MVE022, Linjär algebra I, 2018/19

Aktuella meddelanden

Tentan 191012 är färdigrättad och resultat rapporterade till Ladok. Har du inte fått nåt besked därifrån beror det på att du plussat utan att lyckats höja ditt resultat. Granskning: se under rubriken Tentamensrutiner.

Det blir tentasupport via ett videosystem på dator/laptop

Chalmers har bytt leverantör och använder nu Zoom som är lite annorlunda än det tidigare systemet. Kika på

MVE022 Tentasupport

för mer info. Där hittar du också länken till det virtuella klassrummet.

Bland de rekommenderade uppgifterna finns några med jämna nummer. Till dem finns inget facit i textboken. Här finns svar till dem.

Undervisningen startar måndag 25 mars med föreläsning 10.00 – 11.45 i Vasa A. Kursens schema finns i TimeEdit. Sök på Klass och välj TKIEK-1.

Ett häfte med bevis som man ska kunna redogöra för vid tentamen finns under rubriken Extramaterial (men också under Kurskrav).

Under övningar (konsultationer) och laborationer är klassen uppdelad i grupper enligt

  1. Grupp a: De med efternamn som börjar på A – Le.
  2. Grupp b: De med efternamn som börjar på Li – Ö

Grupp a har första övningstillfället i veckan och grupp b det andra. Lokalen är Vasa 4.
Grupp b har första labbtillfället i veckan och grupp a det andra. Lokalerna är Sal A och B i Vasa.

Denna kurs ersätter MVE021. Är du registrerad på den sen tidigare går det bra att göra tentor på MVE022. Enda skillnaden mellan de två koderna är att Matlab nu har rätt betygsskala.

"Äldre" studenter som vill göra duggor på kursen:

Lärare

Kursansvarig: Jan Alve Svensson (också examinator och föreläsare)
Övningsledare: Jan Alve Svensson
Labbhandledare: Hung Tran, Lisa Månsson, Jan Alve Svensson

Förändringar sen förra kurstillfället

Upplägg av och materialet till laborationer i Matlab är nytt. Se under rubriken Datorlabbar för mer information.

"Gamla" studenter (registerade på MVE021, eller MVE022 före hösten 2018), som ännu inte har betyg på laborationsmomentet i kursen, kan välja att göra redovisningar enligt tidigare koncept, eller enligt det nya. Kontakta examinator!

Kurslitteratur

D C Lay, S R Lay & J J McDonald: Linear Algebra and Its Applications. Femte upplagan. Pearson.
 
Följande kapitel/avsnitt/sidor ingår: 1.1 – 1.9, 1.10 sid 101-102, 2.1 – 2.3, 2.6 – 2.9, kap 3, 4.1 – 4.8, 5.1 –5.4, 5.6, 5.7, 6.1 – 6.5, 7.1, 7.2.

Program

Föreläsningar

Behandlade moment markeras med grönt .

