresentanterna har nu valts ut. De hälsade på mig idag men jag väntar fortfarande på deras kontaktinfo. Så snart jag får den lägger jag upp den på hemsidan, under "Kursutvärdering". Ni får vända er till dem om ni har kommentarer/synpunkter som ni inte vill dela med mig direkt.

4. Inställningarna för Dugga 1 ska nu vara fungerande i Ping Pong. Om du loggar in i PP så borde du se en rubrik "Dugga 1, 2018". Om du klickar på den ska du få upp en ruta där det står

"Duggan öppnar kl 17:01 på torsdagen den 25 januari".

Duggan nås genom att sedan klicka på länken "Öppna extern sida (nytt fönster)". Gör du detta just nu ska du få upp

"Error: This assignment will not be available until 5:00:57 PM CET on 1/25/18."

Som sagt, det ska fungera fr.o.m. när duggan öppnar. Jag återkommer på torsdag med några dos-and-donts som ofta ställer till det för folk första gången de använder Maple-TA.

Kolla dock gärna att det funkar just nu såsom jag beskrev ovan, för gör det inte det så kommer det inte heller att funka på torsdag så jag måste veta innan för att kunna åtgärda det.


Jan 21, 14.20: 1. Nu ligger ett Teori-PM uppe på årets hemsida, under rubriken "Kurskrav". Listan av examinerbara bevis ska inte ännu betraktas som slutgiltig - jag meddelar försåt så snart en eventuell ytterligare ändring görs. Dock är listan slutgiltig för Kapitel 2. Skillnaderna jämfört med förra året är just nu följande:

Kapitel 2: Sats 9 har lagts till men Sats 6 har tagits bort.
Kapitel 10: Satser 1 och 2 har lagts till.

2. Det finns extra anteckningar på hemsidan (under "Program") för materialet i avsnitt 2.6 som vi kommer att gå igenom imorgon och på tisdag. Det är kanske bra att kolla/skriva ut de filerna innan föreläsningarna för jag kommer att följa dem mer än boken.

3. Lv 6 är nu också fullbokad för tavelpresentationerna men det finns lediga platser i flera grupper och ni som inte ännu har bokat uppmanas att i första hand försöka klämma in er i de befintliga grupperna.


Jan 19, 13.15: Grupp 1A ska presentera på måndag.

Förresten, bara 1 av 5 grupper idag nämnde Sats 2.2.3, att f \in C^1 => f differentierbar. Den satsen har kanske inte gjort så stort intryck på er så jag vill bara säga vad jag tycker den är bra för.

Nämligen, det är ofta mycket enklare att kontrollera att en funktion är C^1 än att kontrollera DIREKT att den är differentierbar. Om man har en explicit formel för f och vill kolla direkt att f är differentierbar, så måste man stoppa in denna formel i linjäriseringsformeln (\bm{ } indikerar en vektor)

f(\bm{a}+\bm{h}) = f(\bm{a}) + \bm{h} \cdot \nabla f (\bm{a}) + ||\bm{h}|| \rho(\bm{h})

och sedan BEVISA att \rho(\bm{h}) går till noll då \bm{h} går till nollvektorn. Detta kan bli onödigt krångligt.

Däremot är det oftast uppenbart att f kan partiellt deriveras och att de partiella derivatorna är kontinuerliga funktioner.


Jan 18, 18.05: Lv 3 och 5 är nu också fullbokade för tavelpresentationerna och vilka övningsledare som gäller blir så här:

3B: Felix
3C-1 (MV:L14): Oscar
3C-2 (MV:L12): Björn
3D: Peter
3E: Peter

5B: Felix
5C: Oscar
5D-1 (MV:L14): Peter
5D-2 (MV:L15): Björn
5E: Peter

För ni som inte har bokat ännu så är det Lv 6 eller 7 som gäller, alternativt klämma in er i en tidigare grupp som just nu har < 6 medlemmar.


Jan 18, 16.30: Efter dagens föreläsningar är vi i princip klara med avsnitt 2.1 - 2.5. Notera att beviset av Sats 2.5.9 är examinerbart - det står inte i förra årets Teori-PM men är en av de satser som jag vill tillägga i år.

