TMA044, Flervariabelanalys, 2018/19

Aktuella meddelanden

Välkomna till kursen! Kursens schema finns i TimeEdit.

Söndag 1/9 2019

Lösningsförslag till omtentan som gick 2019-08-30 finns nu tillgängligt:

Tenta 2019-08-30 med lösningar

Notera att maxpoäng på uppg. 7b och 7c skulle vara 2p vardera. Jag ber om ursäkt för detta typo. Jag har korrigerat det i lösningsförslaget och jag kommer att rätta enligt detta.

Måndag 7/1 2019

Lösningsförslag till omtentan finns nu tillgängligt:

Tenta 2019-01-07 med lösningar

Torsdag 15/11:

Resultat på tentan

Om ni minns er personliga kod så kan ni se resultaten från sluttentan här:

Resultat sluttenta 2018-10-31

Vi kommer att ha en granskning av tentan nu på måndag 19/11 kl. 09.00 i sal HC3.

Torsdag 1/11

Lösningsförslag till tentan finns nu tillgängligt:

Tenta 2018-10-31 med lösningar

Torsdag 25/10:

Lösningar till räkneövningar

Nu är Jimmys renskrivna lösningar uppdaterade med den sista omgången uppgifter:

Räkneövning 1

Torsdag 18/10:

Lösningar till räkneövningar

Nu är Jimmys renskrivna lösningar uppdaterade med nya uppgifter:

Räkneövning 1

Onsdag 17/10:

Vecko-PM

Nu finns kursens sjunde veckans kurs-PM tillgängligt:

vecko-PM v7

Föreläsningsanteckningar

Här kommer lite scannade anteckningar från sista delen av kursen. Jag har även scannat några extra anteckningar som går lite djupare in Greens formel och dess fysikaliska tolkning. Notera att numreringen inte stämmer direkt överens med numreringen på föreläsningarna.

F19-linjeintegraler över konservativa vektorfält

F20-Greens sats, Ytintegraler

F21-Flödesintegraler, Gauss sats

F22-Stokes sats

Detaljerna bakom ett steg i beviset av Stokes sats

Fysikalisk intuition bakom Greens sats

Mer om Greens sats

Torsdag 11/10:

Resultat på mittentan

Om ni minns er personliga kod så kan ni se resultaten från mittentan här:

Resultat mittenta 2018-09-29

Vi kommer att ha en granskning av tentan mot slutet av föreläsningen nu på måndag 15/10.

Tisdag 9/10:

Lösningar till räkneövningar

Nu är Jimmys renskrivna lösningar uppdaterade med nya uppgifter:

Räkneövning 1

Kommentarer:

1. Lösningen av Uppgift 14.6.5 korrigerad; 2. Den stegvisa processen i uppgifterna 14.5.7, 14.6.1 och 14.6.5 illustrerar hur man kan tänka för att hitta integrationsgränser; 3. Utförlig beskrivning av hur man skissar vektorfält i Uppgift 15.1.3.

Vecko-PM

Nu finns kursens sjätte vecko-PM tillgängligt:

vecko-PM v6

Onsdag 3/10:

Vecko-PM

Nu finns kursens femte vecko-PM tillgängligt:

vecko-PM v5

Lördag 29/9

Lösningsförslag till mittentan finns nu tillgängligt:

Mittenta 2018-09-29 med lösningar

Torsdag 27/9:

Nu är Jimmys renskrivna lösningar uppdaterade med nya uppgifter:

Räkneövning 1

Tisdag 25/9:

Vecko-PM

Nu finns kursens fjärde vecko-PM tillgängligt:

vecko-PM v4

Quiz

Nu finns resultatet av det långa quizzet tillgängligt här:

Quiz

OBS! Notera att det finns ett litet typo i ett av svarsalternativen på sista frågan.

Sammanfattning inför mittentan

Nedan kan ni titta på en sammanfattning av de viktigaste delarna av kursen:

Sammanfattning

Denna kan vara till hjälp när ni studerar inför mittentan. OBS! Detta är endast en kortfattad sammanfattning, inte en komplett genomgång av allt som kan komma på tentan! För en komplett lista på allt som ingår i kursen måste ni titta på kursmål/lärmål.