Dag
Stoff Avsnitt
25/3 Introduktion. Linjära ekvationssystem. (Utökad)koefficientmatris. Radoprerationer. (Reducerad) trappstegsform. Pivotpositioner och pivotkolonner. 1.1.
26/3 Algoritm för lösning av linjära ekvationssystem. Vektorer i \(\mathbb R^n.\) Linjära kombinationer av vektorer. Linjärt hölje (span) till en uppstättning vektorer. 1.2 - 3.
28/3 Linjära ekvationer på matrisform. Lösning av \(A\mathbf x = \mathbf b.\) Homogena och inhomogena ekvationer. Parameterframställning av lösningsmängden. 1.4 - 5.
29/3 Exempel från ekonomi. Linjärt oberoende uppsättning vektorer. Linjära avbildningar \(\mathbb R^n\to\mathbb R^m.\) 1.6 - 8.
1/4 Standardmatrisen till linjär avbildning \(\mathbb R^n\to\mathbb R^m.\) Injektivitet (one-to-one) och surjektivitet (onto) av linjär avbildningExempel med diskret dynamiskt system. Addition och multiplikation av matriser. 1.9, 2.1.
2/4 Potenser och transponat. Inverterbar matris. Bestämning av invers till sådan. Elementära matriser. 2.1 - 2.
4/4 Kriterier för när en matris är inverterbar. Leontiefs input-output-modell. 2.3, 2.6.
8/4 Delrum till \(\mathbb R^n.\) Bas och dimension för sådant. Kolonn- och nollrum till en matris. Rang (rank) av en matris. Rangsatsen. 2.8 - 9.
9/4 Determinant av kvadratisk matris. Determinant och rad- och kolonnoperationer. Determinant av transponat och produkter. Beräkning av determinant. Inverterbarhet och determinant. 3.1-2.
10/4 Cramers regel för lösning av \(A\mathbf x = \mathbf b\) och formel för invers till inverterbar matris. (Klassiskt) adjungerade matrisen till \(A.\) Volym/area och volym/area- förändring vid linjära avbildningar. 3.3.
11/4 Verktorrum och deras delrum. Linjär avbildning mellan vektorrum. Kärna och bild till linjär avbildning. 4.1 - 2.
2/5 Linjärkombinationer av vektorer i vektorrum. Baser för vektorrum. Koordinater med avseende på en bas. Koordinatavbildningen. Isomorfa vektorrum. 4.3 - 4.
3/5 Dimension av vektorrum. Utvidgning av linjärt oberoende vektorer till bas. Rang av matris. Radrummet till en matris. Basbyten i vektorrum. 4.5 - 7.
6/5 Egenvektorer och egenvärden till matriser. Tillämpning på differensekvation. Karakteristiska polynomet till en matris (sekularpolynomet). Karakteristiska ekvationen (sekularekvationen). 5.1 - 2.
7/5 Similära (konjugerade) matriser. Diagonalisering av matriser. Ett kriterium för när det går att diagonalisera. 5.3.
9/5 Linjära avbildningar och basbyten. Egenvektorer och egenvärden till linjära avbildning mellan samma vektorrum. Diskreta dynamiska system. 5.4, 5.6.
13/5 System av första ordningens linjära differentialekvationer. Skalärprodukt, avstånd och ortogonalitet i \(\mathbb R^n.\) Ortogonala komplementet till ett delrum. 5.7, 6.1.
14/5 Ortogonal matris. Ortogonal- och ortonormalbas. Koordinater vid ortogonalbas. Ortogonalprojektion av vektor på annan. 6.2 - 3.
16/5 Ortogonalprojektion på ett delrum till \(\mathbb R^n.\) Bästa approximationen till en vektor med vektor i delrum. Gram-Schmidts metod för ortogonal/ortonormalbas. 6.3 - 4.
17/5 Minsta kvadratmetoden för bästa lösning av överbestämda ekvationer. Kurvanpassning till data. 6.5 - 6.
20/5 Ortogonal diagonalisering av symmetriska matriser. Spektralsatsen. 7.1.
21/5 Kvadratiska former och deras klassificering. Matrisen för en kvadratiska form och innebörden av dess egenvärden. 7.2.
23/5 Förberedelse för tentamen.  
27/5 Förberedelse för tentamen.  
28/5 Förberedelse för tentamen.  
4/6 Tentamen 14.00 – 18.00. Hörsalar på hörsalsvägen.  

Rekommenderade övningsuppgifter

Bland de rekommenderade uppgifterna finns några med jämna nummer. Till dem finns inget facit i textboken. Här finns svar till dem.

Vecka
 Uppgifter
Vecka 1
25/3 - 29/3 		1.1: 3, 9, 13, 15, 17, 21, 23, 25, 27.  1.2: 3, 9, 11, 15, 21, 23, 25, 29, 31.   1.3: 5, 7, 9, 11, 13, 17, 21, 23, 27.   1.4: 7, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 23, 33, 34.   1.5: 9, 11, 15, 17, 21, 23, 29-32, 37, 38.  
Vecka 2
1/4 - 5/4 		1.6: 1.   1.7: 5, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23-26, 33, 37, 39.   1.8: 5, 7, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 33.   1.9: 3, 5, 9, 13, 15, 19, 23, 29, 31, 35.   1.10: 9   2.1: 1, 7, 11, 13, 15, 17, 21-26, 27.   2.2: 7, 9, 13, 17, 19, 20, 21, 23, 31, 35.  
Vecka 3
8/4 - 12/4		 2.3: 7, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 27, 31, 33, 35.   2.6: 5, 9.   2.8: 1-4, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 25, 31, 33, 35.   2.9: 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25.   3.1: 1, 3, 5, 13, 19, 21, 37, 41.   3.2: 5, 7, 11, 13, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35.  
Vecka 6
29/4 - 3/5		 3.3: 5, 9 (teckenfel på \(x_1\) i facit), 13, 15, 21 23, 25, 27, 29.   4.1: 3, 5, 11, 13, 15, 17, 21, 29.   4.2: 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 25, 31, 33.   4.3: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 25, 29, 33.   4.4: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 19, 27, 31.  
Vecka 7
6/5 - 10/5 		4.5: 3, 5, 7, 9. 11, 13, 19, 21, 23, 31.   4.6: 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19.   4.7: 1, 5, 7, 13.   5.1: 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 33.   5.2: 3, 5, 9, 13, 17, 19, 21.   5.3: 1, 5, 7, 11, 13, 21, 23, 31.  
Vecka 8
13/5 - 17/5 		5.4: 1, 3, 5, 9, 11, 15, 21, 23.   5.6: 1.   5.7: 1, 3, 5, 7, 9.   6.1: 1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 19, 27, 31.   6.2: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 23, 27, 29.   6.3: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 21.  
Vecka 9
20/5-24/5 		6.4: 1, 5, 9, 17.   6.5: 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 21.   6.6: 1, 3, 7, 9.   7.1: 1, 3, 5, 9, 15, 17, 19, 23, 25, 27, 29.   7.2: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.  
Vecka 10
27/5 - 31/5 		Gamla tentor.