Kanske den svåraste grejen denna vecka när det kommer till att faktiskt lösa uppgifter är variabelbyten i PDE och hur man använder kedjeregeln vid dessa, i synnerhet när PDEn är av ordning 2, för då måste kedjeregeln tillämpas 2 ggr, och särskilt vid 2:a tillämpningen måste man vara väldigt försiktigt för att inte missa något. Vågekvationen idag var ett exempel på detta men vi gick igenom det lite hastigt, så jag ska räkna något exempel till på måndag innan vi går vidare. Notera att det finns många uppgifter på gamla tentor där man ska göra ett variabelbyte i en PDE av ordning 2.


Jan 17, 14.25: 1. Några uppdateringar om tavelpresentationerna:

(a) Jag har lagt upp på hemsidan två dokument från Hans Malmströms föredrag imorse.

(b) Det är nu bestämt vilka övningsledare som tar vilka pass i Lv1 och Lv2. Första veckan är det egentligen jag som "tar" varje pass, övningsledarna är med för att se hur det funkar. Fr.o.m. Lv 2 så sköts varje pass av en person. Det är den personen som gruppen ska sedan lämna in sin skriftliga rapport till. Allas email adresser finns på kurshemsidan.

Förresten finns det inga hårda deadlines för när dessa skriftliga rapporter ska lämnas in, men lämpligen ska första versionen lämnas in tidigt under veckan efter fredagspasset. Ni ska få respons från ansvariga övningsledare och sedan lämna in en andra slutversion (som ni inte får kommentarer på oavsett hur den ser ut). Alla dessa slutversioner ska sedan läggas upp på kurshemsidan. OBS! Av detta skäl vill jag helst ha en pdf fil. Jag föredrar också att den är skriven i Latex, men detta är inte ett krav.

Lv 1:

1A: Peter, Felix
1B: Peter, Felix, Oscar
1C: Peter, Oscar
1D: Peter, Björn
1E: Peter, Björn

Lv 2:

2B: Felix
2C: Oscar
2D: Peter
2E-1 (MV:L15): Peter
2E-2 (MV:L14): Björn

(c) För ni som inte har bokat ännu: Lv 1 och Lv 2 är nu fullbokade. Kom ihåg att det går att boka två grupper parallellt, så länge antalet grupper per vecka inte överstiger 5, och ni uppmuntras att göra detta för att slippa 07.30 pass. Just nu finns det en lucka kvar i Lv 3 och en i Lv 5. I båda fallen är 07.30 ledig, men man måste inte välja den tiden - man kan i stället välja en tid parallell med en annan grupp.

2. Jag har fått några frågor om filen "Teori-PM", kanske från folk som inte har varit på föreläsningarna. Ni kan för tillfället kolla förra årets fil, men för i år ska den uppdateras (utökas). Jag hoppas kunna lägga upp årets fil i slutet på denna vecka. Jag mailar så snart den är redo.


Jan 16, 12.41: 1. En sammanfattning av var vi ligger i boken just nu: Den sista satsen som jag bevisade idag (med en lite hastig avslutning) är Sats 2.3.4 i boken. Det jag kallade "Steg 1" i utvidningen av kedjeregeln till flera variabler är ekvation (16) på s.61. Den första "riktiga" satsen idag, om att en C^1-funktion är differentierbar, är Sats 2.2.3. Propositionen att konstanterna i linjäriseringsformeln är de partiella derivatorna är Sats 2.2.2.

De övningar som ska demonstreras imorgon av Björn och Felix är de som står i programmet på hemsidan och behandlar material som täcks av satserna ovan. Jag har inte räknat så många uppgifter ännu under föreläsningstid men det kommer att bli lite mer sådant också på torsdag.

Notera att bevisen av Satser 2.2.3 och 2.3.4 är examinerbara.

2. Listan av tavelgrupper uppdaterades för 30 minuter sedan. Hittills är 12 grupper anmälda, så gott om plats kvar.

OBS! Från och med Lv 2 är det möjligt att boka 2 grupper parallellt, men fortfarande upp till ett maximum av 5 grupper per vecka. Med parallella bokningar kan vi (i) kanske slippa gå upp väldigt tidigt på morgonen (ii) ge lite mer ansvar till övningsledarna. Under Lv 1 kommer jag att vara med på varje pass tillsammans med en av övningsledarna, så att de kan "learn the ropes". Därefter ska de kunna hantera grupper självständigt.

Varje gång en parallell bokning görs så måste jag boka en till sal för den andra gruppen (MV:L14 är vår default sal, förutom i Lv 2 då MV:L15 är default).  Vilka salar som gäller vid parallella bokningar kommer att stå på listan av grupper på hemsidan. Dessutom kommer det att stå vilken övningsledare som tar vilken grupp då detta är bestämt.