Onsdag 19/9:

Youtube

Här är länken till kursens youtubekanal:

Youtubekanal för TMA044

Där finner ni lite olika typer av lösta uppgifter som kan vara till hjälp, speciellt hur man löser vissa standardintegraler i envariabeln. Där finns även tre uppgifter om extremvärden, varav en är den om arean av en box som jag nämnde på dagens föreläsning. Jag hoppas kunna lägga in mer videos så småningom.

Vecko-PM

Nu finns kursens tredje vecko-PM tillgängligt:

vecko-PM v3

Söndag 16/9:

Nu finns Jimmys renskrivna lösningar till uppgifterna från räkneövningarna tillgängliga:

Räkneövning 1

Dessa kommer uppdateras med nya uppgifter varje vecka.

Tisdag 11/9:

Vecko-PM

Nu finns kursens andra vecko-PM tillgängligt:

vecko-PM v2

Fredag 7/9:

Vecko-PM

Nu finns kursens första vecko-PM tillgängligt:

vecko-PM v1

Här finner ni en kort sammanfattning av veckans föreläsningar, rekommenderade uppgifter samt lärandemålen. 

Anteckningar

Flera av er har frågat efter mina anteckningar till föreläsningarna. Då de är slarviga och inte så lättlästa har jag varit lite motvillig med att scanna dem. Istället rekommenderar jag att ni tittar på anteckningarna från motsvarande kurs 2014, vars innehåll jag i stort följer. Ni finner dem här:

Föreläsningsanteckningar 2014

Tisdag 4/9

Lösningsförslag till omtentan finns nu tillgängligt:

Omtenta 2018-08-31 med lösningar

Lärare

Kursansvarig: Daniel Persson, Rum L2100 (MV), Tel: 031-7723174, E-mail: daniel.persson@chalmers.se

Övningsledare: Jimmy Aronsson

Labbhandledare: Jimmy Aronsson och Man Hung Tran

Kurslitteratur

Calculus, A complete course, 9th edition, av Robert A. Adams och Christopher Essex, Pearson Addison Wesley, (1st ed: 2006, 8th ed: 2013), ISBN13: 978-0-321781079. Boken säljs på Cremona.

Även tidigare upplagor kan fungera men med visst besvär för studenten. Skillnaderna gentemot upplaga nr. 7 är dock extremt små, egentligen bara en omnumrering av uppgifterna i avsnitt 15.3.

Eftersom en del av lärmålen inte täcks fullständigt av bokens uppgifter, finns här ett antal kompletterande uppgifter.



Program


Inga ändringar har gjorts i kursens innehåll eller lärandemål jämfört med förra året.

Kursen omfattar Adams: Kapitel 10.1-10.6, 11.1, 11.3, 12, 13.1-13.3, 13.7, 14.1-14.6, 15, 16.1-16.5.

Innehåll:

I kursen behandlas många av de grundläggande begreppen inom matematisk flervariabelanalys, bland annat gränsv'rde, partiell derivata, gradient och riktningsderivata för funktioner från Rn till R samt funktionalmatris och funktionaldeterminant för funktioner från Rn till Rm. Viktiga egenskaper hos funktioner, som kontinuitet och differentierbarhet, utnyttjas för undersökning av ytor och kurvor, bestämning av extremvärden och optimering på kompakta områden och optimering med bivillkor samt för approximation av funktioner med Taylorutveckling. En liten introduktion till området partiella differentialekvationer ges, genom att d'Alemberts lösning till Laplace ekvation behandlas.

Vidare behandlas dubbel- och trippelintegraler samt generaliserade dubbelintegraler. Beräkning av integraler med hjälp av variabelsubstitution, både linjär substitution och polära eller sfäriska koordinater. Tillämpning av integraler för volymberäkningar, bestämning av masscentrum och beräkning av arean av buktig yta.

Begreppen kurvintegral för funktioner från Rn till R, kurvtangentintegral för funktioner från Rn till Rn, ytintegral för funktioner från R3 till R samt normalytintegral för funktioner från R3 till R3 definieras och studeras, i synnerhet hur dessa integraler hänger samman med divergens och rotation för vektorfält (funktioner från R3 till R3). I detta sammanhang är Greens formel samt Gauss och Stokes satser väsentliga. Kopplingen mellan integraler och divergens och rotation leder i sin tur till grundläggande ekvationer inom bland annat strömningsmekanik och elektromagnetism.