Datorlaborationer med Matlab

I kursen ingår obligatoriska övningar i programvaran Matlab. De examineras genom redovisning på den schemalagda tiden för datorlaborationer. För att få betyg på kursen måste man vara godkänd på samtliga redovisningar som ingår. Betygskalan är U (underkänd) eller G (godkänd) och ger 1,5 hp av kursens totala 7,5.

All information om detta och material finns på en separat sida:


Matlab för I1.

Duggor

Under kursens gång kan man göra duggor i en app på nätet som kallas Möbius. Det blir sammanlagt fem doggor och varje helt avklarad dugga ger 1 bonuspoäng att lägga till skrivningspoängen vid tentamen. Bonusen är giltig under innevarande kursomgång (tenta i juni 2019, omtentor i augusti och oktober(?) 2019.)

Du loggar in i Möbius via denna länk (fungerar först när kursen är igång).

"Äldre" studenter som vill göra duggor på kursen:

Syftet med duggorna är att ge dig en chans att kontrollera att du kan det som för tillfället är aktuellt i kursen. Det är tillåtet att ta hjälp av andra kursdeltagare, men det är förstås inte tillåtet att låta någon annan göra ens dugga, eller att ta hjälp av programvara för att lösa uppgifterna. När du lämnar in duggan intygar du samtidigt att du förstått de svar du lämnat och att du själv kommit fram till dem.

Duggorna, som består av ett varierande antal uppgifter, öppnas normalt torsdag vid lunchtid och stängs onsdag midnatt en vecka senare

Varje exemplar av din dugga är giltigt fram till stängning. Du kan välja att arbeta med samma dugga hela tiden, eller få en ny. För att få ett nytt exemplar (det är ingen fördel!) klickar du på SUBMIT ASSIGNMENT på det gamla exemplaret och öppnar sedan ett nytt. För att arbeta med samma dugga hela veckan låter du bli att klicka på SUBMIT ASSIGNMENT förrän du känner dig färdig. REKOMMENDERAS!

För varje uppgift på duggan gäller att du kan kontrollera ditt svar genom att i uppgiften klicka på länken HOW DID I DO?

Du kan göra duggan hur många gånger du vill så länge den är tillgänglig. Bästa resultatet räknas. Om du startar om med ett nytt exemplar ser det annorlunda ut än förra gången; uppgifterna är likartade men inte samma.

Du behöver inte vara inloggad hela tiden. Vill du avsluta klickar du på Quit & Save. När du loggar in igen och öppnar duggan har du då kvar ditt exemplar. Högst upp till höger på duggan kan du se den tid som är kvar till stängning.

För att rätta duggan (dvs lämna in) klickar du på Submit Assignment. Rekommendationen är att arbeta med samma dugga hela tiden och inte klicka på Submit Assignment förrän du har klarat alla uppgifter.

På sidan i Möbius där du öppnar duggan finns också länken Gradebook längst upp. Om du klickar där kan du se dina registrerade resultat.

Generellt gäller att du ska skriva dina svar som på en miniräknare.
Tänk på att

I många uppgifter finns en länk Preview. Använd den för att se att Möbius uppfattar det du skrivit korrekt. (Den fungerar inte i alla uppgifter!)

Extramaterial

Här dyker eventuellt extramaterial upp under kursens gång.

Bland de rekommenderade uppgifterna finns några med jämna nummer. Till dem finns inget facit i textboken. Här finns svar till dem.

Här finns en fil med bevis av satser, som man ska kunna redogöra för vid tentamen, nedskrivna på svenska. Bäst är om man förstår bevisen och kan formulera sig självständigt. Filens bevis kan ses som ett "facit" för vad som är tillräcklig nivå på motiveringar för full poäng.