3. Jag har lagt upp bilderna av andragradsytor som jag visade på gårdagens föreläsning. Ligger under "Program, Lv 1".


Jan 12, 12:00: Välkomna till kursen! Kursens schema finns i TimeEdit.

Lärare

Kursansvarig:

Peter Hegarty, hegarty@chalmers.se, Rum MV:L3032, x5371, 070-5705475

Övningsledare:

Björn Martinsson, bjomart@chalmers.se
Oscar Carlsson, osccarls@chalmers.se
Felix Rydell, gusrydefe@student.gu.se

Matlab:

Sköts av Jacques Huitfeldt, jacques@chalmers.se

Kurslitteratur

Persson/Böiers: Analys i flera variabler, samt tillhörande övningsbok.

Utlagt extramaterial, hittas under "Innehåll" i föreläsningsplanen nedan i "Program". En del av detta kan tillkomma under kursens gång. Dessa inslag är av karaktären alternativt bevis, generalisering (Taylors formel), eller exempel, och ska ses som extra belysning av de kursmoment som definieras av kursboken.

Program

Föreläsningar

Den typiska veckan har fyra föreläsningar: ungefär måndag morgon, tisdag morgon och torsdag för- och eftermiddag. Skillnaden är Lv 4 och Lv 5, som innehåller bara två föreläsningar var, en sorts halvtidshalvpaus, samt Lv 7 som innehåller bara tre föreläsningar. En stor del av Lv 8 förväntas kunna ägnas åt repitition.

För den som vill veta mera om hur man hittar de mystiska variabelbyten som kan användas för att lösa första ordningens PDE (övningar på kedjeregeln i kapitel 2) kan detta vara intressant att titta på.

Avklarat material markeras i grönt.


Läsvecka Avsnitt
Innehåll
1
2.1 - 2.5
Partiella derivator och differentierbarhet, tangent(hyper)plan, differentialer och linjär approximation. (Här är några bilder på andragradsytor i rummet)
Kedjeregeln och variabelbyten i partiella differentialekvationer. Här är ett bevis av Sats 2.3.4 för ett godtyckligt antal variabler.
Gradient och riktingsderivator.
Derivator av högre ordning. Här är ett aningen kortare bevis av Sats 2.9
2
2.6 - 2.7

3.2 - 3.4
Taylors formel (extra anteckningar)
Undersökning av lokala extrempunkter (extra anteckningar)
Vektorvärda funktioner
Funktionalmatris och funktionaldeterminant
Linjärisering i allmänhet
Implicta Funktionssatsen
3
6.1 - 6.6
Dubbelintegraler: att integrera funktioner av två variabler
Upprepad integration: Fubinis sats
Variabelbyten
Generaliserad integraler
4
7
8.1
8.3 - 8.4
Multipelintegraler
Volymberäkningar
Mekaniktillämpningar (OBS! 8.3 är ej examinerbart)
5
3.1

8.2
9.1
Parametrisering av kurvor: hastighet, fart, acceleration, kurvlängd och integration av skalärfält längs kurvor
Parametrisering av ytor: ytareor och integration av skalärfält över ytor
Kurvintegraler (arbetsintegraler)
6
9.1 (forts.)
9.2 - 9.4

10.1 - 10.2
Kurvintegraler (forts.)
Greens formel
Konservativa fält och potentialer (extra frivilliga anteckningar)
Ytintegraler (flödesintegraler)
Gauss sats
7
10.2 - 10.5


10.6
4.1
Gauss sats (forts.) och Stokes sats
Nablaräkning och mer om potentialer (en sats som sammanfattar nablaräkning)
Maxwells ekvationer och EM-vågor (OBS! ej examinerbart)
Optimeringsproblem i flera variabler: optimering på kompakta områden
8
4.2
4.3
5.1

Optimering på icke-kompakta områden
Optimeringsproblem med bivillkor
Derivering under integraltecknen (UTGÅR !)
Repitition, gamla tentor
Tentamen går 10/3, 14.00 - 18.00. Sista anmälan 21/2.