Vecka Avsnitt
Innehåll
Vecka 1
10.1, 10.2, 10.5
11.1, 11.3


12.1, 12.2 10.1
Euklidisk geometri (repetition), andragradskurvor.
Vektorvärda funktioner av en variabel och parametrisering av kurvor. Derivering och tillämpning av derivata (hastighet, fart, acceleration, kurvlängd).

Reellvärda funktioner av flera variabler, graf, nivåkurvor. Gränsvärden och kontinuitet. Topologiska begrepp.
Vecka 2
12.3 - 12.4
12.5 - 12.6
12.7
Partiell derivata.
Kedjeregeln, linearisering, differentierbarhet, differentialer.
Gradient och riktningsderivata.
Vecka 3


12.9
13.1 - 13.2
13.3
Taylorserier
Kritiska punkter, extremvärden på kompakta mängder.

Lagranges multiplikatormetod.
Vecka 4
14.1-14.2
14.3-14.4
Dubbelintegraler, beräkning med upprepad integrering.
Generaliserade integraler, medelvärdessats för dubbelintegraler. Variabelsubstitution, speciellt polära koordinater.
Vecka 5
14.5, 10.6, 14.6

15.1
Trippelintegraler. Variabelsubstitution, speciellt cylindriska och sfäriska koordinater.
Vektorfält, konservativa vektorfält och potentialer.
Vecka 6
15.3 - 15.4
15.5 - 15.6
Kurvintegraler, konservationslager.
Ytintegraler, Flödesintegraler.

Vecka 7
16.1 - 16.2
16.3
16.4 - 16.5
Gradient, divergens, rotation.
Greens sats i planet.
Gauss divergens sats i två och tre dimensioner, Stokes sats.
Vecka 8

Repetition.



Rekommenderade övningsuppgifter

Uppgiftsnumren nedan refererar (om inget annat sägs) till övningsuppgifter ur kursboken Calculus, a complete course, 8th edition. Uppgifter efter bokstaven K avser uppgifter från bladet med kompletterande uppgifter.

Instuderingsuppgifterna och träningsuppgifterna är till sin karaktär och svårighetsgrad sådana som alla bör kunna för att bli godkänd på kursen. Instuderingsuppgifterna testar (på ett mer direkt sätt) om du förstått grundläggande begrepp och lösningsmetoder medan träningsuppgifterna kan vara mer sammansatta och ibland kräva att man kombinerar olika metoder och begrepp. Båda typerna skall dock behärskas för godkänt.

Avsnitt

Godkäntnivå

Överbetygsnivå

Instuderingsuppgifter

Träningsuppgifter

10.1

3,5,udda 11-21,33-39, K:1,4

29,31,32, K:2,3

27

10.5

1,3,5,7,11,13,15

17,19

11.1

1,2,3,7

13

15,17,21,22

11.3

1,3,7,13,14, K:5,6,7,8

17

5,19

12.1

3,4,7,13,15,17,19,21,37,38

29-32

33,35

12.2

1,5, K:12

16

3,4,7,11,13,15,17

12.3

3,5,17,19,27

23,31

36,37,38

12.4

5,7

11,18

15,16

12.5

1,3,7,11,15

17,19,31

21,24,33

12.6

5,7,19

11,17,18

21,25

12.7

3,7,11, K:9,10

17,19,21a-d

20,21e,27,29

12.8

3,15,16

12.9

1,5,7 (grad 2 räcker)

13

13.1

3,5, K:11a-c

7,24, K:12d

17,27,28

13.2

1,7

3,5

11

13.3

1,2,3,9

5

13,22,23,27

13.7

Uppgifterna på motsvarande avsnitt i Matlab komp.