Examination

Kursen består av två delar som examineras med tentamen respektive redovisning av laborationer i MATLAB. För att få betyget 3 eller högre på kursen måste laborationerna vara godkända och tentamensbetyget minst 3.

Skrivningstiden är fyra timmar. Skrivningen består vanligtvis av sju uppgifter varav oftast två är av teoretisk art. Några uppgifter kan bestå av flera deluppgifter. Maximala poängen på skrivningen är 50. Vid tentamen är inga hjälpmedel tillåtna.

Till skrivningspoängen läggs bonuspoäng från de elektroniska duggorna. Varje helt avklard sådan ger 1 poäng. Bonuspoängen är giltig under denna kursomgång (ordinarie tentamen i juni 2019, samt omtentor i augusti och oktober(?) 2019).

För godkänt, och betyget 3, krävs minst 20 p. För betyget 4 krävs 30 p och för betyget 5 krävs 40 p.

Kurskrav

Kursens mål finns angivna i kursplanen.

Vid tentamen ska man kunna definiera, använda och förstå alla begrepp och metoder som ingår i kurslitteraturen. Alla satser som ingår ska kunna formuleras och användas vid problemlösning.

Följande resultat/satser ska dessutom kunna bevisas:

(Här finns en fil med bevis av satser, som man ska kunna redogöra för vid tentamen, nedskrivna på svenska. Bäst är om man förstår bevisen och kan formulera sig självständigt. Filens bevis kan ses som ett "facit" för vad som är tillräcklig nivå på motiveringar för full poäng.)

  1. Sats 7 kapitel 2. (En matris är inverterbar precis när den är radekvivalent med identitetsmatrisen, och hur inversen då kan bestämmas med radoperationer.)
     
  2. Sats 6 kapitel 3. (Produktregeln för determinanter.)
     
  3. Sats 9 kapitel 4. (Om \(V\) har en bas med \(n\) vektorer, så är en uppstättning av fler än \(n\) vektorer linjärt beroende.)
     
  4. Sats 10 kapitel 4. (Om \(V\) har en bas med \(n\) vektorer, så har varje annan bas också \(n\) vektorer.)
     
  5. Sats 11 kapitel 4. (Om \(H\) är ett delrum till ett ändligtdimensionellt vektorrum, så kan varje uppsättning linjärt oberoende vektorer i \(H\) kompletteras till en bas för \(H\), \(H\) är ändligtdimensionellt och \(\mathrm{dim} H\leq \mathrm{dim} V.\))
     
  6. Sats 12 kapitel 4. (Om \(V\) har dimension \(p\), så är \(p\) stycken linjärt oberoende vektorer alltid en bas för \(V\). Likaså är \(p\) stycken vektorer som spänner \(V\) alltid en bas.)
     
  7. Sats 2 kapitel 5. (Egenvektorer som hör till olika egenvärden är linjärt oberoende.)
     
  8. Sats 5 kapitel 5. (En \(n\times n\)-matris är diagonaliserbar precis när den har \(n\) linjärt oberoende egenvektorer.)
     
  9. Sats 1 kapitel 7. (Egenvektorer till en symmetrisk matris som hör till olika egenvärden är ortogonala.)
     

Rutiner vid tentamen

I Chalmers Studentportal kan du läsa om när tentor ges och om vilka regler som gäller vid tentamen på Chalmers.

Vid tentamen ska du kunna visa giltig legitimation och kvitto på betald kåravgift.

Via inloggning i Studentportalen kan du själv i Ladkok se dina resultat, när de rapporterats av examinator.

Granskning vid ordinarie tentamen:
När det är praktiskt möjligt ordnas ett separat granskningstillfälle av rättning av skrivningar. Tidpunkt för detta meddelas på kurshemsidan. Den som inte kan delta då kan senare hämta och granska sin tenta på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se information om öppettider. Kontrollera att Du har fått rätt betyg och att poängsumman stämmer. Eventuella synpunkter på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett för detta.

Vid granskningen kan man få förklarat hur ens lösningar bedömts och uppenbara misstag i rättningen kan korrigeras. Det är inte ett tillfälle för förhandling kring bedömning och betygsättning.

Granskning vid omtentamen:
Skrivninga granskas och hämtas på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se information om öppettider. Eventuella synpunkter på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett för detta.

Studieresurser

Kursvärdering

I början av kursen bör minst två studentrepresentanter ha utsetts för att tillsammans med lärarna genomföra kursvärderingen. Värderingen sker genom samtal mellan lärare och studentrepresentanter under kursens gång samt vid ett möte efter kursens slut då enkätresultatet diskuteras och rapport skrivs.

Se följande mall för Kursvärdering i studentportalen.

Gamla tentor