Rekommenderade övningsuppgifter

Vissa av de uppgifter som markerats med "Dem" i tabellen kommer att räknas på tavlan av övningsledarna.
Observera att problemlösning demonstreras i större skala på torsdagarnas andra föreläsningspass.
Fördelningen mellan kategorierna "Själv" och "Hemma" kan förstås förändras efter personlig smak.
Extra instuderingsuppgifter finns här. Uppgifter efter "Instud" i tabellen hittas här.
Ytterligare övningsuppgifter på kursen (med facit).


Läsvecka Kategori Uppgifter
1
Demo
Själv
Hemma
Kap 2: 1e, 2b, 8c, 21
Kap 2: 1ad, 2ac, 4, 5, 6, 8abd, 12, 13, 15, 23, 24                                                            
Kap 2: 1bc, 16, 17                                                                                                                                                                                  Instud: 1a
2
Demo
Själv
Hemma
Kap 2: 34, extra, 67, 70
Kap 2: 57, 28, 92, 86, 46, 62b, 68ab, 66, 94                       
Kap 2: 55, 30, 42a, 75, 61a, 63                                                                                                                                                             Instud: 1b, 3a    
3
Demo
Själv
Hemma
Kap 3: 9d, 28                               Kap 6: 16, 21
Kap 3: 9ac, 15, 14, 22, 24, 26     Kap 6: 5, 7, 9, 13, 15, 17, 19, 23, 25, 30, 38, 40
Kap 3: 12, 16, 20, 23                   Kap 6: 1, 3, 8, 10, 24, 26, 32, 40, 42, 51                                                                                                                                                       Instud: 2a, 4ab
4
Demo
Själv
Hemma
Kap 7: 4, 15                                 Kap 8: 7, 31         
Kap 7: 1, 3, 12                             Kap 8: 2, 3, 5, 6, 8, 11, 39     
Kap 7: 2, 8, 13                             Kap 8: 1, 10, 28, 29, 33                                                                                                                                                                           Instud: 4cde     
5
Demo
Själv
Hemma
                                                    Kap 8: 16                                     Kap 9: 4, 30, 39
                                                    Kap 8: 14, 21                               Kap 9: 2, 5, 31, 32, 34, 35 
Kap 3: 1, 2, 6, 8                           Kap 8: 17                                     Kap 9: 1, 5                                                                                                                                                    Instud: 5      
6
Demo
Själv
Hemma
Kap 9: 10, 24                               Kap 10: 62
Kap 9: 7, 13, 14, 25, 26c             Kap 10: 1, 8, 10, 13, 16, 18, 20, 26, 32, 61
Kap 9: 15, 23                               Kap 10: 10, 19, 25, 31, 63                                                                                                                                                                                 Instud: 6A
7-8
Demo
Själv
Hemma
Kap 10: 11, 23, 35, 54                 Kap 4: 6, 15, extra, 32                                 Kap 5: 5
Kap 10: 37, 40, 54, 58                 Kap 4: 8, 13, 16, 17, 18, 23, 30, 31, 48      Kap 5: 3, 4
Kap 10: 42, 52, 57, 69                 Kap 4: 2, 10, 14, 16, 20, 24, 28, 33            Kap 5: 7                                                                                                                                         Instud: 3b,2b2  
8
Under läsvecka 8 räknas också äldre tentauppgifter i samband med repetitionen.


Studieresurser

Datorlaborationer och övningar med Matlab

Matlabövningar:
         
Material för övningar hittas här. Obs: gå ner till särskild rubrik MVE035 Flervariabelanalys. Bonusuppgifterna kommer också lite senare på denna plats, liksom information om redovisning.
Matlabuppgifterna ger maximalt 3 bonuspoäng. Mera information gällande redovisning kommer här senare.

Om bonuspoängens giltighet, se under Examination


Referenslitteratur

  1. Material utvecklat av MV som ger en kortfattad introduktion till Matlab
  2. MATLAB for Engineers, Holly More
    Ger en introduktion till Matlab och kräver inledningsvis ingen matrisalgebra. Är utmärkt för självstudier.
  3. MATLAB-beräkningar inom teknik och naturvetenskap, Per Jönsson
    Kräver kunskaper i Matrisalgebra. Innehåller lite mer avancerade övningar och modelleringsuppgifter. Är utmärkt som referenslitteratur/uppslagsbok.

Kurskrav

Kursens mål finns angivna i kursplanen.

Vid tentamen ska man kunna formulera och förstå alla definitioner och satser som ingår i kurslitteraturen. Man ska också kunna tillämpa dem vid problemlösning.