14.1

13

15, 17

14.2

3, 5, 19

9, 13

15, 25, 27, 30

14.3

3

7, 9

17, 21

14.4

3, 9, 11

15, 21, 23, 32, 35b

25, 27, 33, 36

14.5

1, 5

9, 14, 16

7, 11, 27

10.61-14

14.6

1, 3

13, 15, 16

5, 14.4.29

15.1

3, 6

15.2

1, 3, 4, 5

9

15.3

4, 5, 9

11

15.4

1, 3, 4, 5, 14

7, 9, 15, 17, CR.7

21, 22, 23

15.5

K: 13, 14, 15

3, 17, 20, 23, K:16

4, 7, 9, 13, 15

15.6

1, 5, 9

11

2, 15, 17

16.1

3, 6, 7

13

16.2

5, 7, CR 16.7

16.3

1, 3, 5

7, CR 16.3

16.4

1, 3

5, 7

9, 11, 15, 17

16.5

1, 3

Studieresurser

Datorlaborationer

Under kursen kommer vi ha sex labtillfällen då studenterna själva jobbar med att lösa olika problem med hjälp av Matlab. Under datorövningarna skall kursdeltagaren jobba med Jacques Huitfeldts material (se länk nedan). Det förutsätts också att kursdeltagarna själva jobbar med materialet utanför schemalagd undervisningstid och för att få störst utbyte bör arbetet med de olika avsnitten göras i samband med att motsvarande område behandlas på föreläsningar och övningar. Under Datorövningarna i datorsal, då alla bör jobba två och två framför respektive dator, så har du dessutom möjlighet att få hjälp av handledare. För att bli godkänd på datorövningsmomentet krävs att du vid skärmen redovisat för handledaren att du slutfört och förstått alla 6 uppgifterna i länken nedan. Mer information om detta finns under fliken Examination här på kurshemsidan. Avsikten med Datorövningarna är att de inte skall vara så betungande men väl så lärorika. Du är också välkommen att ställa frågor angående Matlab vid de vanliga räkneövningarna. Föreläsningstid kan också gå bra men då är utrymmet för frågor något begränsat.

MATLAB-uppgifter:

All information om övningsuppgifter och material finns på en separat sida Matlab för E.



Referenslitteratur för Matlab

  1. Material utvecklat av MV som ger en kortfattad introduktion till Matlab
  2. MATLAB for Engineers, Holly More
    Ger en introduktion till Matlab och kräver inledningsvis ingen matrisalgebra. Är utmärkt för självstudier.
  3. MATLAB-beräkningar inom teknik och naturvetenskap, Per Jönsson
    Kräver kunskaper i Matrisalgebra. Innehåller lite mer avancerade övningar och modelleringsuppgifter. Är utmärkt som referenslitteratur/uppslagsbok.

Kurskrav

Kursens syfte och lärandemål finns angivna i kursplanen.
Mer detaljerade kunskapsmål inom olika områden framgår av de kursmål/lärmål som tagits fram av institutionen för matematik i samarbete med programmet och som beskriver det som man förväntas ha med sig kunskapsmässigt efter kursen. Lärmålen är uppdelade i godkäntmål , som examineras i tentans första del, och överbetygsmål,som examineras i tentans andra del. Sammanställningen kan användas som checklista under kursens gång och inför tentan (läs mer om examinationen nedan) så att du själv kan kontrollera att du behärskar det som preciseras i lärmålen. För godkäntmålen finns dessutom detaljerade vägledningar, inklusive rekommenderade övningar för varje lärmål, ett dokument för del 1 och ett för del 2.

Duggor


Inga duggor finns inplanerade.

Examination



Kunskapskontrollen sker genom datorövningar samt skriftlig tentamen.

För att få godkänt på kursen krävs det att du är godkänd på datorövningarna och den skriftliga tentamen.

Här följer mer detaljerad information om vad som krävs för respektive moment och hur kursen betygsätts:

Datorövningarna

För att bli godkänd från datorövningarna krävs att du inför handledare redovisat och blivit godkänd på uppgifterna på var och en av de datorövningar som kommer att finnas under fliken Dokument nedan.

Om du inte är godkänd på datorövningarna då tentamensresultatet skall rapporteras till Ladok anses du underkänd på kursen. Du får lov att tentera, men oavsett resultat kommer tentan att betraktas som underkänd tills du är godkänd på datorövningarna. Under förutsättning att de blir godkända innan kursen ges nästa läsår får du ditt resultat rapporterat med betyg enligt nedan. Är de inte godkända innan kursen ges nästa läsår måste du tentera på nytt.