Lite om teoridelen i examinationen finns i detta Teori-PM (senast uppdaterat 25/2, 15:05).

Duggor

OBS! Kopior av Duggor 1-3 samt en Dugga 4 med optimeringsuppgifter är tillgängliga mellan Mar 1, 19.00 och Mar 9, 23.59. Dessa är ej poänggivande men kan användas som träningsmaterial inför tentan.

OBS! Dugga 3
är tillgänglig mellan Feb 19, 13:00 och Mar 2, 23:59. Minst 8 poäng krävs för att bli godkänd.
OBS! Dugga 2
är tillgänglig mellan Feb 6, 17:00 och Feb 18, 23:59. Minst 10 poäng krävs för att bli godkänd.
OBS!
Dugga 1 är tillgänglig mellan Jan 25, 17:00 och Feb 4, 23:59. Minst 10 poäng krävs för att bli godkänd.

Om du blivit registrerad på kursen MVE035, får du tillgång till MapleTA via aktiviteten i Ping Pong.

Det blir totalt 3 duggor. Varje dugga ger 1 bonuspoäng till tentan, ett visst antal uppgifter i duggan ska då vara rätt lösta, men man kan göra om den obegränsat antal gånger så länge den är öppen.
Om bonuspoängens giltighet, se under Examination!

Det främsta syftet med duggorna är att du ska kunna kontrollera att du kan det som för tillfället är aktuellt i kursen. Samarbete är tillåtet och vällovligt, men själva duggan ska man göra själv, ingen annan får göra duggan, inte heller får man ta hjälp av programvara för att lösa uppgifterna. När du lämnar in duggan intygar du samtidigt att du förstått de svar du lämnat och att du på egen hand kommit fram till dem.

Varje exemplar av din dugga är öppet fram till stängning. Du kan välja att arbeta med samma dugga hela tiden, eller att öppna en ny (i så fall klickar du på SUBMIT på det gamla exemplaret och öppnar ett nytt).  För att arbeta med samma dugga hela veckan, låter du bli att klicka på SUBMIT förrän du känner dig klar. Detta rekommenderas!

På varje deluppgift som inte är en flervalsfråga (se längre ner om dessa) kan du kontrollera ditt svar genom att klicka på HOW DID I DO? Var det rätt eller fel? Du submittar ditt svar på den enskilda frågan genom att klicka på VERIFY.

Du kan göra om duggan så många gånger du vill så länge den är öppen - bästa resultatet räknas. Om du startar om med ett nytt exemplar får du inte samma uppgifter, men likartade.

Om du vill logga ut innan du är klar, så går det bra om du först klickar på SAVE & CLOSE. Nästa gång du loggar in har du kvar ditt exemplar så som du sist lämnade det. Högst uppe till höger på duggan kan du också se den tid du har kvar.

OBS! För alla flervalsfrågor gäller följande:

Du får endast en möjlighet att svara. Om du svarar fel så låses denna uppgift, du får alltså 0/1 poäng på uppgiften och måste få minst M/N-1 på de övriga uppgifterna för att duggan ska bli godkänd, där M är godkändgränsen och N är antalet uppgifter på duggan.

Det är alltså bara om du Submittar hela duggan och öppnar en ny att du kan få nya frågor.

När du vill rätta duggan klickar du på SUBMIT. Återigen: rekommendationen är att vänta med detta tills du gjort alla uppgifter och kontrollerat dem väl.

På den sida i MapleTA där du öppnar duggan finns en knapp GRADEBOOK uppe till vänster. Där visas alla dina registrerade resultat.

Hur skriver man? Generellt kan man säga att man ska skriva som man gör på en miniräknare. Tänk på följande:


Tavelpresentationer

Detta moment handlar om att sammanfatta och presentera material från föreläsningarna. Eftersom vi redan kör igång i Lv 1 är det speciellt viktigt att ni

(a) läser detta dokument med riktlinjer,
(b) läser detta underlag för övningarna (skrivet av Hans Malmström),
(c) anmäler er så snart som möjligt till projektgrupper. Boka plats i en övningsgrupp genom att skicka mail till hegarty@chalmers.se. Här är listan med gruppindelningar (senast uppdaterad 25/2, 16:40). Hör av er direkt om ni inte finns med i listan, eller om ni inte kan medverka av någon anledning den indelade veckan.

Sal MV:L14 är bokad för alla fredagsövningarna, förutom den 26/1MV:L15 gäller. Vid vissa tider har vi två parallella grupper, i de fallen är två salar bokade. Kolla gruppindelningen ovan för vilka salar som gäller !

Här är dokumenten från Hans Malmströms presentation den 17/1: Doc 1   Doc 2

OBS! Omregistrerade studenter från 2017 behöver göra detta moment endast om de inte gjorde momentet i fjol. Omregistrerade studenter från tidigare år behöver inte göra momentet alls.

Läsvecka 1: 1A    1B       1C       1D       1E
Läsvecka 2: 2B    2C       2D       2E-1    2E-2
Läsvecka 3: 3B    3C-1    3C-2    3D       3E
Läsvecka 5: 5B    5C       5D-1    5D-2    5E
Läsvecka 6: 6B    6C       6D       6E-1    6E-2
Läsvecka 7: 7A    7B       7C       7D       7E

Examination

Tentamen består av 7-9 uppgifter som normalt ger totalt 50 poäng. Därtill läggs de bonuspoäng som kommer från Matlabuppgifter och duggor. För godkänt på tentamen krävs minst 40% (så 20 poäng normalt), gränsen för betyg 4 är 60% (så normalt 30 poäng) och för betyg 5 gäller 80% (normalt 40 poäng).

OBS! De nämnda bonuspoängen från Matlab och mapleTA-duggor räknas vid ordinarie tentan i mars 2018, och omtentorna i juni 2018 och i augusti 2018.

För studenter som läser om kursen, så gäller inte eventuella bonuspoäng från tidigare år. Dock kan du göra om de bp-givande momenten precis som övriga studenter, så länge du är korrekt registrerad på årets kurs (som innebär att du syns som medlem i aktiviteten "MVE035 Flervariabelanalys V18" i Ping Pong).

OBS! För att få ett slutbetyg på kursen så måste man vara godkänd på tavelpresentationsmomentet. Maple-TA och Matlab är däremot helt frivilliga moment.

Följande formelblad kommer att bifogas tentatesen. Eventuellt kommer även andra formler att ges gratis på tesen för att underlätta uträkningar.

Här är en svensk/engelsk matematisk ordlista.

Rutiner kring tentamina

I Chalmers Studentportal kan du läsa om när tentor ges och om vilka regler som gäller kring att tentera på Chalmers.

Vid tentamen ska du kunna uppvisa giltig legitimation och kvitto på erlagd kåravgift.

Du kan själv gå in i Ladok, via inloggning i Studentportalen, för att se dina resultat.

Granskning vid ordinarie tentamen:
Då det är praktiskt möjligt ordnas ett separat granskningstillfälle av tentamen. Tidpunkt för detta meddelas på kurshemsidan. Den som inte kan delta vid granskningen kan efter granskningstillfället hämta och granska sin tenta på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se information om öppettider. Kontrollera att Du har fått rätt betyg och att poängsumman stämmer. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

Granskning vid omtentamen:
Tentorna granskas och hämtas ut på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se information om öppettider. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

Kursvärdering


Utvärderingen sker genom samtal mellan lärare och studentrepresentanter under kursens gång samt vid ett möte efter kursens slut då enkätresultatet diskuteras och rapport skrivs.
Se följande mall för Utvärdering av kurser i studentportalen.

Kursutvärderare
:

Linda Hoang, hoangl@student.chalmers.se
Felix Ågren, felixag@student.chalmers.se

Länk till enkäten för mittkursutvärderingen (vänligen besvara senast fredag 9/2)

Gamla tentor

Lista av fel och oklarheter i lösningsförslagen nedan

2017-08-22
2017-06-07 och Figur 1
2017-03-11 och Figur 1
2016-08-23 med lösningar
2016-04-02 med lösningar
2016-03-14 med lösningar
2015-08-25 med lösningar
2015-04-14 med lösningar
2015-03-16 med lösningar
2014-08-25 med svar och lösningar
2014-03-10 med svar och lösningar
2014-01-14 med svar och lösningar
2013-08-26 med svar och lösningar
2013-03-16 med svar och lösningar
2013-01-14 med svar och lösningar (eller snarare lösningsanvisningar).
2012-08-24 med svar och lösningar
2012-03-08 med svar och lösningar
2012-01-11 med svar och lösningar (Uppgift 1(c) kan överhoppas.)
2011-08-23 med svar och lösningar
2011-03-17 med svar och lösningar