Skriftlig tentamen

Den skriftlig tentamen består av följande tre delar:

Godkäntdelen, del 1 ( omfattar avsnitten 10.1,10.5, 11.1, 11.3, 12.1-9, 13.1-3 och kan ge högst 14 poäng)
Godkäntdelen, del 2 (omfattar avsnitten 14.1-6, 15.1-6, 16.1, 16.3-5 och kan ge högst 18 poäng)
Överbetygsdelen (innefattar hela kursen och kan ge högst 18 poäng)

Tentamen kan alltså totalt ge högst 50 poäng. För att bli godkänd på tentamen krävs antingen 25 poäng på godkäntdelens två delar sammanlagt, eller att båda delarna är godkända var för sig. För godkänt på del 1 krävs minst 10 poäng (av 14) och för godkänt på del 2 krävs minst 13 poäng (av 18). Erhållen poäng på någon av delarna får ersätta poängen på motsvarande del på senare tentamen tills kursen ges nästa gång. Poäng från överbetygsdelen räknas dock alltid från den senast gjorda tentamen.

I slutet av läsvecka 4, lördagen den 29:e september, kl. 08.30-11.30 , kan den som vill tentera av godkäntdelens del 1 (mittenta). Ingen anmälan behövs, men ta med ID-kort och kårkort. Deltentan äger rum i sal Multi i SB-huset och arrangeras av tentamensadministrationen som en "vanlig" tenta. Denna s.k. mitttenta är frivillig men ger en möjlighet att tentera av del 1 så att man kan koncentrera sig fullt på den andra godkäntdelen och överbetygsdelen vid sluttentamen. Om man inte känner sig nöjd med resultatet på mitttentan så kan man skriva om samma del på sluttentamen, bästa resultatet räknas.

Godkäntdelen, som testar om du behärskar godkäntmålen (se separat dokument med kursens lärmål), består av ett relativt stort antal uppgifter/deluppgifter/teoriuppgifter. Den typ av uppgifter som kan förekomma är dels sådana som enbart skall testa att du kan utföra de mest grundläggande kalkylerna på ett korrekt sätt och dels uppgifter av teoretisk natur, där du t.ex. skall kunna redogöra för vissa definitioner och satser. Bevis av satser kommer dock endast på tentamens överbetygsdel. I vecko-PM, som delas ut efter hand, finns detaljerad beskrivning av lärmålen för kursen. Dessa lärmål är huvudsakligen till för att studenten lättare skall kunna urskilja vilka krav som ställs för att bli godkänd och för att erhålla överbetyg.

Överbetygsdelen består av tre uppgifter. Dessa är dels av problemkaraktär (eventuellt med teoretiska inslag), dels rena teorifrågor där du t.ex. skall kunna avgöra om givna påståenden är sanna eller falska och ge argument för din slutsats. Du skall också kunna bevisa vissa satser, i enlighet med målbeskrivningen. Uppgifterna på överbetygsdelen bedöms (om inget annat anges) med poängskalan 0/4/6 poäng. Normalt krävs för poäng på en sådan uppgift att man redovisat en fullständig lösningsgång, som i princip lett, eller åtminstone skulle kunna leda, till målet. Även om man inte klarat godkäntdelen så sker rättning och kommentering av lösningar på överbetygsdelen. Normalt kan inte poäng från överbetygsdelen räknas in för att nå godkäntgränsen. Undantag görs om examinators helhetsbedömning av tentamen visar att studenten behärskar kursmålen nöjaktigt. Detta innebär bl.a. att man måste vara väldigt nära att klara godkäntdelen för att examinator över huvud taget skall överväga att ta hänsyn till lösningar på överbetygsdelen.

För betyg 4 krävs att du är godkänd på godkäntdelen och erhållit minst 33 poäng totalt på hela tentamen.
För betyg 5 krävs att du är godkänd på godkäntdelen och erhållit minst 42 poäng totalt på hela tentamen.


Tid plats och former för sluttentamen

Tentamensdatum anges i studieportalen.

Tillåtna hjälpmedel vid tentamina är endast formelsamlingen Formelblad för TMA044 16/17 samt följande ordlista. Inga andra hjälpmedel är tillåtna (ej heller miniräknare). Eget papper får inte medföras. Om du upptäcker att du av misstag har otillåtet hjälpmedel med på tentan skall du omedelbart, utan något som helst dröjsmål, kalla på salsvakten och anmäla detta. Följande länk berättar om hur det går till att tentera på Chalmers: Tentamina och examination


Lösningsförslag läggs normalt ut på denna webbsida första arbetsdagen efter tentamensdagen. Om inget exeptionellt inträffar, får du epostmeddelande till ditt student.chalmers.se-konto med ditt tentamensresultat cirka tre veckor efter tentamensdagen. Du kan därefter granska din tenta och hämta ut den på MV:s expedition, öppen arbetsdagar 9-13 (utom onsdagar). Frågor eller synpunkter på rättning/bedömning framförs skriftligt på blankett som finns på expeditionen. Skriftligt svar lämnas till expeditionen inom ett par arbetsdagar. Då du fått detta svar kan du vid behov avtala tid för samtal med examinator.

Vid rättning och bedömning av tentamen är tentanden anonym. Eventuella bonuspoäng eller poäng från tidigare resultat påförs innan tentan är av-anonymiserad. Därigenom kan även totalbedömningen ske anonymt. Inga omprövningar av bedömningar görs efter av-anonymiseringen. Endast felaktigheter eller missuppfattningar korrigeras i samband med granskningen. Klagomål av typen: "Jag tycker att detta är värt mer" kan alltså inte leda till ändring av bedömningen.



Rutiner kring tentamina

I Chalmers Studentportal kan du läsa om vilka regler som gäller kring att tentera på Chalmers. Tänk på att du måste anmäla dig i tid till tentan, eftersom du annars inte får tenta.

Vid tentamen ska du kunna uppvisa giltig legitimation och kvitto på erlagd kåravgift.

Du kan själv gå in i Ladok, via inloggning i Studentportalen, för att se dina resultat.

Granskning vid ordinarie tentamen:
Då det är praktiskt möjligt ordnas ett separat granskningstillfälle av tentamen. Tidpunkt för detta meddelas på kurshemsidan. Den som inte kan delta vid granskningen kan efter granskningstillfället hämta och granska sin tenta på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se information om öppettider. Kontrollera att Du har fått rätt betyg och att poängsumman stämmer. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

Granskning vid omtentamen:
Tentorna granskas och hämtas ut på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se information om öppettider. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

Kursvärdering

I början av kursen bör minst två studentrepresentanter ha utsetts för att tillsammans med lärarna genomföra kursvärderingen. Värderingen sker genom samtal mellan lärare och studentrepresentanter under kursens gång samt vid ett möte efter kursens slut då enkätresultatet diskuteras och rapport skrivs.

Se följande mall för Kursvärdering i studentportalen.

Kursrepresentanter:

Piazza


Vi kommer att använda oss av ett slutet forum på Piazza. Där kan ni ställa frågor om kursen (anonymt om ni vill), och jag, eller någon av assistenterna, kan hjälpa er. Dessutom uppmuntras ni att själva försöka svara på varandras frågor! En inbjudan till forumet kommer inom kort.

Quiz


Under föreläsningarna och övningarna kommer vi ofta att använda oss av en webbaserad mentometer där alla i realtid får svara (anonymt) på en flervalsfråga ställd under föreläsningen (så kallad "peer instruction"). Därefter diskuterar vi frågan utifrån era svar.
Om möjligt, ta därför gärna med er en internetuppkopplad device (mobil, surfplatta, dator) till föreläsningen, alternativt dela med kamraten bredvid.

För att komma till en pågående quiz så gå till hemsidan b.socrative.com/login/student/ eller använd tillhörande app.

Logga därefter in i rummet danper

Man svarar anonymt.

Snabb-login: använd b.socrative.com/student/#join-room/danper

Vi kommer även att använda oss av ett par större quizzes mellan föreläsningarna.

Gamla tentor


År 2018:


180831 med lösningar


År 2016-2017:


171219 med lösningar
171026 med lösningar
Mittenta 170922 med lösningar
170825 med lösningar
161220 med lösningar
161027 med lösningar
Mittenta 160924 med lösningar


År 2015-2016:


160104 med lösningar
151029 med lösningar
Mittenta 150926 med lösningar

År 2014-2015:

150828 med lösningar
150105 och lösningar
150102 och lösningar
141030 och lösningar
Mittenta 140927

År 2014-2015:

140830
140115
131024
130921 och lösningar (mittenta)

År 2013-2014:

130831
130116
121025
120922 (mittenta)

År 2012-2013:

120901
120111
111020
110917 (mittenta)

Äldre tentor:

110827
110112
101021
100918 (mittenta)
100827 och lösningar
100115 och lösningar
091024 och lösningar
090828 och lösningar
090605 och lösningar
090110 och lösningar
081020 och lösningar